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高考一轮复习集合间的关系与运算






高三 集合间的关系与运算
胡居化

学科

数学

内容标题 编稿老师

一、学习目标:
1. 了解集合的概念、空集、全集的含义. 2. 理解元素与集合“属于”的关系,集合与集合“包含”或“相等”的关系.以及集合 的子、交、并、补集的概念. 3. 掌握集合的四种表示方法(列举法、描述法、区间法、Venn 图法)及集合的子、交、 并、补集的运算. 4. 体会数形结合、分类讨论的数学思想在解决集合有关问题中的应用.

二、重点、难点:
重点:掌握集合的概念及其运算 难点:集合知识的应用.

三、考点分析:
根据考纲的要求及命题的方向:集合这部分内容考查的是:一:对基本知识的理解,基 础题较多,题型大都是以选择、填空题为主.二:集合基础知识的简单应用:如在大题中间 接考查集合知识或在集合方面定义新运算等都是新的命题背景,也是高考命题的热点.

(知识网络结构)
? ?1. 元素与集合的关系:属 于: ?,不属于? ? ? 性、互异性、无序性 ?2. 集合元素的特性:确定 ?集合与集合的表示方法 ? ? 无限集、空集 ?3. 集合的分类:有限集、 ? ? ? 、描述法、区间法、 Venn图法 ?4. 集合的表示法:列举法 ? ?子集:若任意的x ? A, 则x ? B, 那么集合A是集合B的子集,记A ? B ? ? ? 注:(i)空集?是任何集合的子集 , (ii)任何集合A ? A ? ? ? ?集合之间的关系 ?真子集:若A ? B, 且A ? B, 则A是B的真子集 ? ? 注:空集是任何非空集 合的真子集 ? ? ? ? ?集合相等:若A ? B且B ? A, 则A ? B ?

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?1. 交集:定义:A ? B ? {x | x ? A且x ? B} ? 性质:A ? B ? B ? A, A ? A ? A, A ? ? ? ? ? ? 注:x ? (A ? B) ? x ? A或x ? B, A ? B ? A ? A ? B ? ?2. 并集:定义:A ? B ? {x | x ? A或x ? B} ? 性质:A ? B ? B ? A, A ? A ? A, A ? ? ? A ? ? 注:x ? (A ? B) ? x ? A且x ? B, A ? B ? B ? A ? B ? ?3. 补集:定义:C u A ? {x | x ? U且x ? A} ? 性质:(C U A) ? A ? U, (C U A) ? A ? ?, C U (C U A) ? A ? ? 注:C U (A ? B) ? (C U A) ? (C U B), C U (A ? B) ? (C U A) ? (C U B) ?

常用的结论:若集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 的子集个数是 2 n 个,真子集个数是

2 n ? 1 个,非空真子集个数是 2 n ? 2 个.

知识点一:集合的基础知识(集合的表示法、集合之间的关系) 例 1: (基础题) 把下面的说法或表示方法正确的命题的序号填在题后的横线上 (1)已知集合 S ? {A, B, C} 中的三个元素是 ?ABC 的三个内角,则三角形一定是非等 腰三角形 (2)集合 A={(x,y)| y ? x 2 ? 4} ? {x | y ? x 2 ? 4} ? { y | y ? x 2 ? 4} (3)若集合 A ? [0,??) ,集合 B= (0,??) ,则 B ? A (4) 设 P 表示 ?ABC 所在平面上的点.且集合 S= {P | PA ? PB ? PC} , 则 P 是 ?ABC 的外心 ( 5 )已知 U 是全集, M、 N 是 U 的两个子集,若 M ? N ? U , M ? N ? ? ,则

