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河北省武邑中学2015-2016学年高一上学期周考(1.17)数学试题


2015-2016 学年高一

2016.1.17 周日测试 命题人: 班级 姓名 审题人: 组号

数学作业
一、选择题 1.与

9? 终边相同的角的表达式中,正确的是( 4



A. 2k? ? 45?, k ? Z C. k ? 360? ? 315?, k

? Z 2.函数 y ? sin 2 x 是( A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为 2? 的奇函数 3.下列函数中最小正周期为 A. y ? sin 4 x C. y ? sin(cos x) )

B. k ? 360 ? ? D. k? ?

5? ,k ? Z 4

9? ,k ? Z 4

B.周期为 ? 的偶函数 D.周期为 2? 的偶函数

? 的是( 2

) B. y ? sin x cos( x ?
4 2 D. y ? sin x ? cos x

?
6

)

4.已知 sin x ? 3cos x ,则 sin x cos x 的值是( A.

) D.

1 6
2

B.

1 5

C.

3 10

2 9
)

5.函数 y ? cos x ? 2a sin x 在区间 ? ? A. 1或 ?

? ? ? , ? 上的最大值为 2 ,则实数 a 的值为( ? 6 ? ?
D. 1或

5 4

B. ?

5 4

C.

5 4

5 4
)

6.若 ? 是 ?ABC 的一个内角,且 sin ? cos ? ? ? ,则 sin ? ? cos ? 的值为( A. ?
3 2

1 8

B.

3 2

C. ?

5 2

D.

5 2

7.给出以下命题: ①若 ? 、 ? 均为第一象限角,且 ? ? ? ,且 sin ? ? sin ? ; ②若函数 y ? 2 cos? ax ?

? ?

??

1 ? 的最小正周期是 4? ,则 a ? ; 2 3?

③函数 y ?

sin 2 x ? sin x 1 是奇函数; ④函数 y ?| sin x ? | 的周期是 ? ; 2 sin x ? 1

⑤函数 y ? sin x ? sin | x | 的值域是 [0,2] . 其中正确命题的个数为( A. 3 B. 2 ) D. 0

C. 1

8.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不伦用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所在圆的半径的大小无关; ④若 sin ? ? sin ? ,则 ? 与 ? 的终边相同;⑤若 cos ? ? 0 ,则 ? 是第二或第三象限角. 其中正确命题的个数是( A. 1 9.已知 sin ? ? ? B. 2 ) C. 3 ) D. 4

? ?

7? ? ? 则 cos ? ? ? ?? , ? 的值等于( 12 ? 3 12 ? ?
2 2 3
C. ?

? ? 1

A.

1 3

B.

1 3

D. ?

2 2 3


10.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是( A.2 B.

2 sin 1

C. 2 sin 1

D. sin 2

11.在直角坐标系 xOy 中,点 A 是单位圆 O 与 x 轴正半轴的交点,射线 OP 交单位圆 O 于点

P ,若 ?AOP ? ? ,则点 P 的坐标是 (
A. ? cos? ,sin ? ? B. ? ? cos? ,sin ? ?

) C. ? sin ? ,cos? ? D. ? ? sin ? ,cos ? ?

12.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (sin (A)

2? 3

(B)

7? 6

2? 2? ,cos ) ,则角 ? 的最小正角为 3 3 5? 11? (C) (D) 3 6

二、填空题 13.下列说法中,所有正确说法的序号是 ①终边在 y 轴上的角的集合是 {a |a ? .

kπ , k ? Z} ; 2

②函数 y ? sin x 在第一象限是增函数;

③函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 π ;

π π ④把函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的图象向右平移 个单位长度得到函数 y ? 3sin 2 x 的图象. 6 3
14.函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos x, x ? R 的最大值等于 15.已知 sin ? ? tan ? ? 1 ,则 cos ? ? ____ . .

2 cos( x ? ) ? 2 ? 0, ? ? 内的解为 4 16.方程 在区间
三、解答题 17. (1)化简:

?

1 ? 2 sin 20? cos20? sin 160? ? 1 ? sin 2 20?
2 cos(



(2)已知: tan ? ? 3 ,求

3? ??) 2 2 的值. 4 cos( ?? ) ? sin( 2? ? ? ) ? ? ) ? 3 sin(

?

18. (1) 已知角? 的顶点在原点, 始边与 x 轴正半轴重合, 终边为射线 4x+3y=0 (x≥0) , 求 5sin ? -3 tan ? +2cos ? 的值. (2)化简:

3? 1 ? cos ? 1 ? cos ? ). .其中 ? ? (? , ? 2 1 ? cos ? 1 ? cos ?
1 7 2 2 是关于 x 的方程 x -kx+k -3=0 的两实根,且 3π <α < π , 2 tan ?

