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高考数学总复习经典测试题解析版5.2 平面向量基本定理及坐标表示


5.2 平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题 1.设平面向量 a=(-1,0),b=(0,2),则 2a-3b=( A .(6,3) B.(-2,-6) C.(2,1) ) D.(7,2)

解析:2a-3b=(-2,0)-(0,6)=(-2,-6). 答案:B 2.已知平面向量 a=(x,1),b=(-x,x2),则向量 a+b( A.平行于 x

轴 C.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线 ).

解析 由题意得 a+b=(x-x,1+x2)=(0,1+x2),易知 a+b 平行于 y 轴. 答案 C 3.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=( A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) ).

D.(-5,-10)

解析 由 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,得 1×m=2×(-2)? m=-4,从 而 b=(-2,-4),那么 2a+3b=2×(1,2)+3×(-2,-4)=(-4,-8) . 答案 C 4. 设点 A(2,0),B(4,2),若点 P 在直线 AB 上,且|→ AB|=2|→ AP|,则点 P 的坐标 为( ) A.(3,1) B.(1,-1) C.(3,1)或(1,-1) D.无数多个 解析 设 P(x,y),则由|→ AB|=2|→ AP|,得→ AB=2→ AP或→ AB=-2→ AP,→ AB=(2,2),→ AP =(x-2,y),即(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,P(3,1),或(2,2)=-2(x -2,y),x=1,y=-1, P(1 ,-1). 答案 C 5.若向量 AB =(1,2) , BC =(3,4) ,则 AC =( A ( 4,6) 答案 A 解析 因为 AC = AB + BC = (4, 6) ,所以选 A. 6.已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b,若 x,y 满足不等式|x|+ |y|≤1,则 z 的取值范围为( A.[-2,2] ). C.[-3,2] D.[-3,3] B (-4,-6) C (-2,-2) ) D (2,2)

B.[-2,3]

解析 因为 a⊥b,所以 a·b=0,所以 2x+3y=z,不等式|x|+|y|≤1

?x-y≤1 可转化为? -x+y≤1 ?-x-y≤1
x+y≤1
长为

x≥0,y x≥0,y< x<0,y x<0,y<

, , , , 由图可得其对应的可行域为边

2,以点(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)为顶点的正方形,结合图象可知当 直线 2 x+3y=z 过点(0,-1)时 z 有最小值-3,当过点(0,1)时 z 有最大值 3. 所以 z 的取值范围为[-3,3]. 答案 D

m ? ? 7.设两个向量 a=(λ +2,λ 2-cos2 α )和 b=?m, +sin α ?,其中 λ ,m, 2 ? ?
α 为实数.若 a=2b,则 A.[-6,1] λ

m

的取值范围是(

). D.[-1,6]

B.[4,8]

C.(-∞,1]

?λ +2=2m, 解析 由 a=2b,得? 2 2 ?λ -cos α =m+2sin α . 由 λ 2-m=cos2α +2sin α =2-(sin α -1)2,得 -2≤λ 2-m≤2,又 λ =2m-2,
2 ?4m -9m+2≤0, 则-2≤4(m-1) -m≤2,∴? 2 ?4m -9m+6≥0. 2

1 λ 2m-2 2 λ 解得 ≤m≤2,而 = =2- ,故-6≤ ≤1,即选 A. 4 m m m m 答案 A 二、填空题 8. 设 a=(1,2),b=(2,3),若向量 λ a+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则 λ =________. 解析 ∵λ a+b=(λ +2,2λ +3)与 c=(-4,-7)共线,

∴(λ +2)×(-7)-(2λ +3)×(-4)=0,解得 λ =2. 答案 2 1 1 9.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值为________.

a b





解析 AB=(a-2,-2),AC=(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0, 1 1 1 即 ab-2a-2b=0,所以 + = . a b 2 答案 1 2

10.设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标 为________. 解析 设 a=λ b(λ <0),则|a|=|λ ||b|,∴|λ |= 又|b|= 5,|a|=2 5.∴|λ |=2,∴λ =-2. ∴a=λ b=-2(2,1)=(-4,-2). 答案 (-4,-2) 11.设 e1,e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示为另一组基向量 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b. 解析 由题意,设 e1+e2=ma+nb. 又因为 a=e1+2e2, b=-e1+e2, 所以 e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1 +(2m+n)e2. 2 ? ?m=3, 所以? 1 n=- . ? 3 ? |a| , |b|

?m-n=1, 由平面向量基本定理,得? ?2m+n=1,

答案

2 3



1 3

12.在平面直角坐标系 xOy 中,四 边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC.已知点 A(- 2,0),B(6,8),C(8,6),则 D 点的坐标为________. 解析 由条件中的四边形 ABCD 的对边分别平行, 可以判断该四边形 ABCD 是平行

→ → 四边形.设 D(x,y),则有AB=DC,即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),解得 (x,y)=(0,-2). 答案 (0,-2) 三、解答题 → → → → 1 1 13.已知点 A(-1,2),B(2,8)以及AC= AB,DA=- BA,求点 C,D 的坐标和CD 3 3 的坐标. 解析 设点 C,D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), → → → → 由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,- 6). → → → → ?x1+1=1, 1 1 因为AC= AB,DA=- BA,所以有? 3 3 ?y1-2=2, ?x1=0, 解得? ?y1=4, ?x2=-2, 和? ?y2=0. → 所以点 C,D 的坐标分别是(0,4)、(-2,0),从而CD=(-2,-4). 14.已知 A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b). (1)若 A、B、C 三点共线,求 a、b 的关系式; (2)若 AC =2 AB ,求点 C 的坐标. 解析:(1)由已知得 AB =(2,-2), AC =(a-1,b-1), ∵A、B、C 三点共线,∴ AB ∥ AC .∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. (2)∵ AC =2 AB ,∴(a-1,b-1)=2(2,-2), ?a-1=4, ∴? ?b-1=-4, → ?a=5, 解得? ?b=-3. ∴点 C 的坐标为(5,-3). ?-1-x2=1, 和? ?2-y2=2. →

→ → 15.已知向量OA=(3,4),OB=(6,-3),O C =(5-m,-3-m).若点 A,B,C 能构成三角形,求实数 m 满足的条件. → → → → → → 解析 ∵AB=OB-OA=(3,-7),AC=OC-OA=(2-m,-7-m),

→ → 又 A,B,C 能构成三角形,故点 A,B,C 不共线,即AB,AC不共线, ∴3×(-7-m)-(-7)×(2-m)≠0, 得 m≠- 7 7 ,故 m 应满足 m≠- . 10 10 → → →

16.已知 O(0,0),A (1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,求 (1)t 为何值时, P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明 理由. → → → 解析 (1)OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).若 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,∴t= ?1+3t<0, 2 1 - ; 若 P 在 y 轴上, 只需 1+3t=0, ∴t=- ; 若 P 在第二象限, 则? 3 3 ?2+3t>0. 2 1 ∴- <t<- . 3 3 → → → (2)因为OA=(1,2),PB=(3-3t,3-3t).若 OABP 为平行四边形,则OA=PB,∵ ?3-3t=1, ? ?3-3t=2 无解.所以四边形 OABP 不能成为平行四边形. →


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