(CU M ) ? (CU N ) ? U
(6)任何一个集合至少有两个子集 (7)集合 P={x | x 2 ? 1 ? 0, x ? R} 的真子集个数是 4 个. 上述命题中正确命题的序号是 __________ _______ . 【思路分析】本题考查集合的表示法和集合之间的关系等知识, (1)考查合元素的特性—互异性. (2)集合的表示法: 集合 A ? {( x, y) | y ? f ( x)}, B ? {x | y ? f ( x)}, C ? { y | y ? f ( x)},表示含义不同, A 是点集, B,C 都是数集. (3)考查用区间表示集合、子集的含义. (4)考查描述法表示集合的含义及三角形外心的概念. (5)考查利用 V enn 图表示集合的方法及其简单的应用. (6)考查子集的概念,空集是任何集合的子集. (7)考查一个集合的子集的个数问题. 【解题过程】

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(1)根据集合元素的特性-互异性知:A, B,C 任意两个角都不相等,故命题正确. (2) 三个集合 {( x, y) | y ? x 2 ? 4},{x | y ? x 2 ? 4},{ y | y ? x 2 ? 4} 表示的含义不同, A= {( x, y) | y ? x 2 ? 4}是点集,B ? {x | y ? x 2 ? 4}是数集, 表示函数y ? x 2 ? 4 的 x 的取 值集合即函数定义域,集合 C={ y | y ? x 2 ? 4} 表示的是函数 y 的取值集合,即函数的值 域.故命题错误. (3)由区间表示的含义知:集合 A 中的元素 0? B ,根据子集定义知: B ? A ,故命 题正确. (4) 由 S={P | PA ? PB ? PC} 知 P 点到三角形 ABC 的三个顶点的距离相等.故命题 正确 (5)根据已知集合 U,M,N 的关系,画出 V enn 图(如图) :知命题正确.

(6)当 A= ? 时,集合 A 的子集只有一个,就是其本身.故命题错误. (7)由于集合 P={-1,1}的子集个数是 2 2 个,真子集个数是 2 2 ? 1 ? 3 个. 故命题错误. 正确命题的序号是: (1) (3) (4) (5) 【解题后的思考】解决这类概念性问题的关键是理解集合表示方法的含义, 特别是用描述法 表示的集合竖线左边的元素是什么要分清楚,对集合关系的判断可以借助数轴、 V enn 图等 工具判断. 例 2: (中等题) (1)已知集合 A ? {x || x |? 2, x ? R}, B ? {x | x ? a}, 且A ? B ,求 a 的取值范围. (2)已知集合 M= {m | ?1 ? m ? 0}, N ? {m ? R | mx2 ? 2mx ? 1 ? 0} 对任意实数 x 恒成立,判断集合 M 与 N 的关系. 【思路分析】本题考查两个集合关系的判断及两个集合关系的应用. 对(1)根据 A ? B 借助数轴判断,对(2)首先要认识集合 N 的含义,它表示的是 m

x恒成立 来确定 m 的取值范围. 的取值集合,然后根据 mx2 ? 2mx ? 1 ? 0对任意的实数
【解题过程】 (1)化简集合 A= {x | ?2 ? x ? 2} ,由集合 A ? B 结合数轴得:

a ? ?2
(2)化简集合 N:当 m=0 时 mx 2 ? 2mx ? 1 ? 0 对任意的实数 x 恒成立. 当 m? 0时 由 mx 2 ? 2mx ? 1 ? 0 对任意的实数 x 恒成立 ? ? -1 ? m ? 0 ,故集合 N= {m | ?1 ? m ? 0} 借助数轴知:集合 M,N 的关系是 M ? ?N

?m ? 0
2 ?? ? 4 m ? 4 m ? 0

解得:

