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江苏省徐州一中2012届高三5月考前热身训练


徐州一中 2012 届高三数学考前热身训练
命题人:徐州一中高三数学组
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上. . 1. 已知 tan ? ? 2 ,则
sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) = sin( ?? ) ? cos( ?? )

▲ ▲

2. 抛物线 y ? 4x2 的焦点到准线的距离是

3. 命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为 ▲ 4. 阅读下列算法语句: Read S ?1 For I from 1 to 5 step 2 S ?S+I End for Print S End 输出的结果是 ▲ . 1 x ?1 5.设集合 A ? {x ? 3x ? 3}, B ? {x ? 0} ,则 A ? B = 3 x 6.函数 y ?



1 2 x ? log 2 x 的单调递减区间为 2



7. 若直径为 2 的半圆上有一点 P ,则点 P 到直径两端点 A, B 距离之和的最大值为 8.设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都为 6cm,现用直径为 2cm 的硬币投掷 到此网格上,则硬币落下后与格线有公共点的概率为______▲ _____ 9. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 AB1,BC1 上的点,且满足 AM=BN,有下列 4 个 结论:①MN⊥AA1;②MN∥AC;③MN∥平面 A1B1C1D1;④MN⊥BB1D1D。其中正确的结论的序号 是_____▲ ____ 10.某人 2011 年初向银行申请个人住房公积金贷款 a(a ? 0) 元购买住房, 年利率为 r (r ? 0) , 按复利计算,每年等额还贷一次,并从贷款后的次年初开始还贷.如果 10 年还清,那么每年 应还贷款 ▲ 元.(用 a,r 表示) 11. 函数 f ( x) ? cos( ? ? )(0 ? ? ? 2? ) ,在区间 (?? , ? ) 上单调递增,则实数 ? 的取值范 围为 ▲ .

x 3

12.如果二次方程 x2 ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 ______▲ ______个 13. 给定正整数 n 和正常数 a , 对于满足不等式 a12 ? an?12 ? a 的所有等差数列 a1 , a2 , a3…… , ________ ( ? ai ) max ? ______▲
i ? n ?1 2 n ?1

x2 y 2 6 14. (原创)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率 a b 3
为 1 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点, 设 M 椭圆 C 上任意一点 ,且 OM ? ?OA ? ?OB ,则

???? ?

??? ?

??? ?

? ? ? 的取值范围为_____▲ _____
二、解答题: 本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出 ........ 文字说明、求证过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知 sin( A ?

π π π 7 2 , A?( , ) . )? 4 2 4 10

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 的值域. 2

16. (本题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ∠BAC=90°,AB=BB1=a,直 线 B1C 与平面 ABC 成 30°角. (1)求证:平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (2)求 C1 到平面 B1AC 的距离;

(3)求三棱锥 A1—AB1C 的体积.

17. (本题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,公差 d ? 0, 且S3 ? S5 ? 50, a1 , a4 , a13 成等比数列. (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )设 ?

? bn ? ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . ? an ?

18. (本题满分 16 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率为 , 并且直线 ? x ? b 是抛物线 y ? 4 x y 2 2 a b

的一条切线。 (I)求椭圆的方程; (II)过点 S (0,? ) 的动直线 L 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个 定点 T, 使得以 AB 为直径的圆恒过点 T?若存在, 求出点 T 的坐标; 若不存在, 请说明理由。 19. (本题满分 16 分) 如图,海岸线 MAN , ?A ? 2? , 现用长为 l 的拦 网围成一养殖场,其中 B ? MA, C ? NA . (1)若 BC ? l , 求养殖场面积最大值; (2)若 B 、C 为定点, BC ? l ,在折线 MBCN 内选点 D , 使 BD ? DC ? l ,求四边形养殖场 DBAC 的最大面积; (3)若(2)中 B、C 可选择,求四边形养殖场 ACDB 面积的最大值.

1 3

20. (本题满分 16 分) 对于定义域为 D 的函数 y ? f (x) ,如果存在区间 [m, ① f (x) 在 [m,

n] ? D ,同时满足:

n] 内是单调函数; n] 时, f (x) 的值域也是 [m, n] .

②当定义域是 [m, 则称 [m,

. n] 是该函数的“和谐区间”

(1)求证:函数 y ? g ( x) ? 3 ? (2)已知:函数 y ?

5 不存在“和谐区间” . x

(a 2 ? a) x ? 1 ( a ? R, a ? 0 )有“和谐区间” [m, n] ,当 a 变化 a2x

时,求出 n ? m 的最大值.

