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河北衡水中学2015届高三数学上学期第五次调研考试试题 文(含解析)


河北衡水中学 2015 届高三数学上学期第五次调研考试试题 文(含解 析)
【试卷综析】本试卷是高三文科试卷,以基础知识和基本能力为载体, ,在注重考查学科核心 知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,试题重点考查:集合、不等式、复数、向量、 程序框图、导数、数列、三角函数的性质,统计概率等;考查学生解决实际问题的能力。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分

,共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只有 一项是符合题目要求的. 【题文】1.复数 等于 A.1+2i B.1—2i C.2+i D.2 一 i 【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案】D

3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 4 ? 2i ? ? 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 =2-i 【解析】
【思路点拨】两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再利用虚数单位 i 的幂 运算性质进行准确化简运算. 【题文】2.设集合 A 一{zI—l<x≤2,z∈N),集合 B 一{2,3},则 AUB 等于 A.{2} B.{1,2,3) C.{一 1,O,1,2,3}D.{0,1,2,3) 【知识点】集合及其运算 A1 【答案】D 【解析】由题意得 A={0,1,2},则 A ? B={0,1,2,3)。 【思路点拨】根据题意先求出 A,再求出并集。 【题文】3.等差数列 ,则公差 d 等于

A. B. c.2 D.一 【知识点】等差数列 D2 【答案】A 【解析】由等差数列的性质可得 a4+a8=2a6=10,解得 a6=5,

1 又 a10=6,∴a10-a6=4d=1,d= 4
【思路点拨】由等差数列的性质可得 a4+a8=2a6=10,可解得 a6=5,可得数列的公差 d. 【题文】4.某商场在今年端午节的促销活动中,对 6 月 2 日 9 时至 14 时的销售额进行统计, 其频率分布直方图如图所示.已知 9 时至 10 时的销售额为 3 万元,则 11 时至 12 时的销售额 为 A.8 万元 B.10 万元 C.12 万元 D.15 万元

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【知识点】用样本估计总体 I2 【答案】C 【解析】由频率分布直方图得 0.4÷0.1=4∴11 时至 12 时的销售额为 3×4=12 【思路点拨】由频率分布直方图得 0.4÷0.1=4,也就是 11 时至 12 时的销售额为 9 时至 10 时 的销售额的 4 倍. 【题文】5.已知向量 ,则向量 a,b 夹角为

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案】B

1 2? 【解析】由已知得 a +2 a ? b =0,则 4-2 ? 2 ? 2cos ? =0,所以 cos ? =- 2 , ? = 3
2

【思路点拨】根据向量的数量积,求出角。 【题文】6.甲:函数 是 R 上的单调递增函数;乙: ,

则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件、必要条件 A2 【答案】A 【解析】根据函数单调性的定义可知,若 f(x)是 R 上的单调递增函数,则? x1<x2,f(x1) <f(x2)成立,∴命题乙成立.若:? x1<x2,f(x1)<f(x2) .则不满足函数单调性定 义的任意性,∴命题甲不成立.∴甲是乙成立的充分不必要条件. 【思路点拨】根据函数单调性的定义和性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【题文】7.某程序框图如右图所示,若输出的 S=57,则判断框内应填

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【知识点】算法与程序框图 L1 【答案】A 【解析】程序在运行过程中各变量值变化如下表:K S 是否继续循环循环前 1 1/ 第一圈 2 4 是,第二圈 3 11 是,第三圈 4 26 是,第四 圈 5 57 否 故退出循环的条件应为 k>4 【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序 的作用是累加并输入 S 的值,条件框内的语句是决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到 答案.

【题文】 8. 为得到函数 y=sin(x+ )的图象, 可将函数 y=sinx 的图象向左平移 M 个单位长度, 或向右平移以个单位长度(m,n 均为正数),则 的最小值是

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案】B

? 5? 4? 【解析】 由条件可得 m=2k1π + 3 , n=2k2π + 3 (k1、 k2∈N) , 则|m-n|=|2 (k1-k2) π - 3 |,
2? 易知(k1-k2)=1 时,|m-n|min= 3 .

? 5? 【思路点拨】依题意得 m=2k1π + 3 ,n=2k2π + 3 (k1、k2∈N) ,于是有|m-n|=|2(k1-k2)
4? π - 3 |,从而可求得|m-n|的最小值.
【题文】9.多面体 MN—ABCD 的底面 ABCD 为矩形,其正视图和侧视图如图,其中正视图为等 腰梯形,侧视图为等腰三角形,则 AM 的长为

-3-

A

B

C

D 2

【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2 【答案】C 【解析】如图所示,

E,F 分别为 AD,BC 的中点,则 MNEF 为等腰梯形.由正(主)视图为等腰梯形,可知 MN=2, AB=4,
2 2 由侧(左)视图为等腰三角形,可知 AD=2,MO=2∴ME= EO ? MO = 5

在△AME 中,AE=1,∴AM=

AE 2 ? AM 2 ? 6

【思路点拨】取 E,F 分别为 AD,BC 的中点,则 MNEF 为等腰梯形,利用正(主)视图为等腰 梯形,侧(左)视图为等腰三角形,求出 ME,AE 的长,即可求 AM 的长.

