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高考题分类线性规划


线性规划
x ? 0 ? ? 1. (安徽 11)若 x , y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ ?2x ? y ? 3 ?

【解析】 x ? y 的取值范围为 _____ [ ? 3, 0 ] 约束条件对应 ? A B C 边际及内的区域: A ( 0 , 3 ), B ( 0 , ), C

(1,1)
2 3

则 t ? x ? y ? [ ? 3, 0 ]
?0 ? x ? 2, ?0 ? y ? 2

2. 北京 2.设不等式组 ?

,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此

点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 (A)
?
4

(B)

? ?2
2

(C)

?
6

(D)

4?? 4

【解析】题目中 ?

?0 ? x ? 2 ?0 ? y ? 2

表示的区域如图正方形所示,而动点 D

可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此
2?2? P ? 1 4 2?2

? ?2

2

?

4?? 4

,故选 D。

【答案】D
?x ? y ? 3 ? 0 ? 3.福建 9.若直线 y ? 2 上存在点 ( x , y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值 ?x ? m ?
x

为(

) A.
1 2

B.1

C.

3 2

D.2

考点:线性规划。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为含参的线性规划,需要画出可行域的图形,含参的直线要能画 出大致图像。

解答:可行域如下:

( 0 , 3)

y ? 2x
( m ,3 ? m )

( 3 , 0)
3 2

( 0, -



?x ? y ? 3 ? 0 ? 所以,若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x , y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , ?x ? m ?

则 3 ? m ? 2 ,即 m ? 1 。
m

? y ? 2 ? 4.广东 5. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 3 x ? y 的最大值为( ?x? y ?1 ?
( A) 12 (B ) 11 (C ) ? (D ) ??

)

【解析】选 B

约束条件对应 ? A B C 边际及内的区域: A ( 2 , 2 ), B (3, 2 ), C ( , )
2 2

5 3

则 z ? 3 x ? y ? [8,1 1] 5.江苏 14.2012 年江苏省 5 分) ( 已知正数 a ,b ,c 满足: c ? 3 a ≤ 5 则
b a
b ≤ 4 c ? a ,c ln b ≥ a ? c ln c ,

的取值范围是 ▲ .

【答案】 ? e, 7 ? 。 【考点】可行域。 【解析】条件 5 c ? 3 a
? a b ? 5 ?3 ? ? c c ? ?a b ? 4 ? ? c ?c a ? b ? ? ec ?c
≤ b ≤ 4 c ? a , ln b ≥ a ? c ln c c

可化为:





a c

= x, y =

b c

,则题目转化为:

?3x ? y ? 5 ? ?x ? y ? 4 已知 x, y 满足 ? x ?y ? e ? x > 0, y > 0 ?

,求

y x

的取值范围。

作出( x, y )所在平面区域(如图) 。求出 y = e x 的切 线的斜率 e ,设过切点 P ? x 0, y 0 ? 的切线为 y = e x 则
y0 x0 = ex0 ? m x0 =e ? m x0
? m ?m ? 0?



,要使它最小,须 m = 0 。



y x

的最小值在 P ? x 0, y 0 ? 处,为 e 。此时,点 P ? x 0, y 0 ? 在 y = e x 上 A , B 之间。
? y=4 ? x ?5 y = 20 ? 5 x y ? ? ? y=7x ? =7 ? x ? y=5 ? 3x ?4 y = 20 ? 12 x

当( x, y )对应点 C 时,
y x



∴ ∴

的最大值在 C 处,为 7。 的取值范围为 ? e, 7 ? ,即
b a

y x

的取值范围是 ? e, 7 ? 。

6.江西 8.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入资金不超过 54 万元, 假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植 面积(单位:亩)分别为( ) A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 8.B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方 法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元,则目标函数为
? x ? y ? 50, ? ? 1 .2 x ? 0 .9 y ? 5 4 , z ? ( 0 .5 5 ? 4 x ? 1 .2 x ) ? ( 0 .3 ? 6 y ? 0 .9 y ) ? x ? 0 .9 y .线性约束条件为 ? ? x ? 0, ? y ? 0. ? ? x ? y ? 50, ? x ? y ? 50, ? ? ? 4 x ? 3 y ? 180, ? 4 x ? 3 y ? 180, 即 ? 作出不等式组 ? 表示的可行域 ,易求得点 x ? 0, x ? 0, ? ? ? y ? 0. ?y ? 0 ? ?

A ? 0, 50 ? , B ? 30, 20 ? , C ? 0, 45 ? .

平移直线 z ? x ? 0 .9 y ,可知当直线 z ? x ? 0 .9 y 经过点 B ? 3 0 , 2 0 ? ,即 x ? 3 0 , y ? 2 0 时,z 取得最大 值,且 z m a x ? 4 8 (万元).故选 B. 【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为: (1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数; (3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答. 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值 问题.
? x -y ? 1 0 ? 7 辽宁 8. 设变量 x , y 满足 ? 0 ? x + y ? 2 0 ,则 2 x + 3 y 的最大 ?0 ? y ? 15 ?