徐州一中 2012 届高三数学模拟卷答案
1 (0, ) 1 a b 1、3;2、 ;3、若 a≤b,则 2 ≤2 -1;4、10;5、 (?1,1) ;6、 ln 2 7、 2 2 ; 8 5 4? 5? ar (1 ? r )10 [ , ] 1 ○;10、 3 8、 9 ;9、○ ;11、 3 3 、12、7; (1 ? r )10 ? 1
13、 [? 10an. 10an] ;14、 [? 2, 2] 15. 解 : Ⅰ ) 因 为 (

π π π π 3π π 7 2 ? A ? , 且 sin( A ? ) ? , 所 以 ? A? ? , 4 2 2 4 4 4 10

π 2 . cos( A ? ) ? ? 4 10
π π π π π π ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? ) sin 4 4 4 4 4 4 3 2 2 7 2 2 3 ?? ? ? ? ? .所以 cos A ? . ????6 5 10 2 10 2 5 4 5 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ? . 所以 f ( x) ? cos 2 x ? sin Asin x 5 2 1 3 ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ? R . 因为 sin x ?[?1,1] ,所 2 2 3 1 以,当 sin x ? 时, f ( x ) 取最大值 ;当 sin x ? ?1 时, f ( x ) 取最小值 ?3 . 2 2 3 所以函数 f ( x ) 的值域为 [ ?3, ] . ????????14 分 2
因为 cos A ? cos[( A ?

16.解: (1)证明:由直三棱柱性质,B1B⊥平面 ABC, ∴B1B⊥AC,又 BA⊥AC,B1B∩BA=B,∴AC⊥平面 ABB1A1,又 AC ? 平面 B1AC, ∴平面 B1AC⊥平面 ABB1A1. (2)解:∵A1C1∥AC, A1C1 ? 平面 B1AC ∴A1C1∥平面 B1AC ∴C1 到平面 B1AC 的距离就是求 A1 到平面 B1AC 的距离 过 A1 做 A1M⊥B1A1,垂足为 M,连结 CM, ∵平面 B1AC⊥平面 ABB1A,且平面 B1AC∩平面 ABB1A1=B1A, ∴A1M⊥平面 B1AC.
从而A1C ? 3a, 又A1 M ? sin A1CM ? 2 a, 2

A1 M∴C1 到平面 B1AC 的距离为 2 6 ? . 2 A1C 6

(3)解:∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角,∴∠B1CB=30°. 可得 B1C=2a,BC= 3a, AC ?

2a ,∴ VA1 ? AB1C ? VB1 ? ABC ?

2 3 a 6

17.解: )依题意得 (Ⅰ

3? 2 4?5 ? d ? 5a1 ? d ? 50 ?3a1 ? ????????????????2 分 2 2 ? ?(a ? 3d ) 2 ? a (a ? 12d ) 1 1 ? 1 ?a ? 3 解得 ? 1 , ????????????????4 分 d ?2 ? ?an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 即an ? 2n ? 1.???????????6 分 ,
(Ⅱ)

bn ? 3n?1 , bn ? an ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n?1 an

????????????????

7分

Tn ? 3 ? 5 ? 3 ? 7 ? 32 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n?1

3Tn ?

3 ? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n ????????9 分

? 2Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 3n?1 ? (2n ? 1)3n
3(1 ? 3 n ?1 ) ? (2n ? 1)3 n 1? 3 ? ?2n ? 3n ∴ Tn ? n ? 3n . ? 3? 2?
18. 解: (I)由 ?

???????????14 分

?y ? x ? b 消去 y得 : x 2 ? (2b ? 4) x ? b 2 ? 0 2 ? y ? 4x 2 2 因直线 y ? x ? b与抛物线 ? 4x 相切? ? ? (2b ? 4) ? 4b ? 0 y2 ?b ? 1 ????2 分 c 2 2 ?e ? ? , a ? b2 ? c2 a 2 x2 a2 ? b2 1 ? y 2 ? 1. 故所求椭圆方程为 ????5 分 ? ? 2 2 2 a

?a ? 2
(II)当 L 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程:

1 4 x2 ? ( y ? )2 ? ( )2 3 3
当 L 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程: x 2 ? y 2 ? 1

1 2 4 2 ? 2 ?x ? 0 ?x ? ( y ? ) ? ( ) 由? 3 3 解得? ?y ? 1 ?x 2 ? y 2 ? 1 ?
即两圆相切于点(0,1) 因此,所求的点 T 如果存在,只能是(0,1) 事实上,点 T(0,1)就是所求的点,证明如下。 当直线 L 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(0,1) 若直线 L 不垂直于 x 轴,可设直线 L: y ? kx ? ????8 分

1 3

1 ? ? y ? kx ? 3 ? 消去y得 : (18k 2 ? 9) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0 由? 2 ?x ? y2 ? 1 ?2 ? 12k ? ? x1 ? x 2 ? 18k 2 ? 9 ? 记点 A( x1 , y1 ) 、 B( x 2 , y 2 ), 则? ? x x ? ? 16 ? 1 2 18k 2 ? 9 ?