19.已知 tanα ,

求 cos(3π +α )-sin(π +α )的值.

1 1 ,求 的值; 2 2 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? ? ? ? (2)已知 cos(75 ? ? ) ? ,且 ?180 ? ? ? ?90 ,求 cos(15 ? ? ) 的值. 3
20. (1)设 tan ? ? ? 21. (1)设扇形的周长是定值为 c (c ? 0) ,中心角 ? .求证:当 ? ? 2 时该扇形面积最大;

2015-2016 学年高一

2016.1.17 周日测试二卷 命题人: 班级 审题人: 姓名 组号

数学作业

2 2 (2)设 y ? 1 ? 2a ? a ? 2a cos x ? 2 sin x ( ?2 ? a ? 2, x ? R ) .求证: y ? ?3 .

二 .填空题

13. 三、解答题 17. (1)化简:

14.

15.

16.

1 ? 2 sin 20? cos20? sin 160? ? 1 ? sin 20?
2



(2)已知: tan ? ? 3 ,求

2 cos(

3? ??) 2 2 的值. 4 cos( ?? ) ? sin( 2? ? ? ) ? ? ) ? 3 sin(

?

18. (1) 已知角? 的顶点在原点, 始边与 x 轴正半轴重合, 终边为射线 4x+3y=0 (x≥0) , 求 5sin ? -3 tan ? +2cos ? 的值.

(2)化简:

3? 1 ? cos ? 1 ? cos ? ). .其中 ? ? (? , ? 2 1 ? cos ? 1 ? cos ?

19.已知 tanα ,

1 7 2 2 是关于 x 的方程 x -kx+k -3=0 的两实根,且 3π <α < π , 2 tan ? 求 cos(3π +α )-sin(π +α )的值.

1 1 ,求 的值; 2 2 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? ? ? ? (2)已知 cos(75 ? ? ) ? ,且 ?180 ? ? ? ?90 ,求 cos(15 ? ? ) 的值. 3
20. (1)设 tan ? ? ?

21. (1)设扇形的周长是定值为 c (c ? 0) ,中心角 ? .求证:当 ? ? 2 时该扇形面积最大; (2)设 y ? 1 ? 2a ? a 2 ? 2a cos x ? 2 sin 2 x ( ?2 ? a ? 2, x ? R ) .求证: y ? ?3 .

22. 在已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈R(其中 A>0,ω >0,0<φ < 中,相邻两个点之间的距离为

π )的图象与 x 轴的交点 2

π ?2π ? ,且图象上一个最低点为 M? ,-2?. 2 ? 3 ?

?π π ? (1)求 f(x)的解析式 (2)当 x∈? , ?时,求 f(x)的值域. ?12 2 ?

23. 如右图所示,函数 y=2cos(ω x+θ )(x∈R,ω >0,0≤θ ≤ 象与 y 轴交于点(0, 3),且该函数的最小正周期为 π . (1)求 θ 和 ω 的值; (2)已知点 A( π 2

π )的图 2

π 3 ,0),点 P 是该函数图象上一点,点 Q(x0,y0)是 PA 的中点,当 y0= , 2 2

x0∈[ ,π ]时,求 x0 的值.

高一数学 2016.1.17 周测答案 1.【答案】C【解析】

9? ? ? 与 45 或 ?315 的终边相同,因而应选 C. 4

2.【答案】A 试题分析:由 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的最小正周期计算公式 T ?

2? ,可知 |? |

y ? sin 2 x 的最小正周期为 T ?

2? ? ? ,若记 f ( x) ? sin 2 x ,则 2

f (? x) ? sin(?2 x) ? ? sin 2 x ? ? f ( x) ,所以函数 y ? sin 2 x 为奇函数,故选 A.

3.【答案】D 试题分析:A 选项中 y ? sin 4 x

周期是

y ? sin 4 x 周期的一半,所以 y ? sin 4 x

周期是

T?

?
4

,故 A 不正确;B 选项中

? 3 1 3 1 1 ? cos 2 x y ? sin x cos( x ? ) ? sin x( cos x ? sin x) ? sin 2 x ? ( )? 6 2 2 4 2 2
1 3 1 1 1 ? 1 ( sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? ,所以周期为 ? ,所以 B 不正确;C 选项中 2 2 2 4 2 6 4
令 f ( x) ? y ? sin(cos x), f (0) ? sin(cos 0) ? sin1 , f ( ) ? sin(cos

?

