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2014高考数学查缺补漏集中营 立体几何


2014 高考数学查缺补漏集中营:立体几何
高考立体几何试题一般共有 4 道(选择、填空题 3 道, 解答题 1 道), 共计总分 27 分左右,考 查的知识点在 20 个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的 逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实 施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点

计算”的发展.从历年的考题变化看, 以简单几 何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的过程中,大量的、 反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容, 因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本 问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌握立体几何中解决问题 的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想, 以提高逻辑思维能力和空间想象能力. 判定两个平面平行的方法: (1)根据定义——证明两平面没有公共点; (2)判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面; (3)证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质: ⑴由定义知: “两平行平面没有公共点” 。 ⑵由定义推得: “两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理: “如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那 么它们的交线平行” 。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理” ,但在解题过程中均可直接作为 性质定理引用。 4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系,空间的角主要研究射影以及与射影有关 的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等.解 这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决. 空间的角,是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析

?
的一个重要概念,由它们的定义,可得其取值范围,如两异面直线所成的角 θ ∈(0, 2 ],直

? ?? 0, ? ? ? 2?, ? 线与平面所成的角 θ ∈ 二面角的大小, 可用它们的平面角来度量, 其平面角 θ ∈ 0,
π

?.

对于空间角的计算,总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角,并把它置于一个平面 图形,而且是一个三角形的内角来解决,而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实 现的,因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用.通过空间角的计算和 应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力.

-1-

如求异面直线所成的角常用平移法(转化为相交直线)与向量法;求直线与平面所成的角常 利用射影转化为相交直线所成的角;而求二面角?-l-?的平面角(记作?)通常有以下几种 方法: (1) 根据定义; (2) 过棱 l 上任一点 O 作棱 l 的垂面?,设?∩?=OA,?∩?=OB,则∠AOB=? ; (3) 利用三垂线定理或逆定理,过一个半平面?内一点 A,分别作另一个平面?的垂线 AB(垂足 为 B),或棱 l 的垂线 AC(垂足为 C),连结 AC,则∠ACB=? 或∠ACB=?-?; (4) 设 A 为平面?外任一点,AB⊥?,垂足为 B,AC⊥?,垂足为 C,则∠BAC=?或∠BAC=?-?; (5) 利用面积射影定理,设平面?内的平面图形 F 的面积为 S,F 在平面?内的射影图形的面积
S' 为 S?,则 cos?= S .

5.空间的距离问题,主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间(限 于给出公垂线段的) 、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离. 求距离的一般方法和步骤是:一作——作出表示距离的线段;二证——证明它就是所要求的 距离;三算——计算其值.此外,我们还常用体积法求点到平面的距离. 6.棱柱的概念和性质 ⑴理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键,要明确“棱柱 直棱柱 正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。 ⑵平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体,要理解并掌握“平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。 ⑶须从棱柱的定义出发,根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导,以求更好 地理解、掌握并能正确地运用这些性质。 ⑷关于平行六面体,在掌握其所具有的棱柱的一般性质外,还须掌握由其定义导出的一些其 特有的性质,如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意, 平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质,恰当地运用平行四边形的性 质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。 ⑸多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系,因此,很 多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系,与《直线、平面、简单几何体》第一部分 的问题相比,唯一的差别就是多了一些概念,比如面积与体积的度量等.从这个角度来看, 点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点. 7.经纬度及球面距离 ⑴根据经线和纬线的意义可知,某地的经度是一个二面角的度数,某地的纬度是一个线面角 ⌒ 若某地 P 是在东经 120°, 的度数, 设球 O 的地轴为 NS, 圆 O 是 0°纬线, 半圆 NAS 是 0°经线, ⌒ 北纬 40°,我们可以作出过 P 的经线 NPS 交赤道于 B,过 P 的纬线圈圆 O1 交 NAS 于 A,那么 ⌒ ⌒ 则应有:∠AO1P=120°(二面角的平面角) ,∠POB=40°(线面角) 。 ⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长,因此,求两点间的球面距离的 关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。 例如,可以循着如下的程序求 A、P 两点的球面距离。 线段 AP 的长 ∠AOP 的弧度数 大圆劣弧 AP 的长 ⌒ 8.球的表面积及体积公式 S 球表=4π R2 ⑴球的体积公式可以这样来考虑:我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形” ;以球 心为顶点,以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点,得到若干个小三棱锥,所有这
4 V 球= 3 π R3

-2-

些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数无限增加,且所有这些小 三棱锥的底面积无限变小时,小三棱锥的体积和就变成球体积,同时小三棱锥底面面积的和
1 就变成球面面积,小三棱锥高变成球半径.由于第 n 个小三棱锥的体积= 3 Snhn(Sn 为该小三 1 1 4 3 3 棱锥的底面积,hn 为小三棱锥高) ,所以 V 球= S 球面·R= ·4π R2·R= 3 π R3.