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【解题后的思考】这类问题是集合中常见的经典题型, 主要考查借助数轴判断两个集合的关 系或根据两个集合的关系借助数轴求参数范围的问题, 体现了数形结合的思想的应用.在 (1) 中易错点是 a 能否取到-2,需要验证.不妨取 a=-2 则 B ? {x | x ? ?2} ,符合 A ? B . 例 3: (创新题) 已知集合 A= {(x, y) | x 2 ? y 2 ? 4x ? 4y ? 7 ? 0}, B ? {(x, y) | xy ? ?10}, x, y ? R (1)对于直线 m 和直线外的一点 P,用“m 上的点与点 P 的距离最小值”定义点 P 到 直线 M 的距离与原有的点线距离的概念是等价的,试以类似的方式给出一个点集 A 与点集 B 的“距离”的定义. (2)依照你给出的定义求点集 A 与点集 B 的距离. 【思路分析】根据题意知:本题是集合新定义问题,解决本题的关键是理解点线距离,定义 的实质是:“点与点距离的最小值”,在此基础上正确给出两个点集距离的定义,由此才能 解决第二问.在第二问中:集合 A 中的点构成一个圆:圆心为 C(-2,-2) ,半径为 1,即 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1, 集合 B 中的点集构成双曲线.所以要求点集 A 与点集 B 的距离实 质是求圆 C 上一点与双曲线上一点的距离的最小值. 【解题过程】 (1)点集 A 与点集 B 距离的定义:在点集 A,B 上分别取一点,所取两点之间的距离 若有最小值,则此最小值为点集 A 与点集 B 的距离. (2)设 P(x,y)是双曲线 xy=-10 上任意一点,则

| PC | 2 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? y 2 ? 4( x ? y ) ? 8 ? ( x ? y ) 2 ? 2 xy ? 4( x ? y ) ? 8 ? ( x ? y ) 2 ? 4( x ? y ) ? 28 ? ( x ? y ? 2) 2 ? 24
当且仅当 ?

? x ? ?1 ? 11 ? ? x=- 1- 11 ?x ? y ? 2 ? 0 ? ?? 或? 时, | PC | 2 . xy ? ? 10 ? ? ? y ? ?1 ? 11 ? ? y ? ?1 ? 11

最小,此时|PC|的最小值是 2 6 ,即点集 A 与点集 B 的距离的最小值是 2 6 -1. 【解题后的思考】在集合问题中除了考查基本概念和基本运算外, 还会考查一些有关集合新 定义的问题,这也是高考命题的方向,这类问题考查了学生的抽象概括能力. 知识点二:集合的运算 例 4: (基础题)解答下列各题 (1)已知集合 A={x|3<x<7},集合 B={x|-1<x<5},求 A ? B, (CU A) ? (CU B) ; (2)已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 1或x ? 1}, B ? {x | a ? x ? b}, 满足

A ? B ? {x | x ? ?2}, A ? B ? {x | 1 ? x ? 3} ,求 a+b 的值;
(3)已知集合 A= {x | x ? ax ? a ? 9 ? 0}, B ? {x | log2 ( x ? 5x ? 8) ? 1 },
2 2 2

C ? {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0} ,问是否存在 a 的值使 A ? B ? ? , A ? C ? ? 同时成立?
【思路分析】 本题考查集合的交、并、补集的基本运算 . 对( 1 )题借助数轴容易求出

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A ? B, (CU A) ? (CU B) 或利用性质: CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) 解题.对( 2)题同样
借 助 数 轴 由 A ? B, A ? B 求 a , b 的 值 . ( 3 ) 题 : 先 化 简 集 合 B 、 C , 再 根 据

A ? B ? ? , A ? C ? ? 同时成立的两个条件求 a 的值.
【解题过程】 (1)由数轴得: A ? B ={x|-1<x<7}

?CU ( A ? B) ? {x | x ? 7或x ? ?1} ,故 (CU A) ? (CU B) ? {x | x ? 7或x ? ?1}
(2)由数轴观察得:a=1,b=3, 即 a+b=4