????10 分

又因为 ? ( x1 , y1 ? 1),TB ? ( x 2 , y 2 ? 1) TA 4 4 所以TA ? TB ? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y 2 ? 1) ? x1 x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? ) 3 3 4 16 2 ? (1 ? k ) x1 x 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? ????12 分 3 9 ? 16 4 12 k 16 ? (1 ? k 2 ) ? ? k? ? ?0 2 2 18k ? 9 3 18k ? 9 9
所以 TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,1) 所以在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件。 19. 解:(1)设 AB ? x, AC ? y, x ? 0, y ? 0. ????16 分

l 2 ? x 2 ? y 2 ? 2xy cos 2? ? 2xy ? 2xy cos 2? ,
l2 l2 ? , 2 ? 2cos 2? 4sin 2 ? 1 1 l2 l 2 cos ? S ? xy sin 2? ? ? ? 2sin ? cos ? ? , 2 2 4sin 2 ? 4sin ? l 2 cos ? 所以,△ ABC 面积的最大值为 ,当且仅当 x ? y 时取到. 4sin ? xy ?
1 (2)设 AB ? m, AC ? n(m,n 为定值). BC ? 2c (定值) ,由 DB ? DC ? l ? 2a ,a = 2 l, 知点 D 在以 B 、 C 为焦点的椭圆上, S ?ABC ?

1 mn sin 2? 为定值. 2 只 需 ?D B C 面 积 最 大 , 需 此 时 点 D 到 BC 的 距 离 最 大 , 即 D 必 为 椭 圆 短 轴 顶

点. b ?

a2 ? c2 ?

l2 1 l2 ? c 2 , S?BCD 面积的最大值为 ? 2c ? b ? c ? ? c2 , 4 2 4

1 l2 m ? n ? sin 2? ? c ? ? c2 . 2 4 (3)先确定点 B、C,使 BC ? l . 由(2)知 ?DBC 为等腰三角形时,四边形 ACDB 面积最大.
因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 确定△BCD 的形状,使 B、C 分别在 AM、AN 上滑动,且 BC 保持定值,由(1)知 AB=AC 时,四边形 ACDB 面积最大.此时,△ACD≌△ABD,∠CAD=∠BAD=θ ,且 CD=BD= S= 2 S ?ACD ? 2 ?

l . 2

1 ? AC ? AD ? sin ? .由(1)的同样方法知,AD=AC 时,三角形 ACD 面积最大, 2 l l2 1 l 最大值为 ? ? 4 .所以,四边形 ACDB 面积最大值为 . ? ? 2 2 8 t an tan 2 2 20. (1)设 [m, n] 是已知函数定义域的子集.? x ? 0 , [m, n] ? (? ?, 0) 或 5 [m, n] ? (0, ? ?) ,故函数 y ? 3 ? 在 [m, n] 上单调递增. x ? g (m) ? m 若 [m, n] 是已知函数的“和谐区间” ,则 ? ?????4 分 ? g (n) ? n 5 故 m 、 n 是方程 3 ? ? x 的同号的相异实数根. x 5 ? x 2 ? 3x ? 5 ? 0 无实数根,? 函数 y ? 3 ? 不存在“和谐区间” .??????6 分 x (2)设 [m, n] 是已知函数定义域的子集.? x ? 0 , [m, n] ? (? ?, 0) 或

(a 2 ? a) x ? 1 a ? 1 1 ? ? 2 在 [m, n] 上单调递增. 2 a a x a x ? f (m) ? m 若 [m, n] 是已知函数的“和谐区间” ,则 ? ?????10 分 ? f (n) ? n a ?1 1 ? 2 ? x ,即 a 2 x ? (a 2 ? a) x ? 1 ? 0 的同号的相异实数根. 故 m 、 n 是方程 a a x 1 ? mn ? 2 ? 0 ,?m , n 同号,只须 ? ? a 2 (a ? 3)(a ? 1) ? 0 ,即 a ? 1 或 a ? ?3 时,已 a 1 1 2 4 2 知函数有“和谐区间” [m, n] ,? n ? m ? (n ? m) ? 4m n ? ? 3( ? ) ? , a 3 3 2 3 ??????16 分 ? 当 a ? 3 时, n ? m 取最大值 3

[m, n] ? (0, ? ?) ,故函数 y ?

