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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训8-2圆的方程试题


1.(2011?广州检测)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A.x +(y-2) =1 C.(x-1) +(y-3) =1 [答案] A [解析] 设圆心坐标为(0,b),则由题意知 ? 0-1?
2 2 2 2 2

)

B.x +(y+2) =1 D.x +(y-3) =1
2 2

2

2

+?
2

b-2?

2

=1,解得 b=2,
2

故圆的方程为 x +(y-2) =1. 2.(文)(2011?广东文,8)设圆 C 与圆 x +(y-3) =1 外切,与直线 y=0 相切,则圆
2 2

C 的圆心轨迹为(
A.抛物线 C.椭圆 [答案] A

) B.双曲线 D.圆

[解析] 动圆圆心 C 到定点(0,3)的距离与到定直线 y=-1 的距离相等, 符合抛物线的 定义,故选 A. (理)(2011?广州模拟)动点 A 在圆 x +y =1 上移动时, 它与定点 B(3,0)连线的中点的 轨迹方程是(
2 2 2

)
2

A.(x+3) +y =4 C.(2x-3) +4y =1 [答案] C
2 2

B.(x-3) +y =1 3 2 1 2 D.(x+ ) +y = 2 2

2

2

[解析] 设中点 M(x,y),则点 A(2x-3,2y), ∵A 在圆 x +y =1 上,∴(2x-3) +(2y) =1, 即(2x-3) +4y =1,故选 C. 3.方程(x +y -4) x+y+1=0 表示的曲线形状是(
2 2 2 2 2 2 2 2

)

[答案] C [解析]
? ?x +y -4=0, 注意到方程(x +y -4) x+y+1=0 等价于①? ? ?x+y+1≥0,
2 2 2 2 2 2

或②x+y+

1=0.①表示的是不在直线 x+y+1=0 的左下方且在圆 x +y =4 上的部分;②表示的是直 线 x+y+1=0.因此,结合各选项知,选 C. 4.(2011?华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆 x +y -2x-2y+1=0 上的点到直线 3x+4y+5=0 的距离最大值是 a,最小值是 b,则 a+b=( A. C. 12 5 6 5 B. 24 5 )
2 2

D.5

[答案] B 12 ?12 ? ?12 ? 24 [解析] 圆心 C(1,1)到直线 3x+4y+5=0 距离 d= , a+b=? +r?+? -r?= ∴ 5 ?5 ? ?5 ? 5 (r 为圆的半径). 5.(2012?福州八县联考)已知函数 f(x)= 1-? 1<x1<x2<2 的任意 x1、x2,给出下列结论:

x-1?

2

, x ∈[1,2],对于满足

①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2); ③(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0; ④(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0. 其中正确结论的个数为( A.1 [答案] B [解析] 曲线 y= 1-? B.2 ) C.3 D.4

x-1?

2

,x∈[1,2]表示圆(x-1) +y =1,位于直线 x=1 右

2

2

侧 x 轴上方的四分之一个圆, ∵1<x1<x2<2, f(x1)>f(x2). ∴ 因此, f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0, ( ④错,③对;显然有 kOA>kOB,∴

f? x1? f? x2? > ,∴x2f(x1)>x1f(x2),故②正确;又 kAB= x1 x2

f? x2? -f? x1? <0,可能有 kAB<-1,也可能 kAB>-1,∴①错. x2-x1
3 6.(文)(2011?日照模拟)圆心在曲线 y= (x>0)上,且与直线 3x+4y+3=0 相切的面

x

积最小的圆的方程为(

)

18 2 2 2 A.(x-1) +(y-3) =( ) 5 16 2 2 2 B.(x-3) +(y-1) =( ) 5 3 2 2 C.(x-2) +(y- ) =9 2 D.(x- 3) +(y- 3) =9 [答案] C
2 2

