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海淀一模数学试题参考答案(文科)


海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数学(文科) 2014.4
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7. C 8.B

/>二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 1 10. 方案三 11.

3 ,7 5

12. ③, f ( x) ? x ? 8x ? 17
2

13. 152

14. ? 3 , [0, )

π 2

{说明:两空的第一空 3 分,第二空 2 分;14 题的第二空若写成 (0, ) 不扣分}

π 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过 程.
15.解: (Ⅰ ) f ( ) ? sin

π 6

π π π ? sin( ? ) ---------------------------------1 分 6 6 3 π π ? sin ? sin(? ) ---------------------------------2 分 6 6 π π ? sin ? sin ---------------------------------3 分 6 6 π ---------------------------------4 分 ? 2sin ? 1 6

1 3 (Ⅱ ) f ( x) ? sin x ? sin x ? cos x ---------------------------------6 分 2 2

? 1 3 ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) --------------------------------8 分 3 2 2
π π ?x? 2 2 π π 5π --------------------------------10 分 所以 ? ? x ? ? 6 3 6
因为 ?

所以 ? ? sin( x ? ) ? 1 --------------------------------12 分 所以 f ( x ) 的取值范围是 [? ,1] --------------------------------13 分 16.解: (Ⅰ )答对题目数小于 9 道的人数为 55 人,记“答对题目数大于等于 9 道”为事件 A

1 2

π 3

1 2

P( A) ? 1 ?

55 ? 0.45 --------------------------------5 分 100

(Ⅱ )设答对题目数少于 8 道的司机为 A、B、C、D、E,其中 A、B 为女司机,选出两人包含 AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE 共 10 种情况,至少有 1 名女驾驶员的事 件为 AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE 共 7 种. 记“随机选出的两人中至少有 1 名女驾驶员”为事件 M,则

P( M ) ?
17.解:

7 ? 0.7 --------------------------------13 分 10

(Ⅰ )因为 D , M 分别为 AC , BD 中点,所以 DM // EF ---------------------2 分 又 EF ? 平面A 1EF , DM ? 平面A 1 EF 所以 DM / / 平面A 1EF .-----------------------4 分 (Ⅱ )因为 A1E ? BD , EF ? BD 且 A1E ? EF ? E 所以 BD ? 平面A 1EF -------------7 分 又A 1 F ? 平面A 1EF 所以 BD ? A1F ------------------------9 分
B A1

E F

D M C

(Ⅲ)直线 A 1B 与直线 CD 不能垂直---------------------------------------10 分 因为 平面A 1BD ? 平面BCD , 平面A 1BD ? 平面BCD ? BD , EF ? BD ,

EF ? 平面CBD ,
所以 EF ? 平面A 1BD .---------------------------------------12 分 因为 A 1B ? 平面A 1BD ,所以 A 1 B ? EF , 又因为 EF / / DM ,所以 A 1B ? DM . 假设 A1B ? CD ,

因为 A 1B ? DM , CD ? DM ? D , 所以 A 1B ? 平面BCD , 所以 A1B ? BD , 这与 ?A 1BD 为锐角矛盾 所以直线 A 1B 与直线 CD 不能垂直.---------------------------------------14 分 18.解: (Ⅰ )定义域为 ? 0, ??? ------------------------------------1 分 ------------------------------------------13 分

f '( x) ? ln x ? 1
令 f '( x) ? 0 ,得 x ?

------------------------------------2 分

1 e

------------------------------------3 分

f '( x) 与 f ( x) 的情况如下:

x
f '( x) f ( x)
--------------------------------5 分

1 (0, ) e

1 e
0 极小值

1 ( , ??) e

?


?


所以 f ( x ) 的单调减区间为 (0, ) ,单调增区间为 ( , ??) --------------------------6 分 (Ⅱ)证明 1: 设 g ( x) ? ln x ?

1 e

1 e

1 , x ? 0 ------------------------------------7 分 x

g '( x) ?

1 1 x ?1 ? ? 2 -------------------------------8 分 x x2 x

g '( x ) 与 g ( x) 的情况如下:

x
f '( x)

(0,1)

1 0

(1, ??)

?

?

f ( x)
所以 g ( x) ? g (1) ? 1 ,即



极小值



ln x ?

1 ? 1 在 x ? 0 时恒成立, x 1 ?k, x

----------------------10 分

所以,当 k ? 1 时, ln x ?

所以 x ln x ? 1 ? kx ,即 x ln x ? kx ? 1 , 所以,当 k ? 1 时,有 f ( x) ? kx ? 1 . 证明 2: 令 g ( x) ? f ( x) ? (kx ? 1) ? x ln x ? kx ? 1 ----------------------------------7 分 ------------------------13 分

g '( x) ? ln x ? 1 ? k -----------------------------------8 分
令 g '( x) ? 0 ,得 x ? ek ?1 -----------------------------------9 分

g '( x ) 与 g ( x) 的情况如下:

x
f '( x)

(0,ek ?1 )

e k ?1
0 极小值

(ek ?1 , ??)

?