徐州一中 2012 届高三数学模拟卷

附加题
21B.选修 4-2:矩阵与变换 已知 M ? ?

?? ? 3 ?2 ? ?? ? 4? , ? ? ? ? ,试计算 M9 ? . ? ? 2 ?2 ? ?5?

22C.选修 4-4:坐标系与参数方程 ?x=2cosθ, ?x=-2t+2, 已知曲线? (θ 为参数)和曲线? (t 为参数)相交于两点 A,B,求 A,B 的坐 ?y=3t. ?y= 3sinθ. 标.

22.如图,已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=2, AA1=4,E 为 BC 的中点,F 为直线 CC1 上的动点, 设 C1F ? ? FC . (1)当 ? =1 时,求二面角 F-DE-C 的余弦值; (2)当 ? 为何值时,有 BD1⊥EF? A1

??? ?

???

D1 B1

C1

D

C

(第 22 题图)

23.某养鸡场对疑似有传染病的 100 只鸡进行抽血化验,根据流行病学理论这些鸡的感染率 为 10%,为了减少抽检次数,首先把这些鸡平均分成若干组,每组 n 只,并把同组的 n 只鸡 抽到的血混合在一起化验一次,若发现有问题,再分别对该组 n 只鸡逐只化验. (1)当 n=4 时,记某一组中病鸡的数量为 X,求 X 的概率分布和数学期望; (2)当 n 为多少时,化验次数最少?并说明理由.

徐州一中 2012 届高三数学模拟卷
附加题参考答案 21B.由

? ?3
?2

2 ? (? ? 3)(? ? 2) ? 4 ? ? 2 ? ? ? 2 ? 0 ??2

得:

?1 ? 2, ?2 ? ?1
?? ? ? 2? ?1 ? ?? ? ?1 ? ?2?

当 ?1 ? 2 时,对应的特征向量为 ?1 ? ? ? ,当 ?1 ? ?1 时,对应的特征向量为 ? 2 ? ? ? ,

? ?? ? ?? ? 4? ?? ? 2? ?1 ? ?1022? ? ? ? ? ? ?1 ? 2? 2 ,所以 M9 ? = 29 ? ? ? (?1)9 2 ? ? ? ? ?. ?5? ?1 ? ? 2? ? 508 ? ??

3 22C.(2,0)和(1,2) 22. (1)解:建立空间直角坐标系,则 E(1,0,0) ,F(0,0,1) .

??? ? ,设平面 ABCD 的法向量为 n ,则 n =(0,0,1) . EF =(-1,0,1)
D(0,-2,0) ,F(0,0,2) ,∴ EF =(-1,0,2) DF =(0,2,2) , . 设平面 FDE 的法向量为 m ,则 m · DF =0, m · EF =0, m =(2,-1,1) . ∴cos< m , n >= 6 6 m?n = 6 .∴二面角 F-DE-C 的余弦值为 6 . m?n

??? ?

????

????

??? ?

(2)显然 D1(0,-2,4) ,B(2,0,0) ,设 F(0,0,t) , 则 EF =(-1,0,t) BD1 =(-2,-2,4) , .

??? ?

???? ?

? ??? ???? ? 1 要使 EF⊥ 1,只要 EF · BD1 =0,2+4t=0,t=-2.∴ ? =-9. BD
23.解: (1)由题意 X 服从 B(4,0.1),概率分布略,E(X)= 4×0.1×0.9=0.36 (2)由题意 n=1,2,4,5,10,20,25,50,100 当 n=1 或 100 时,就是逐只检验,检验次数为 100. 当 n∈{2,4,5,10,20,25,50} 4分 5分

100 将 100 只鸡平均分成 n 组,每组 n 只,设 X 为 n 只鸡中的病鸡数,则 X 服从 B(n,0.1),这 n 只鸡中无病鸡的概率为 0.9n,这时化验 1 次;若 n 只鸡中有病鸡,其概率为 1-0.9n,此时 化验 n+1 次. 设 Y 为 n 只鸡的化验次数,则 Y 的概率分布为 Y 1 n+1 n P 0.9 1-0.9n E(Y)=0.9n+(n+1)( 1-0.9n)=n+1-n·0.9n= n+1-n·(1-0.1)n 100 100 则 n 组共需化验次数为 E(Y)= n [n+1-n·(1-0.1)n] 100 n2-n 100 n2-n 100 ≈ n [n+1-n·(1-0.1n+ 2 ×0.12)]= n (1+0.1n2- 200 )= n +9.5n+0.5 函数 f(x)= 100 x +9.5x 在(0,3]内减,在[4,+∞)内增. 10 分 8分

又 f(2)=69 f(4)=63, 故 n=4 时,化验次数最少.


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