(3)对于集合 B:由 log2 ( x 2 ? 5x ? 8) ? 1 ? x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ? x1 ? 2, x2 ? 3 , 即 B={2,3},C={-4,2} 由 A ? B ? ? , A ? C ? ? ? 3 ? A,2 ? A 把 x=3 代入方程 x 2 ? ax ? a 2 ? 9 ? 0 求得 a=0 或 a=3 验证:当 a=0 时,A={3,-3},当 a=3 时,A={3,0}都满足已知条件. 故所求 a 的值是 0,3. 【解题后的思考】对于集合的交、并、补集的运算要能熟练的利用数轴或利用 V enn 图解决. 使抽象的问题形象化.这类问题大多是填空题或选择题或大题中的一个步骤而已. 但对以集 合为载体的大题( ( 3 )题)要掌 握解决问题的 切入点 . 如: 本题的切入点 就是对条件 “ A ? B ? ? , A ? C ? ? ”的理解. 例 5: (中等题) 1. 已知集合 A ? {x | ax2 ? 3x ? 2 ? 0} (1)若集合 A 是空集,求 a 的取值范围. (2)若集合 A 中只含有一个元素,求 a 的值. (3)若集合 A 中至多含有一个元素,求 a 的取值范围. 2. 已知集合 M={(x, y) | x 2 ? 2x ? y 2 ? 0} ,集合 N={(x,y)|y=x+a}, 若 ?? ? (M ? N) ,求 a 的取值范围. 【思路分析】根据题意知:题 1:考查集合 A 中的元素的个数与方程

ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的根的个数关系,从而转化为判定方程 ax2 ? 3x ? 2 ? 0
解的个数问题,这是本题的切入点. 题 2:在理解 ? ? ? (M ? N) 含义的前提下转化为直线与圆的位置关系的问题. 【解题过程】 1. 集合 A 是方程 ax ? 3x ? 2 ? 0 的解集.
2

(1)集合 A 为空集等价于: ax ? 3x ? 2 ? 0 的解集为空集,
2

即 ? ? (?3) ? 8a ? 0 ? a ?
2

9 9 ,故当 a ? 时,集合 A 为空集. 8 8

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(2)集合 A 只含有一个元素包含两种情形: (i) ax2 ? 3x ? 2 ? 0 是一次方程 此时 a=0, (ii) ax2 ? 3x ? 2 ? 0 有等根 ? ? ? 0 ? a ? 故当 a=0 或 a=

9 8

9 时,集合 A 只含有一个元素. 8

(3)集合 A 中至多含有一个元素包含两种情形: ( i)A 为空集, ( ii) A 中只含有一个 元素. 综合(1) (2)知:所求 a 的取值范围是{a | a ? } ? {0} 2. 由已知: ? ? ? (M ? N) 得:集合 M ? N 非空.而集合 M 中的点构成圆 C:

9 8

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,集合 N 中的点构成直线 L:y=x+a,
故集合 M ? N 非空等价于直线 L 与圆 C 有公共点, 即:

| ?1 ? 0 ? a | 2

? 1 ? 1 ? 2 ? a ? 1 ? 2 ,故所求 a 的取值范围是[1 ? 2,1 ? 2 ]

【解题后的思考】像这类以集合包装的题型不仅考查集合的概念和集合的运算, 更重要的是 考查利用数形结合、分类讨论、方程的数学思想解决问题,如本题也可利用方程的数学思想

?x 2 ? 2x ? y 2 ? 0 M ? N 解决集合 非空等价于方程组 ? 有解的问题. ?y ? x ? a
例 6: (创新题) : 1. 非空集合 G 关于运算 ? 满足: (i)对任意的 a,b ? G 都有 a+b? G , (ii)存在 e ? G ,使得对一切 a? G 都有:

a ? e ? e ? a ? a ,此时关于运算 ? 的集合为“融洽集”.现给出下列集合运算: ? 为整数的加法. ? 为整数的乘法. (2)G={偶数} . (3)G={平面向量}. ? 为平面向量的加法. ? 为复数的乘法. (4)G={虚数}. 其中 G 关于运算 ? 为融洽集的有哪些?并说明理由.
(1)G={非负整数}. 2. 设集合 S={A0 , A1 , A2 , A3 } , 在集合 S 上定义运算:Ai ? A j ? Ak , 其中 k 是 i ? j 被 4 整除的余数.( i, j ? 0,1,2,3) ,满足关系式:( X ? X ) ? A2 ? A0( X ? S )的集合 X 的个数是( A. 4 ) B. 3 C. 2 D. 1