?
2

? ? f (0) ? f ( ) ,所以 不是此函数周期,故 C 不正确;D 选项中 2 2 1 3 1 ? cos 2 x 1 2 3 y ? sin 4 x ? cos 2 x ? sin 4 x ? 1 ? sin 2 x ? (sin 2 x ? ) 2 ? ? ( ? ) ? 2 4 2 2 4 ? 3 1 ? cos 4 x 3 1 5 ? cos 2 2 x ? ? ? ? cos 4 x ? ,所以周期为 ,故 D 正确。 2 4 2 4 2 4
4.【答案】C 试题分析:由 sin x ? cos x ? 1 与 sin x ? 3cos x 可得
2 2

2

) ? sin 0 ? 0 ,因为

(3cos x) 2 ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ?
5.【答案】A 试题分析:因为

1 3 2 ,而 sin x cos x ? 3cos x ? ,选 C. 10 10

y ? cos2 x ? 2a sin x ? 1 ? sin 2 x ? 2a sin x ? ?(sin x ? a)2 ? a2 ? 1 ,令
1 1 ? x ? ? ) ,故 t ? [? ,1] , f (t ) ? y ? ?(t ? a ) 2 ? a 2 ? 1(t ? [? ,1]) 6 2 2 1 1 当 a ? ? 时, f (t ) 在 [ ? ,1] 单调递减 2 2 1 1 3 5 1 2 2 所以 [ f (t )]max ? f ( ? ) ? ?(? ? a) ? a ? 1 ? ? a ? 2 ,此时 a ? ? ? ? ,符合要求; 4 2 2 2 4 1 1 当 ? ? a ? 1 时, f (t ) 在 [? , a] 单调递增,在 [a,1] 单调递减 2 2 1 2 故 [ f (t )]max ? f (a) ? a ?1 ? 2 ,解得 a ? ?1 ? ( ? ,1) 舍去 2 1 当 a ? 1 时, f (t ) 在 [ ? ,1] 单调递增 2 t ? sin x( ?
所以 [ f (t )]max ? f (1) ? ?(1 ? a) ? a ? 1 ? 2a ? 2 ,解得 a ? 1?[1, ??) ,符合要求;
2 2

?

综上可知 a ? 1 或 a ? ?

5 ,故选 A. 4

6.【答案】D 试题分析:依题意可知 ? ? (0, ? ) ,故 sin ? ? 0 ,而 sin ? ? cos ? ? ? 以 cos ? ? 0 ,从而 sin ? ? cos ? ? 0 ,而

1 ? 0 ,所 8

1 5 (sin ? ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ? 1 ? 2 ? ( ? ) ? ,所以 8 4

sin ? ? cos ? ?

5 , 2

7.【答案】D 试题分析:对于①来说,取 ? ? 390?, ? ? 60? ,均为第一象限,而

sin 60 ?
公式 T ?

3 1 ,sin 390? ? sin 30? ? ,故 sin ? ? sin ? ;对于②,由三角函数的最小正周期 2 2
2? 1 ? 4? ? a ? ? ;对于③,该函数的定义域为 |a| 2

?x | sin x ? 1 ? 0? ? ? ?x | x ?
?
记 f ( x) ?| sin x ?

?

? 定义域不关于原点对称, 没有奇偶性; 对于④, ? 2k ? , k ? Z ? , 2 ?

1 ? ? ? 1 | ,若 T ? ? ,则有 f (? ) ? f ( ) ,而 f (? ) ?| ?1 ? |? 1.5 , 2 2 2 2 2

( x ? 0) ?0 ? 1 f ( ) ?|1 ? |? 0.5 ,显然不相等;对于⑤, y ? sin x ? sin | x |? ? ,而当 2 2 ?2sin x ( x ? 0)
f ( x) ? 2sin x( x ? 0) 时, ?2 ? 2sin x ? 2 ,故函数 y ? sin x ? sin | x | 的值域为 [?2, 2] ;综
上可知①②③④⑤均错误,故选 D. 8.【答案】A 试题分析:由终边相同的角的定义易知①是错误的;②的描述中没有考虑直角, 直角属于 y 的正半轴上的角,故②是错误的;④中 ? 与 ? 的终边不一定相同,比如

??

?
6

,? ?

5? ;⑤中没有考虑 x 轴的负半轴上的角.只有③是正确的. 6

9.【答案】C 试题分析: cos ? ? ? C.

? ?

7? ? ? ?? ? ? 1 ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ,故选择 12 ? 12 2 ? 12 ? 3 ? ?

10.【答案】B 试题分析:已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,所以 sin 1 ?

1 ,即 r

r?