?


f ( x)

---------------------10 分

g ( x) 的最小值为 g (ek ?1 ) ? 1 ? ek ?1 -------------------11 分
当 k ? 1 时, e k ?1 ? 1 ,所以 1 ? e k ?1 ? 0 故 g ( x) ? 0 -----------------------------12 分 即当 k ? 1 时, f ( x) ? kx ? 1 .------------------------------------13 分 19.解: (Ⅰ)证明: 因为 A, B 在椭圆上,

ì ? x12 + 2 y12 = 4, ① ? -----------------------------------1 分 所以 í 2 2 ? ? ? x2 + 2 y2 = 4. ②
因为 A, B 关于点 M (1,0) 对称,

所以 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 0 ,

--------------------------------2 分

2 2 将 x2 ? 2 ? x1, y2 ? ? y1 代入②得 (2 ? x1 ) ? 2 y1 ? 4 ③ ,

由①和③消 y1 解得 x1 ? 1 ,------------------------------------------4 分 所以 x1 = x2 = 1. (Ⅱ )当直线 AB 不存在斜率时, A(0, 2), B(0, 可得 AB = 2 2, MA = ------------------------------------------5 分

2) ,

3 , ?ABM 不是等边三角形.-----------------------6 分

当直线 AB 存在斜率时,显然斜率不为 0. 设直线 AB : y ? kx ? 3 , AB 中点为 N ( x0 , y0 ) , 联立 ?

? x 2 ? 2 y 2 ? 4, ? y ? kx ? 3,

消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 12kx ? 14 ? 0 ,------------------7 分
2 2

? ? 144k 2 ? 4(1 ? 2k 2 ) ?14 ? 32k 2 ? 56
由 ? ? 0 ,得到 k ?
2

7 ① -----------------------------------8 分 4

又 x1 ? x2 ?

14 ?12k , x1 ? x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

所以 x0 =

- 6k 3 , y0 = kx0 + 3 = , 2 1 + 2k 1 + 2k 2

所以 N (

?6k 3 , ) -------------------------------------------10 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

假设 ?ABM 为等边三角形,则有 MN ? AB , 又因为 M (1,0) ,

3 2 ? k ? ?1 ,---------------------11 分 所以 kMN ? k ? ?1,即 1 ? 2k ?6k ?1 1 ? 2k 2
2 化简 2k ? 3k ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 或 k ? ?

1 2

---------------12 分

这与① 式矛盾,所以假设不成立. 因此对于任意 k 不能使得 MN ? AB ,故 ?ABM 不能为等边三角形. ------------14 分 20.解:

(Ⅰ)有序整点列 A 1 (0, 2), A 2 (3,0), A 3 (5, 2) 与 B 1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2) 互为正交点列. -------------------------1 分 理由如下: 由题设可知 A B2 B3 ? (3, ? 3) , 1A 2 ? (3, ?2), A 2A 3 ? (2,2) , B 1B2 ? (2,3), 因为 A B1B2 ? 0 , A2 A3 ?B2 B3 ? 0 1A 2? 所以 A 1A 2 ?B 1B2,A2 A 3 ? B2 B3 . 所以整点列 A 1 (0, 2), A 2 (3,0), A 3 (5, 2) 与 B 1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2) 互为正交点列. ----------------------------3 分

?????

?????

?????

?????

????? ?????

????? ?????

????? ????? ????? (Ⅱ)证明:由题意可得 A A ? (3,1), A A ? (3, ? 1) , A3 A4 ? (3,1) , 1 2 2 3
设点列 B1 , B2 , B3 , B4 是点列 A1 , A2 , A3 , A4 的正交点列,

则可设 B1B2 ? ?1 (?1,3), B2 B3 ? ?2 (1,3), B3B4 ? ?3 (?1,3) , ?1,?2,?3 ? Z 因为 A 1与B 1 , A4与B4 相同,所以有

?????

?????

?????

? ?-?1 +?2 -?3 =9 ① ? ? ?3?1 +3?2 +3?3 =1 ②
因为 ?1,?2,?3 ? Z ,方程②不成立, 所以有序整点列 A 1 (0,0), A 2 (3,1), A 3 (6,0), A 4 (9,1) 不存在正交点列.----------8 分 (Ⅲ)存在无正交点列的整点列 A(5) . -------------------------------------------9 分

?????? 当 n ? 5 时,设 Ai Ai ?1 ? (ai , bi ), ai , bi ? Z, 其中 ai , bi 是一对互质整数, i ? 1, 2,3, 4
若有序整点列 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 是点列 A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 的正交点列, 则 Bi Bi ?1 ? ?i (?bi , ai ), i ? 1,2,3,4 ,由
4 ? 4 ? ? b ? ?? i i ? ai , ① ? i =1 i ?1 得? 4 4 ? ?a ? b . ② ?ii ? i ? ? i =1 i ?1

??????

?????? 4 ?????? ? Ai Ai?1 ? ? Bi Bi+1
4 i =1 i ?1

取 A1 (0,0), ai =3, i ? 1,2,3,4 , b1 ? 2, b2 ? ?1, b3 ? 1, b4 ? ?1 由于 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 是整点列,所以有 ?i ? Z , i ? 1,2,3,4 . 等式②中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立, 所以存在无正交点列的整点列 A(5) . -----------------------------------13 分


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