⑵球与其它几何体的切接问题,要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关 系,选择最佳角度作出截面,以使空间问题平面化。 二、注意事项 须明确《直线、平面、简单几何体》中所述的两个平面是指两个不重合的平面。 2.三种空间角,即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角。它们的 求法一般化归为求两条相交直线的夹角,通常“线线角抓平移,线面角找射影,面面角作平

S射
面角”而达到化归目的,有时二面角大小出通过 cos=

S原

来求。

3.有七种距离,即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于 平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离,其中点与点、点与直线、点到平面的距离 是基础,求其它几种距离一般化归为求这三种距离,点到平面的距离有时用“体积法”来求。 三、例题分析 例 1、⑴已知水平平面内的两条相交直线 a, b 所成的角为 ? ,如果将角 ? 的平分线 l ? 绕着其 顶点,在竖直平面内作上下转动, 转动到离开水平位值的 l ? 处,且与两条直线 a,b 都成角,

?
则与 2 的大小关系是 ( )

??
A.

?
2或

??

?
2

?

?

B. > 2 或< 2

?
C. > 2

?
D. < 2
0 0

⑵已知异面直线 a,b 所成的角为 70 ,则过空间一定点 O,与两条异面直线 a,b 都成 60 角的直 线有 A. 1 ( B. 2 C. 3 D. 4
0

)条.

⑶异面直线 a,b 所成的角为 ? ,空间中有一定点 O,过点 O 有 3 条直线与 a,b 所成角都是 60 , 则 ? 的取值可能是 A. 30
0

(
0

).
0

B. 50

C. 60

D. 90

0

分析与解答: ⑴ 如图 1 所示,易知直线 l ? 上点A在平面上的射影是ι 上的点 B,过点 B 作 BC⊥b,
-3-

则 AC⊥b.

AC ? BC 在 Rt△OBC 和 Rt△OAC 中,tg= OC ,tg 2 = OC .显然,AC>BC,

?
a?
ι

?

?

∴tan> tan 2 ,又、 2 (0, 2 ,∴> 2 .故选 C. B A C

)

?

b?

O

(2)D(3)C 图1 例 2、已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN⊥AB; (2)设平面 PDC 与平面 ABCD 所成的二面角为锐角θ ,问能否确定θ 使直线 MN 是异 面直线 AB 与 PC 的公垂线?若能,求出相应θ 的值;若不能,说明理由. 解: (1)∵PA⊥矩形 ABCD,BC⊥AB,∴PB⊥BC,PA⊥AC,即△PBC 和△PAC 都是 1 ? AN ? PC ? BN 2 以 PC 为斜边的直角三角形, ,又 M 为 AB 的中点,∴MN⊥AB. (2)∵AD⊥CD,PD⊥CD.∴∠PDA 为所求二面角的平面角,即∠PDA=θ .
1 1 CM ? d 2 ? a 2 PM ? b 2 ? a 2 4 4 , 设 AB=a,PA=b,AD=d,则

设 PM=CM 则由 N 为 PC 的中点,∴MN⊥PC 由(1)可知 MN⊥AB, ∴MN 为 PC 与 AB 的公垂线,这时 PA=AD,∴θ =45°。 例 3、如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面 ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=900,AC=1,C 点到

3 AB1 的距离为 CE= 2 ,D 为 AB 的中点.
(1)求证:AB1⊥平面 CED; (2)求异面直线 AB1 与 CD 之间的距离; (3)求二面角 B1—AC—B 的平面角. 解:(1)∵D 是 AB 中点,△ABC 为等腰直角三角形, ∠ABC=900,∴CD⊥AB 又 AA1⊥平面 ABC,∴CD⊥AA1. ∴CD⊥平面 A1B1BA ∴CD⊥AB1,又 CE⊥AB1, ∴AB1⊥平面 CDE; (2)由 CD⊥平面 A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面 CDE ∴DE⊥AB1, ∴DE 是异面直线 AB1 与 CD 的公垂线段

C1 A1 B1

E A D

C B

3 2 1 . DE ? (CE ) 2 ? (CD ) 2 ? 2; ∵CE= 2 ,AC=1 , ∴CD= 2 ∴
(3)连结 B1C,易证 B1C⊥AC,又 BC⊥AC , ∴∠B1CB 是二面角 B1—AC—B 的平面角.