3 [解析] 设圆心坐标为(a, )(a>0),

a

12 |3a+ +3| a 3 4 3 则圆心到直线 3x+4y+3=0 的距离 d= = (a+ +1)≥ (4+1)=3, 等号 5 5 a 5 当且仅当 a=2 时成立. 3 此时圆心坐标为(2, ),半径为 3,故所求圆的方程为 2 3 2 2 (x-2) + (y- ) =9. 2 (理)(2011?西安模拟)若直线 ax+2by-2=0(a>0,>0)始终平分圆 x +y -4x-2y-8 b 1 2 =0 的周长,则 + 的最小值为(
2 2

a b

) B.5 D.3+2 2

A.1 C.4 2 [答案] D

[解析] 由条件知圆心 C(2,1)在直线 ax+2by-2=0 上,∴a+b=1, 1 2 1 2 ∴ + =( + )(a+b)

a b a

a b

b 2a =3+ + ≥3+2 2, b b 2a 等号在 = ,即 b=2- 2,a= 2-1 时成立. a b
7. 设定点 M(-3,4), 动点 N 在圆 x +y =4 上运动, OM、 为两边作平行四边形 MONP, 以 ON 则点 P 的轨迹方程为________. 9 21 2 2 [答案] (x+3) +(y-4) =4(x≠- 且 x≠- ) 5 5 [解析]
2 2

如图所示,设 P(x,y),

x y x0-3 y0+4 N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为( , ),线段 MN 的中点坐标为( , ).由
2 2 2 2 于平行四边形的对角线互相平分,

x x0-3 y y0+4 故 = , = . 2 2 2 2
从而?
?x0=x+3 ? ? ?y0=y-4

.
2 2

因为 N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3) +(y-4) =4. 9 12 21 28 2 2 因此所求轨迹为圆:(x+3) +(y-4) =4,但应除去两点(- , )和(- , )(点 P 5 5 5 5 在直线 OM 上时的情况). 8.(2011?南京模拟)已知点 M(1,0)是圆 C:x +y -4x-2y=0 内的一点,那么过点 M 的最短弦所在直线的方程是________. [答案] x+y-1=0 [解析] 过点 M 的最短的弦与 CM 垂直,圆 C:x +y -4x-2y=0 的圆心为 C(2,1), 1-0 ∵kCM= =1,∴最短弦所在直线的方程为 y-0=-1(x-1),即 x+y-1=0. 2-1 9.(文)已知圆心在 x 轴上,半径为 2的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切, 则圆 O 的方程是________. [答案] (x+2) +y =2 |a| 2 2 [解析] 设圆的方程为(x-a) +y =2(a<0),由条件得 2= ,∴|a|=2,又 a<0, 2 ∴a=-2. (理)(2012?石家庄一模)已知动圆的圆心 C 在抛物线 x =2py(p>0)上, 该圆经过点 A(0,
2 2 2 2 2 2 2

p),且与 x 轴交于两点 M、N,则 sin∠MCN 的最大值为________.
[答案] 1 [解析] 当圆心 C 的纵坐标为 p 时,C( 2p,p)为圆心的圆方程为(x- 2p) +(y-p) =2p ,令 y=0 得,x= 2p±p,∴MC⊥NC,∴sin∠MCN=1. 10.(文)已知圆 C:x +y -4x-6y+12=0,点 A(3,5),求: (1)过点 A 的圆的切线方程; (2)O 点是坐标原点,连结 OA,OC,求△AOC 的面积 S. [解析] (1)⊙C:(x-2) +(y-3) =1. 当切线的斜率不存在时,过点 A 的直线方程为 x=3,C(2,3)到直线的距离为 1,满足条 件. 当 k 存在时,设直线方程为 y-5=k(x-3),
2 2 2 2 2 2 2

即 kx-y+5-3k=0,由直线与圆相切得, |-k+2| 3 =1,∴k= . 2 4 k +1 3 11 ∴直线方程为 x=3 或 y= x+ . 4 4 (2)|AO|= 9+25= 34, 直线 OA:5x-3y=0, 点 C 到直线 OA 的距离 d= 1 34 ,

S= ?d?|AO|= .
(理)(2011?兰州一诊)已知圆 M 过两点 C(1,-1),D(-1,1),且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 M 的两条切线,A、B 为切点,求 四边形 PAMB 面积的最小值. [解析] (1)设圆 M 的方程为: (x-a) +(y-b) =r (r>0).
2 2 2