值为 A.20 B.35 C.45 D.55 【命题意图】本题主要考查简单线性规划,是中档题. 【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示, 由图知目标函数过 点 A ? 5,1 5 ? 时, 2 x + 3 y 的最大值为 55,故选 D.
?x ? y ?1? 0 ? ? 8. 全国卷大纲 版 13.若 x , y 满足 约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 , 则 z ? 3 x ? y 的最小值 为 ? ? ?x ? 3y ? 3 ? 0

。 答案: ? 1 【命 题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用。常规题型,只要正确作图,表 示出区域,然后借助于直线平移法得到最值。 【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的为三角形,当目标函数过点 ( 3 , 0 ) 时, 目标函数最大 ,当目标函数过点 ( 0 ,1) 时最小为 ? 1 。

]

9 山东 解析:作出可行域,直线 3 x ? y ? 0 ,将直线平移至点 ( 2 , 0 ) 处有最大值, 点 ( , 3 ) 处有最小值,即 ?
2 1 3 2 ? z ? 6 .答案应选 A。

10 陕西 14. 设函数 f ( x ) ? ?

? ln x ,

x ? 0 x ? 0

? ? 2 x ? 1,

, D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x ) 及该曲线在点

(1, 0 ) 处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为



【答案】2 【解析】当 x ? 2 时, f ? x ? ?
'

1 x

' , f ?1 ? ? 1 ,∴曲线在点 (1, 0 ) 处的切线为 y ? x ? 1

则根据题意可画出可行域 D 如右图: 目标函数 y ?
1 2 x ? 1 2 z ,

当 x ? 0 , y ? ? 1 时,z 取得最大值 2 11 四川 9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原 料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、B 原 料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可 获得的最大利润是( ) A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元 [答案]C [解析]设公司每天生产甲种产品 X 桶,乙种产品 Y 桶,公司共可获得 利润为 Z 元/天,则由 已知,得 Z=300X+400Y
? X ? 2 Y ? 12 ? ? 2 X ? Y ? 12 且? ?X ? 0 ?Y ? 0 ?

画可行域如图所示, 目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y= ?
3 4 x ? z 400

这是随 Z 变化的一族平行直线
?x ? 4 即 A(4,4) ? Z ? ? ?y ? 4

解方程组 ?

? 2 x ? y ? 12 ? x ? 2 y ? 12

m ax

? 1200

? 1600

? 2800

[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件) 、二画(画出可行域) 、三作(作 目标函数变形式的平行线) 、四求(求出最优解). 1
? x, y ? 0 ? 12 新 课 标 (14) 设 x , y 满 足 约 束 条 件 : ? x ? y ? ? 1 ; 则 z ? x ? 2 y 的 取 值 范 围 为 ? x? y ? 3 ?

【解析】 z ? x ? 2 y 的取值范围为

[ ? 3, 3 ]

约束条件对应四边形 O A B C 边际及内的区域: O ( 0 , 0 ), A ( 0 ,1), B (1, 2 ), C (3, 0 ) 则 z ? x ? 2 y ? [ ? 3, 3 ] 13 浙江 21.(本小题满分 14 分)已知 a>0,b ? R,函数 f ? x ? (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ)
f ? 4 ax ? 2bx ? a ? b
3



? x ? +|2a-b|﹢a≥0;

(Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。 (Ⅰ) (ⅰ)
2 f ? ? x ? ? 12ax ? 2b

. >0 在 0≤x≤1 上恒成立, =|2a-b|﹢a;

当 b≤0 时,

2 f ? ? x ? ? 1 2 a x ? 2b

此时 f ? x ? 的最大值为: f ? 1 ? 当 b>0 时,

? 4 a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b

2 f ? ? x ? ? 1 2 a x ? 2b

在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,

此时 f ? x ? 的最大值为:
f m ax

?x?

? b ? a, b ? 2 a ? m a x { f ( 0 ), (1) ? m a x { ( b ? a ), ( 3 a ? b )} ? ? f } b ? 3 a ? b, ? 2 a

=|2a-b|﹢a;

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a. 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a,

∵ g ?x?

? ? 4 ax ? 2bx ? a ? b
3

,∴令 g ? ? x ?
? 2b

? ? 12 ax ? 2b ? 0
2

?

x ?

b 6a



当 b≤0 时, g ? ? x ?

? ? 12ax

2

<0 在 0≤x≤1 上恒成立, =|2a-b|﹢a;

此时 g ? x ? 的最大值 为: g ? 0 ? 当 b<0 时, g ? ? x ?
g m ax
? ? 12ax
2

? a ? b ? 3a ? b

? 2b

在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,

?x?

? m ax{ g (
4 3

b 6a

), g 1) ( }

? m ax{

b

b 6a

? a ? b, b ? 2 a }

?4 b b ? a ? b, ? 6 a ? b ? ?3 6a b ? 6a ? ? b ? 2 a,

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为: ? 作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 z m a x ∴所求 a+b 的取值范围为: ( ? 1, 3 ]. .
? 3
?b ? 2a ?b ? a ? 1

和?

?b ? 2a ? 3a ? b ? 1

,目标函数为 z=a+b.



【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) ( ? 1 , 3 ]. .

14





10













? 1 ? 2 2 A ? ? ( x , y ) ( y ? x )( y ? ) ? 0 ? , B ? ( x , y ) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ,则 A ? B 所表示的平 x ? ?

?

?

面图形的面积为 (A) ?
4 3

(B) ?
5

3

(C) ?
7

4

(D)

?
2

【解析】选 D 由对称性:
y ? x, y ? 1 x , ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 围成的面积与 y ? x , y ?
2 2

1 x

, ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1
2 2
2 2

围成的面积相等 得: A ? B 所表示的平面图形的面积为 y ? x , ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 围成的面积既
1 2 ?? R
2

?

?
2


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