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函数图象关于点对称性


函数图象关于点对称性
函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。 函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质之一,对称关 系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决, 对称关系还充分体现了数学的之美。对称性,在几何中研究的较多,在代数中研究的 较少。本文只探讨函数的关于点对称性。 I.函数自身关于点对称性 命 题 1 : 函 数 (或者 证明: (必要性)设 的对称点 故 (充分性)设点 ,∴ 也在 得证。 推论 1:奇函数的图像关于原点对称。 证明:设函数 函数 是奇函数,则奇函数定义有 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,由命题 1 可得 对称。 满足 ,则函数 图象关于 是 是 也在 的 图 像 关 于 点 ) 图像上任一点,∵点 图像上,∴ ,必要性得证。 图像上任一点,则 ,即 图像上,而点 与点 关于点 ,∵ ,故点 对称,充分性 关于点 ,即 对 称 的 充 要 条 件 是

图像关于源点 推论 2:如果函数



对称。 (证明略) 推论 3:函数 证明:∵ ∴ , 的图像关于点 。 ,

1

由命题 1 有函数 例 1

的图像关于点 满足 且

对称。 且 函数 ,则 的值( 在 区间 )

已 知定义域 为 的函 数

上单调递增,如果

A. 恒小于 0
分析:先

B. 恒大于 0 代替 ,使

C. 可能为零 D. 可正可负 变形为 对称。 在区间 ,它的特 上单调递增, 的图像关于点

征就是推论 2,因此函数 在区间 个单位。 解:∵ ∴ ∴ 以选 A 例 2 如果函数 称中心) 如果 为奇函数,并且

上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两

且在区间 ,∵ ∴

上单调递增, ∴函数 的图像关于点 对称, .所

满足

,求该函数的对称中心。 (因为

自变量加起来为 7 时函数值的和始终为 6,所以中点固定为(3.5,3) ,这就是它的对

,求该函数的所有对称中心和对 , 从而 为对称轴, , ,

称轴。 (由周期性定义知周期为 4, 又 按上例知 x=-1 为对称轴,所以 例 3 定义在 上的函数 则 解:由命题 1 可得函数 关于点 对称,所以点 满足

为对称中心其中 k∈Z)

关于点

的对

2

称点

也在函数 ;同理可得 .

图象上,所以 , ,

,即 ;于是

例 4 数 都有 则

已知定义在 上的函数 ,且

的图象关于点 、 ,

成中心对称,对任意的实

的值为( B. -1 C. 0 D. 1 成中心对称,得 ;令 则 ,即 , ,于是

) 。

A. 2

解:由函数

的图象关于点 ,∴

,又 是

偶函数,且 数 , 则

是以 3 为周期的函 , ∴

=

=1.

例 4

函数 .

的图象关于点

成中心对称,则实数

解:由推论 3 可知

图象关于点

成中心对称,所以

3

,即 例 5 函数 .

. 的反函数的图象关于点 成中心对称,则实数

A. 2

B. 3

C. -2

D. -4 图象关于点 成中心对称, 点 关于直线 ,即 . 成中心对称。 的对称点是 的图象上, 所 成中心对称。 的定义域均为 ,那么函 成中心对称图形的充要条件是: 成中心对称,又 的

由推论 3 可知 反函数的图象关于点 所以点

II.不同函数关于点对称性 命题 1: 函数 证明:设 与 是函数 ,因为点 以函数 命题 2:设 数 对一切 与 均为常数,函数 的图像关于点 图象上的任意一点,则点 关于 在函数 的图像关于点 )与函数

的图象与函数 ,均有

的图象关于 b.

证明: (1)充分性:设 则点 关于 所以 一点,也即函数 的对称点是 ,即点 图象上任意一关于点
4

是函数 ,且 是

图象上的任意一点,

. 函数图象上的 的图

的对称点都在函数

象上;同理可证,函数 的图象上。 (2) 必要性:设点 于点 ∴ . 的对称点 ,即

图象上任意一关于点

的对称点也都在函数

是函数 在函数

图象上的任意一点,则点 关 图象上, ,也即对一切 , 均有

由(1) (2)证明可知:命题 2 成立。 推论 1 :设 象关于点 证明:令 则 ∴ ∴由命题 2, 函数 数 例 1 已知函数 图象 ( ) A.关于直线 C.关于点 简解:令 均成立。 ∴ ,由:命题 2 可知选 D。
5

均为常数,则函数 成中心对称。 , ,对 对 均成立. 与函数

的图象与函数

的图

均成立。

的图象, 即函数 成中心对称。 与

的图象与函

的图象关于点

是定义在 上的函数, 那么



对称. B.关于直线 对称. D.关于点

对称. 对称。 ,则 对


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