1 2

1 2

?? 1-a? +? -1-b? ? 2 根据题意,得?? -1-a? +? 1-b? ?a+b-2=0, ?
解得 a=b=1,r=2,

2

2 2

=r ,
2

2

=r ,

故所求圆 M 的方程为(x-1) +(y-1) =4. (2)因为四边形 PAMB 的面积

2

2

S=S△PAM+S△PBM
1 1 = |AM|?|PA|+ |BM|?|PB|, 2 2 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以 S=2|PA|, 而|PA|= |PM| -|AM| = |PM| -4, 即 S=2 |PM| -4. 因此要求 S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线 3x+4y+8=0 上找一点 P, 使得|PM|的值最小, |3?1+4?1+8| 所以|PM|min= =3, 2 2 3 +4
2 2 2 2

所以四边形 PAMB 面积的最小值为:

S=2 |PM|2-4=2 32-4=2 5.
能力拓展提升 11.(2011?西安模拟)已知圆的方程为 x +y -6x-8y=0, 设该圆中过点 M(3,5)的最长 弦、最短弦分别为 AC、BD,则以点 A、B、C、D 为顶点的四边形 ABCD 的面积为( A.10 6 C.30 6 [答案] B [解析] 圆的方程:(x-3) +(y-4) =25, ∴半径 r=5, 圆心到最短弦 BD 的距离 d=1, ∴最短弦长|BD|=4 6, 又最长弦长|AC|=2r=10, 1 ∴四边形的面积 S= ?|AC|?|BD|=20 6. 2 12.(文)(2011?成都龙泉第一中学模拟)以抛物线 y =20x 的焦点为圆心,且与双曲线 - =1 的两渐近线都相切的圆的方程为( 16 9 A.x +y -20x+64=0 C.x +y -10x+16=0 [答案] C [解析] 抛物线的焦点坐标是(5,0),双曲线的渐近线方程是 3x±4y=0, 点(5,0)到直线 3x±4y=0 的距离 d=3 即为所求圆的半径.故所求圆的方程为(x-5) +y =9, 即 x +y -10x+16=0,故选 C. (理)设 A 为圆(x-1) +y =1 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则 P 点的轨迹方 程是( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.20 6 D.40 6

x2

y2

) B.x +y -20x+36=0 D.x +y -10x+9=0
2 2 2 2

A.(x-1) +y =4 C.y =2x [答案] B
2

B.(x-1) +y =2 D.y =-2x
2

2

2

[解析] 设 P(x,y),圆心 C(1,0),由题意知 PA⊥AC,∴|PC| =|PA| +|AC| =2,∴ (x-1) +y =2,故选 B. 13.(2011?长春市调研)若圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且 圆与直线 x-y+1=0 相交所得的弦长为 2 2,则圆的方程是________________.
2 2

2

2

2

[答案] (x-6) +(y+3) =52 或(x-14) +(y+7) =244 [解析] 设圆的方程为(x-a) +(y-b) =r , A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍 点 在圆上,说明圆心在直线 x+2y=0 上,即有 a+2b=0,根据题意可得
2 2 2

2

2

2

2

?a+2b=0, ?? 2-a? +? 3-b? =r , ? a-b+1 ? =2. ?r -? ? 2
2 2 2 2 2 2 2

?a=6, ? 解得?b=-3, ?r2=52. ?
2

?a=14, ? 或?b=-7, ?r2=244. ?
2

所求圆的方程为(x-6) +(y+3) =52 或(x-14) +(y+7) =244. 14.(文)已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为__________. [答案] (x+1) +y =2 [解析] 在直线方程 x-y+1=0 中,令 y=0 得,x=-1,∴圆心坐标为(-1,0), 由点到直线的距离公式得圆的半径
2 2

R=

|-1+0+3| = 2, 2
2

∴圆的标准方程为(x+1)+y =2. (理)圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,与 y 轴相切,与 x 轴相交于 A、B,|AB|= 3, 则该圆的标准方程是________.