-4-

3 在 Rt△CEA 中,CE= 2 ,BC=AC=1,∴∠B1AC=600
AB1 ? 1 ?2 BB1 ? ( AB1 ) 2 ? ( AB) 2 ? 2 , cos 60 2 , ∴





tg?B1CB ?

BB1 ? 2 BC , ∴ ?B1CB ? arctg 2 .

说明:作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提 , 当然, 准确地作出应当有严格的 逻辑推理作为基石. 例 4、在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面 ABCD,AB=AD=a,S D= 2a , 在线段 SA 上取一点 E(不含端点)使 EC=AC,截面 CDE 与 SB 交于点 F。 (1)求证:四边形 EFCD 为直角梯形; (2)求二面角 B-EF-C 的平面角的正切值;

S

CD (3)设 SB 的中点为 M,当 AB 的值是多少时,能使△DMC
为直角三角形?请给出证明. 解: (1)∵ CD∥AB,AB 平面 SAB ∴CD∥平面 SAB 面 EFCD∩面 SAB=EF,
0 ∴CD∥EF ∵ ?D ? 90 ,? CD ? AD,

E D A

F M C B

又 SD ? 面 ABCD ∴ SD ? CD ? CD ? 平面 SAD,∴ CD ? ED 又 EF ? AB ? CD ? EFCD 为直角梯形 (2)? CD ? 平面 SAD, EF ∥ CD, EF ? 平面 SAD
? AE ? EF , DE ? EF ,? ?AED 即为二面角 D—EF—C 的平面角

ED ? CD,? Rt?CDE

2 2 2 中 EC ? ED ? CD

2 2 2 而 AC ? AD ? CD 且 AC ? EC

? ED ? AD ? ? , ??ADE

为等腰三角形,??AED ? ?EAD

? tan ?AED ? 2

CD ?2 (3)当 AB 时, ?DMC 为直角三角形 .
? AB ? a,? CD ? 2a, BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2a, ?BDC ? 45 0 ? BC ?

2a, BC ? BD ,

? SD ? 平面 ABCD,? SD ? BC ,? BC ? 平面 SBD .

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在 ?SBD 中, SD ? DB, M 为 SB 中点,? MD ? SB .
? MD ? 平面 SBC , MC ? 平面 SBC , ? MD ? MC ??DMC 为直角三角形。

例 5.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AC 与 BD 交于点 E,CB 与 CB1 交于点 F. (I)求证:A1C⊥平 BDC1; (II)求二面角 B—EF—C 的大小(结果用反三角函数值表示).

解法一: (Ⅰ)∵A1A⊥底面 ABCD,则 AC 是 A1C 在底面 ABCD 的射影. ∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD. 同理 A1C⊥DC1,又 BD∩DC1=D, ∴A1C⊥平面 BDC1. (Ⅱ)取 EF 的中点 H,连结 BH、CH,

? BE ? BF ?

2 ,? BH ? EF . 2 同理CH ? EF .

? ?BHC是二面角B ? EF ? C的平面角.
又 E、F 分别是 AC、B1C 的中点,

-6-

1 AB1 . ? 2 ? ?BEF与?CEF是两个全等的正三角形. ? EF // 3 6 BF ? . 2 4 于是在?BCH中,由余弦定理, 得 故BH ? CH ? cos ?BHC ? BH ? CH ? BC ? 2 BH ? CH
2 2 2

(

6 2 6 ) ? ( )2 ?1 1 4 4 ?? 3 6 6 2? ? 4 4

1 1 ? ?BHC ? arccos(? ) ? ? ? arccos . 3 3 1 故二面角B ? EF ? C的大小为? ? arccos . 3
解法二: (Ⅰ)以点 C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 C(0,0,0). D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)

? CA1 ? (1,1,1, ), BD ? (1,?1,0), DC1 ? (?1,0,1). ? CA1 ? BD ? 1 ? 1 ? 0, CA1 ? DC1 ? ?1 ? 1 ? 0. 即CA1 ? BD, CA1 ? DC1 又BD ? DC1 ? D, ? A1C ? 平面BDC1 .
(Ⅱ)同(I)可证,BD1⊥平面 AB1C.

则 ? A1 D, D1 B ? 就是所求二面角 的平面角补角的大小. ? A1C ? (?1,?1,?1), D1 B ? (?1,1,?1), ? cos ? A1C , D1 B ?? ? 1 ? . 3? 3 3 1 A1C ? D1 B | A1C | ? | D1 B |

1 故二面角B ? EF ? C的大小为? ? arccos . 3

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