1 1 2 ? ,所以 l ? ? r ? 2 ? . sin 1 sin 1 sin 1
试题分析:因为,在直角坐标系 xOy 中,点 A 是单位圆 O 与 x 轴正半轴的交

11.【答案】A

点,射线 OP 交单位圆 O 于点 P ,且 ?AOP ? ? ,所以,有三角函数的定义知,点 P 的坐标 是 ? cos? ,sin ? ? ,选 A。

12.【答案】D 试题分析:将点的坐标化简,据点的坐标的符号判断出点所在的象限,利用三 角函数的定义求出角 α 的正弦,求出角 α 的最小正值。根据题意,由于角 ? 的终边上一点 的坐标为 (sin

1 11? 2? 2? ,cos ) ,说明正弦值为 ? ,那么可知角 ? 的最小正角为 , 6 3 3 2
π ? k? , k ? Z}, 表示两条射线,而 2

13.【答案】③④ 试题分析:①终边在 y 轴上的角的集合是 {? |? ?

{a |a ?

kπ , k ? Z} 表示四条射线;②函数 y ? sin x 在第一象限中每一个连续区间都是增函数, 2

但在第一象限上不具有单调性;如 y ? sin x 在 (0,

?

(0, ) ? (2? , 2? ? ) 上不具有增减性,例如 sin ? sin( ? 2? ) ;③因为函数 2 2 3 3

?

?

), (2? , 2? ? ) 上都是增函数,但在 2 2

?

?

?

y ? sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x ? cos2 x ? ? cos 2 x ,所以函数的最小正周期是 T=
π π 函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的图象向右平移 个单位长度得到函数 6 3

2π ? ? ;④把 2

y ? 3sin(2( x ? ) ? ) ? 3sin 2 x 的图象 6 3
1 5 5 14.【答案】 5 试题分析: f ( x) ? sin 2 x ? cos x ? 1 ? cos2 x ? cos x ? ?(cos x ? )2 ? ? .求三角函 2 4 4 4

?

?

数最值问题需先看角,在角统一的情况下,降次或化同名.本题中角统一,只需将三角名称统 一为余弦即可.本题如果对 sin 2 x 降次为 路混乱. 15.【答案】
1 ? cos 2 x ,则就破坏了角的统一性,使问题复杂,思 2

?1 ? 5 2 2 2 .试题分析:sin ?+cos ?=1,由题,sin?tan?=1,sin ?=cos?,令 2
2

cos?=x,x>0,则 1-x =x,x=

?1 ? 5 . 2

?? 2 ? ? ? cos ? x ? ? ? 2 cos( x ? ) ? 2 4 ? 2 ,当 x ? ? 0, ? ? 时, ? 4 16.【答案】 2 .试题分析:由 得,
x?

?

? ? 3? ?? ? , 4 ? 4 4

? ? ? ? x? x? ? ? ? ,故 2. 4 4 ,即

17.试题解析: (Ⅰ)原式=

1 ? 2 sin 20? cos 20? cos 20? ? sin 20? = = ?1 sin 20? ? cos 20? sin 20? ? cos 20?
6分

6分

(Ⅱ)解:原式=

2 sin ? ? 3 cos ? 2 tan ? ? 3 ?9 = 4 cos ? ? sin ? 4 ? tan ?

18.试题解析: (1)角? 的顶点在原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边为射线 4x+3y=0(x≥0) ,

sin ? ? ? 则只需在其终边上取一点 P(3,?4) , 则 r ?| OP |? 5 , 根据三角函数的定义可得: cos ? ? 3 4 6 6 , tan ? ? ? ,则 5 sin ? ? 3 tan ? ? 2 cos ? ? ?4 ? 4 ? ? . 5 3 5 5

4 , 5

(2)原式 ? 因为 ? ? (? ,

1 ? cos ? 1 ? cos ?

?

1 ? cos ? 1 ? cos ?

?

(1 ? cos ? ) ? (1 ? cos ? ) (1 ? cos ? )(1 ? cos ? )

?

2 1 ? cos 2 ?

?

2 sin 2 ?

3? 2 ) ,所以 sin 2 ? ? ? sin ? ,则原式 ? ? . 2 sin ?
1 2 =k -3=1,∴k=±2. tan ?

19.试题解析:由已知得 tanα 又∵3π <α <

1 1 7 π ,∴tanα >0, >0.∴tanα + =k=2>0(k=-2 舍去), 2 tan ? tan ?

∴tanα =

1 7 =1,∵3π <α < π 2 tan ?

∴ ? ? 3? ?

?
4

∴ sin ? ? sin(3? ?

?