【思路分析】按照题意, 这两题都是新定义集合的创新试题.1. 按照新集合“融洽集”的定 义逐一判断.2. 关键是理解:在集合 S 上定义运算法则.? X ? S ,故 X ? A0 , A1 , A2 , A3 等,然后逐一验证. 【解题过程】1. (1)由于任意的两个非负整数之和还是非负整数满足(i) ,同时存在 e=0 满足(ii) ,故为融洽集.

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(2)任意的两个偶数之和仍是偶数满足(i) ,但不存在偶数 e, 使 a ? e ? e ? a ? a 成立.故不是融洽集 (3)由于任意的两个向量的和仍是向量,满足(i) ,存在 e ? 0 满足条件(ii) ,故是融 洽集. (4)由于任意两个虚数的和不一定是虚数,不满足(i) ,故不是融洽集. 2. 当 X ? A0 时,0+0 被 4 整除余数是 0,故 ( X ? X ) ? A2 ? A2 不满足题意. 当 X ? A1 时,1+1 被 4 整除余数是 2,此时满足 ( X ? X ) ? A2 ? A0 当 X ? A2 时,2+2 被 4 整除余数为 0,此时 ( X ? X ) ? A2 ? A2 不满足题意 当 X ? A3 时,3+3 被 4 整除余数为 2,此时满足 ( X ? X ) ? A2 ? A0 故本题选 C. 【解题后的思考】像这类创新型的集合问题是新课标高考命题的热点, 解题的关键是对已知 中的自定义集合“运算”或自定义“集合”中的定义的理解.

(1)在知识点一中出现的题型大都是选择题或填空题,掌握集合的基础知识是关键. 同时,要能利用数轴、 V enn 图等数学工具解决问题. (2)在集合的交、并、补集的基本运算中,基本上都以填空题或选择题出现,根据考 纲的要求,一般计算量不会太大.主要考查基础与能力,掌握数轴或 V enn 图的数学工具的 应用会给解题带来很大的方便, 在以集合为载体的大题中要注重数学思想方法的应用, 集合 的创新问题一般难度不太大,但解题的关键是理解新定义、应用新定义.同时规范的解题步 骤也是得分的重要环节.

(答题时间:60 分钟,满分 60 分)
一、选择题(每题 5 分 计 20 分) )个 1. 下列命题或表达式正确的个数是(

(1) ? ? ? .(2)0 ? ? .(3)若集合 A={x| x 2 ? 1 ? 0} ,则集合有 2 个子集. (4) {x | y ? x 2 ? 1} ? { y | y ? x 2 ? 1} , (5)M={直线},N={圆},则 M ? N ? ? (6) CU ( A ? B) ? CU ( A ? B) . A. 2 A. x=3,y=-1 C. {3,-1} B. 3 C. 4 B.(3,-1) D. {(3,-1)} ) D. 5 ) 2. 集合 M={(x,y)|x+y=2} N={(x,y)|x-y=4},则 M ? N ? (

}, A ? CU B ? ( *3. 设 U=R,A= {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1
A.

{x | 0 ? x ? 1}

B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 1}

C. {x | x ? 0}

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*4. 集合 M={x| tan x 2 ? 1}, N ? {x | cos 2x ? 0},则 M,N 的关系是( A. M ? N C. M ? N 二、填空题(每题 5 分,计 15 分) B. N ? M D. M ? N ? ?