? 1?2 2 [答案] (x-1) +?y- ? =1 ? 2?
[解析]

设圆心 C(a,b),由条件知 a=1,取弦 AB 中点 D,则 CD= AC -AD = 1 , 2 1 ? 1?2 2 即 b= ,∴圆方程为(x-1) +?y- ? =1. 2 ? 2?

2

2

1 -?
2

? 3?2 ?= ?2?

? 2? 15.(文)(2011?青岛模拟)已知以点 C?t, ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、 ?
t? A,与 y 轴交于点 O、B,其中 O 为原点.
(1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M、N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程. 4 2 2 [解析] (1)证明:∵圆 C 过原点 O,∴OC =t + 2.

t

? 2?2 2 4 2 设圆 C 的方程是(x-t) +?y- ? =t + 2, ?
t? t
4 令 x=0,得 y1=0,y2= ;

t

令 y=0,得 x1=0,x2=2t, 1 1 ?4? ∴S△OAB= |OA|?|OB|= ?? ??|2t|=4, 2 2 ?t? 即△OAB 的面积为定值. (2)∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|, ∴OC 垂直平分线段 MN. 1 ∵kMN=-2,∴kOC= . 2 1 ∴直线 OC 的方程是 y= x. 2 2 1 ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2. t 2 当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),OC= 5, 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),OC= 5, 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= 圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交, ∴t=-2 不符合题意,舍去. ∴圆 C 的方程为(x-2) +(y-1) =5. (理)(2011?北京模拟)已知点 A(-3,0),B(3,0).动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线 C 的方程; (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M,
2 2

1 5

< 5,

9 5

> 5.

求|QM|的最小值. [解析] (1)设 P(x,y),∵|PA|=2|PB|, ∴(x+3) +y =4[(x-3) +y ] 整理得(x-5) +y =16. (2)由条件知 QM 与圆 C 相切, 则问题转化为在直线 l1 上求一点 Q,过点 Q 作⊙C 的切线,求切线长的最小值. 由于⊙C 的半径为定值 4,欲使切线长最小,只需 QC 最小,而点 C(5,0)为定点,因此, 当 CQ⊥l1 时取得最小值,∵C 到 l1 的距离 d=4 2,∴|QM|min= d -4 =4. 16.(文)已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1:x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M, 求|QM|的最小值. [分析] (1)设出点 P 的坐标,由|PA|=2|PB|写出方程,化简即可; (2)直线 l2 与曲线 C 只有一个公共点 M,故 l2 与 C 相切,当|QC|取最小值时,|QM|取到 最小值,故|CQ|为点 C 到 l1 的距离时满足要求. [解析] (1)设点 P 的坐标为(x,y), 则 ? x+3?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

+y =2 ?
2 2

2

x-3?

2

+y ,

2

化得可得(x-5) +y =16 即为所求.

(2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图. 由题意知直线 l2 是此圆的切线,连接 CQ, 则|QM|= |CQ| -|CM| = |CQ| -16, |5+3| 当 CQ⊥l1 时,|CQ|取最小值,|CQ|= =4 2, 2 此时|QM|的最小值为 32-16=4. (理)(2012?河南六市联考)已知直线 l 与抛物线 x =4y 相切于点 P(2,1),且与 x 轴交
2 2 2 2

→ (1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程;





于点 A,O 为坐标原点,定点 B 的坐标为(2,0),动点 Q 满足AB?BQ+ 2|AQ|=0.