? ? 2 , ) ? sin(? ? ) ? ? sin ? ? 4 4 4 2

? ? ? 2 cos ? ? cos(3? ? ) ? cos(? ? ) ? ? cos ? ? 4 4 4 2
∴cos(3π +α )-sin(π +α )= cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? sinα -cosα =0.

sin 2 ? ? cos 2 ? 2 2 20.试题解析: (1)原式= sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ?

3分

1 ?1 tan 2 ? ? 1 4 ? ? ? ?1 tan 2 ? ? tan ? ? 2 1 ? 1 ? 2 4 2

7分

? ? ? ? ? (2)由 ?180 ? ? ? ?90 ,得 ?105 ? ? ? 75 ? ?15 ,

故 sin(? ? 75? ) ? ? 1 ? cos 2 (75? ? ? ) ? ?
? ? ?

2 2 3
?

10 分

而 cos(15 ? ? ) ? cos[90 ? (75 ? ? )] ? sin(75 ? ? ) 所以 cos(15? ? ? ) ? ?

2 2 3

14 分

21.试题解析: (1)证明:设弧长为 l ,半径为 R ,则 2R ? l ? c , R ?

c ?l (c ? l ) 2

2分

?S ?

1 1 c ?l 1 1 c c2 Rl ? ? l ? (cl ? l 2 ) ? ? (l ? )2 ? 2 2 2 4 4 2 16
c c2 时, S max ? 2 16
5分 此时 R ?

所以,当 l ?

c l ?2 ,而 ? ? 4 R
7分

所以当 ? ? 2 时该扇形面积最大

(2)证明: y ? 1 ? 2a ? a 2 ? 2a cos x ? 2(1 ? cos2 x) ? 2(cos x ? ) 2 ?

a 2

a2 ? 2a ? 1 2

∵ ?2 ? a ? 2 ,∴ ?1 ?

2 a a ? 1 , ∴当 cos x ? 时, y ? a ? 2a ? 1 ? 1 (a ? 2)2 ? 3 min 2 2 2 2

又 ?2 ? a ? 2 ,所以 ymin ?

1 (a ? 2) 2 ? 3 ? ?3 ,当 a ? 2 时取等号,即 y ? ?3 . 2

法二: y ? a 2 ? 2a(1 ? cos x) ? 2 cos2 x ? 1 ? [a ? (1 ? cos x)]2 ? cos2 x ? 2 cos x ? 2 ∵ 0 ? 1 ? cos x ? 2 , ?2 ? a ? 2 ,∴当 a ? 1 ? cos x 时,

ymin ? cos2 x ? 2 cos x ? 2 ? (cosx ? 1) 2 ? 3 ,
又∵ ?1 ? cos x ? 1 ,∴ ymin ? (cos x ?1)2 ? 3 ? ?3 当 cos x ? 1 时取等号 即 y ? ?3 .

π ?2π ? 22.解 (1)由最低点为 M? ,-2?得 A=2.由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为 , 2 ? 3 ?

T π 2π 2 π ?2π ? ? 2π +φ ? 得 = , 即 T=π , ∴ω = = =2.由点 M? ,-2?在图象上得 2sin?2× ? 3 2 2 T π ? 3 ? ? ?
=-2, 4π π 11π ?4π ? 即 sin ? +φ ?=- 1 ,故 + φ = 2kπ - (k∈Z),∴φ = 2kπ - (k∈Z).又 3 2 6 ? 3 ? π ? π? φ ∈?0, ?,∴φ = , 2? 6 ? 故 f(x)=2sin?2x+

? ?

π? . 6? ?

π ?π 7π ? π π π ?π π ? (2)∵x∈? , ?,∴2x+ ∈? , ?,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大 12 2 3 6 6 6 2 6 ? ? ? ? 值 2;

π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1,故 f(x)的值域为. 6 6 2 23.解 (1)将 x=0,y= 3代入函数 y=2cos(ω x+θ )中, 得 cos θ = 3 π ,因为 0≤θ ≤ , 2 2

π 所以 θ = . 6 由已知 T=π ,且 ω >0, 2π 2π 得 ω= = =2. T π (2)因为点 A( π 3 ,0),Q(x0,y0)是 PA 的中点,y0= , 2 2

π 所以点 P 的坐标为(2x0- , 3). 2 π π 又因为点 P 在 y=2cos(2x+ )的图象上,且 ≤x0≤π , 6 2 所以 cos(4x0- 从而得 4x0- 5π 3 7π 5π 19π )= ,且 ≤4x0- ≤ , 6 2 6 6 6

5π 11π 5π 13π 2π 3π = ,或 4x0- = ,即 x0= ,或 x0= . 6 6 6 6 3 4


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