*5. 集合 M={ ( x, y) | y ? k ( x ? 1) ? 1} ,集合 N={ ( x, y) | x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0} 则 M ? N 的子集的个数是___________. 6. 设集合 A={ x | ?

?x ? 1 ? a 2 ?x ? 4 ? 2a

},若 A 非空,则 a 的取值范围是_________.

*7. 从自然数 1-20 这 20 个数中,任取 2 个相加,得到的和作为集合 M 中的元素,则 M 的非空子集的个数是_________. 三、计算题: ( 25 分) *8. 设集合 A={ x || x ? a |? 2}, B ? {x |

2x ? 1 ? 1}, A ? B ,求 a 的取值范围.(10 分) x?2

*9. 已知集合 A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,4,5,8},又知集合 C 是这样的 一个集合:若 C 中的各个元素都加上 2,则变为 A 的一个子集,若 C 中的各个元素都减去 2,则变为 B 的一个子集,求集合 C 的个数.(5 分) **10. 已知集合 A={ x | x 2 ? px ? q ? 0}, B ? {x | qx2 ? px ? 1 ? 0} 同时满足下面的 条件: (i) A ? B ? ? , (ii) A ? (C R B) ? {?2}, ( p, q ? 0) ,求 p,q 的值.(10 分)

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一、选择题 1. A 解析: ( 1) (5)是正确的. 2. D 3. B 4. C 解析:由 tan x 2 ? 1 ? tan x ? ?1 ? x ? k? ?

?
4



由 cos 2 x ? 0 ? 2 x ? 2k? ?

?
2

? x ? k? ?

?
4

,故 M=N.

二、填空题 5. 4 解析:由 ?

? y ? k ( x ? 1) ? 1
2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0

? (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k 2 x ? (k 2 ? 1) ? 0 ,

?1 ? k 2 ? 0, ? ? 4k 4 ? 4(1 ? k 2 )(1 ? k 2 ) ? 4 ? 0 ,
? M ? N 中有两个元素,? M ? N 的子集有 4 个.
6.(-1,3) 7. 2 37 ? 1 解析:由已知:1 ? a ? 4 ? 2a ? ?1 ? a ? 3 .
2

解析:由已知集合 M 中的最小数是 1+2=3,最大数是 19+20=39,

故集合 M 中共有 37 个元素. 三、计算题 8. 解:化简集合 A= {x | a ? 2 ? x ? a ? 2}, B ? {x | ?2 ? x ? 3} ,集合 A 显然非空, 利用数轴由 A ? B 得: ?

?a ? 2 ? ?2 ? 0 ? a ? 1, ?a ? 2 ? 3

故 a 的取值范围是[0,1]. 9. 解: (逆向思维)A 中的元素都减去 2 得集合 D={0,2,4,6,7}, B 中的元素都 加上 2 得集合 E={3,4,5,6,7,10},故集合 C 是集合 D 与集合 E 的交集的真子集,故 集合 C 有 2 ? 1 ? 7 个.
3

10. 解:设 x0 是集合 A 中的元素,则 x0 ? px0 ? q ? 0 ? q ?
2

1 1 ? p ? ?1 ? 0 , 2 x0 x0



1 ? B ,即集合 A, B 中的元素互为倒数. x0 1 ? x0 ? ?1,又 A ? (C R B) ? {?2} ? ?2 ? A , x0
1 2

由 A ? B ? ? 一定有: x0 ?

故 A={1,-2}或 A={-1,-2}, 由此求得 B ? {1,? }或B ? {?1,? } , 由根与系数的关系知:

1 2

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)+(-2)= ? p ?p ? 1 ?1 ? (?2) ? ?p (- ? 1 ?p ? 3 . 或? ?? 或? ? 1) ? (-2) ? q ?1 ? (?2) ? q ?(- ?q ? ?2 ?q ? 2

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