(2)是否存在圆心在原点的圆, 只要该圆的切线与切点 Q 的轨迹 C 有两个不同交点 M, , N → → 就一定有OM?ON=0?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由. 1 2 1 2 [解析] (1)由 x =4y 得 y= x ,∴y′= x, 4 2 ∴直线 l 的斜率为 y′|x=2=1, 故 l 的方程为:y-1=1(x-2),即 y=x-1, ∴点 A 坐标为(1,0), → → → → → → 设 Q(x,y),则AB=(1,0),BQ=(x-2,y),AQ=(x-1,y), 由AB?BQ+ 2|AQ|=0 得,

x-2+0+ 2 ? x-1?
化简整理得 +y =1, 2

2

+y =0,

2

x2

2

故动点 Q 的轨迹 C 的方程为: +y =1. 2 (2)假设存在这样的圆,其方程为 x +y =r (r>0). (ⅰ)当直线 MN 的斜率存在时,设其方程为 y=kx+m 代入 +y =1,可得(1+2k )x + 2 4kmx+2m -2=0, 判别式 Δ =16k m -4(1+2k )(2m -2)>0, ∴m <1+2k ,① 4km 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=- 2,② 1+2k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

2

x2

2

2

2

x1x2=

2m -2 2,③ 1+2k

2

→ → 由OM?ON=0,可得 x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k )x1x2+km(x1+x2)+m =0,④ 2? 将②③代入④得 显然满足①式 由直线 MN:y=kx+m 与圆 x +y =r 相切知:
2 2 2 2 2 m2-1? ? 1+k2? 4k m 2 2 2 2 - 2 2+m =0,m = (1+k ),⑤ 1+2k 1+2k 3 2 2

r=

|m| 1+k
2



∴r=

2 2 2 2 = ,即存在圆 x +y = 满足题意. 1+k 3 3
2

m2

(ⅱ)当直线 MN 的斜率不存在时,可得 x1=x2= → → 足OM?ON=0, 2 2 2 综上所述:存在圆 x +y = 满足题意. 3

6 6 6 或 x1=x2=- ,y1=-y2= ,满 3 3 3

1.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为 60°,直线 ax+by-a+1=0 平分圆 C:(x-2) +(y- 3) =1,则点 P(a,b)与圆 C 的位置关系是( A.P 在⊙C 内 C.P 在⊙C 外 [答案] C [解析] 由条件得, B.P 在⊙C 上 D.无法确定
2 2

x2 y2 a b

)

?b=tan60°, ? ?a ?2a+ 3b-a+1=0, ?

?a=-1, ? 4 解之得? 3 ?b=- 4 , ?

1 3 2 2 ∵(- -2) +(- - 3) >1,∴点 P 在⊙C 外. 4 4 2. (2011?临沂模拟)圆 x +y +2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a, ∈R)对称, b 则 ab 的取值范围是( 1 A.(-∞, ] 4 1 C.(- ,0) 4 [答案] A [解析] 由题可知直线 2ax-by+2=0 过圆心(-1,2), 故可得 a+b=1, ab≤( ∴ 1 = . 4 3. 已知圆(x+1) +(y-1) =1 上一点 P 到直线 3x-4y-3=0 距离为 d, d 的最小值 则
2 2 2 2

) 1 B.(0, ] 4 1 D.(-∞, ) 4

a+ b
2

)

2

为(

) A.1 C. 2 5 B. 4 5

D.2

[答案] A [解析] ∵圆心 C(-1,1)到直线 3x-4y-3=0 距离为 2,∴dmin=2-1=1. 4.(2011?东北育才中学期末)圆 x +y -2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称 图形,则 a-b 的取值范围是( A.(-∞,4) C.(-4,+∞) [答案] A [解析] 圆(x-1) +(y+3) =10-5a, 由条件知, 圆心 C(1, -3)在直线 y=x+2b 上, ∴b=-2,又 10-5a>0,∴a<2,∴a-b<4. 5.(2011?浙江宁波八校联考)点(a,b)为第一象限内的点,且在圆(x+1) +(y+1) =8 上,ab 的最大值为________. [答案] 1 [解析] 由条件知 a>0, >0, a+1) +(b+1) =8, a +b +2a+2b=6, ab+4 ab b ( ∴ ∴2 ≤6, ∵ab>0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

) B.(-∞,0) D.(4,+∞)

∴0<ab≤1,等号在 a=b=1 时成立. [点评] 作出图形可见,点(a,b)为⊙C 在第一象限的一段弧,由对称性可知,当点(a,

b)为直线 y=x 与⊙C 的交点(1,1)时,ab 取最大值 1.


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