【题文】 10. 已知 P(x, y)为区域 的最大 值是 A.0 B.2 C.2 D.6

内的任意一点, 当该区域的面积为 4 时, z=2X—y

【知识点】简单的线性规划问题 E5 【答案】D

? y2 ? x2 ? 0 ? 0? x?a 【解析】由 ? 作出可行域如图,

1 由图可得 A(a,-a) ,B(a,a) ,由 S△OAB= 2 ?2a?a=4,得 a=2.
-4-

∴A(2,-2) ,化目标函数 z=2x-y 为 y=2x-z, ∴当 y=2x-z 过 A 点时,z 最大,等于 2×2-(-2)=6. 【思路点拨】由约束条件作出可行域,求出使可行域面积为 4 的 a 值,化目标函数为直线方 程的斜截式,数形结合可得最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.

【题文】11.已知 F1、F2 是双曲线 上存在一点 P 与点 F2 关于直线 y=

=1

的左、右焦点,若双曲线左支

对称,则该双曲线的离心率为

A.

B.

c.

D.2

【知识点】双曲线及其几何性质 H6 【答案】B

b 【解析】过焦点 F 且垂直渐近线的直线方程为:y-0=- a (x-c) , bx b ab a2 联立渐近线方程 y= a 与 y-0=- a (x-c) ,解之可得 x= c ,y= c 2ab a 2 ab 2a 2 故对称中心的点坐标为 ( c ,c ) , 由中点坐标公式可得对称点的坐标为 ( c -c, c ) ,

(2a 2 ? c 2 )2 4a 2b2 ? 2 2 a 2c 2 b c =1,结合 a2+b2=c2, 将其代入双曲线的方程可得
c 化简可得 c2=5a2,故可得 e= a = 5 .
【思路点拨】求出过焦点 F 且垂直渐近线的直线方程,联立渐近线方程,解方程组可得对称 中心的点的坐标,代入方程结合 a2+b2=c2,解出 e 即得. 【题文】12.定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为 d=b 一 a.用[x]表示不 超过 x 的最大整数, 记{x)=x 一[x],其中 x∈R.设 f(x)= [x].{x},g(x)=x-1,若用 d 表 示不等式 f(x)<g(x)解集区间的长度,则当 0≤x≤3 时,有 A.d=1 B.d=2 C.d=3 D.d=4 【知识点】单元综合 B14 【答案】A 【解析】f(x)=[x]?{x}=[x]?(x-[x])=[x]x-[x]2,g(x)=x-1 f(x)<g(x)? [x]x-[x]2<x-1 即([x]-1)x<[x]2-1 当 x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为 x>1,∴x∈?; 当 x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为 0>0,∴x∈?; 当 x∈[2,3]时,[x]-1>0,上式可化为 x<[x]+1,∴x∈[2,3]; ∴f(x)<g(x)在 0≤x≤3 时的解集为[2,3],故 d=1 【思路点拨】先化简 f(x)=[x]?{x}=[x]?(x-[x])=[x]x-[x]2,再化简 f(x)<(x) ,再

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分类讨论:①当 x∈[0,1)时,②当 x∈[1,2)时③当 x∈[2,3]时,求出 f(x)<g(x) 在 0≤x≤3 时的解集的长度. 【题文】第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上

【题文】13.已知 f(x)= 【知识点】单元综合 B14 【答案】1 【解析】f(5)=

,则 f(f(5))=

log 2 (5 ?1) =2,f(2)= 22?2 =1,

【思路点拨】根据范围求出结果。 【题文】14.设 p 在[0,5]上随机地取值,则关于 x 的方程 ▲ . 【知识点】几何概型 K3 +px+1=O 有实数根的概率为

3 【答案】 5
【解析】若方程 x2+px+1=0 有实根,则△=p2-4≥0,解得,p≥2 或 p≤-2; ∵记事件 A:“P 在[0,5]上随机地取值,关于 x 的方程 x2+px+1=0 有实数根”,

5?2 3 由方程 x2+px+1=0 有实根符合几何概型,∴P(A)= 5 = 5 .
【思路点拨】由题意知方程的判别式大于等于零求出 p 的范围,再判断出所求的事件符合几 何概型,再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率.

【题文】15.在数列{

}中,已知 = ▲ .

,记 s。

为数列{an}的前 n 项和,则 【知识点】单元综合 D5 【答案】1008

( n ? 1)? ( n ? 1)? 2 2 【解析】由 an+1-an=sin ,所以 an+1=an+sin , 3? 5? ∴a2=a1+sinπ =1, a3=a2+sin 2 =1-1=0, a4=a3+sin2π =0, a5=a4+sin 2 =0+1=1, ∴a5=a1=1
可以判断:an+4=an 数列{an}是一个以 4 为周期的数列,2014=4×503+2 因为 S2014=503×(a1+a2+a3+a4)+a1+a2=503×(1+1+0+0)+1+1=1008.

( n ? 1)? ( n ? 1)? 2 2 【思路点拨】由 an+1-an=sin ,得 an+1=an+sin ,运用列举的方法,确定出

-6-

周期,再求解数列的和即可得到答案. 【题文】16.已知三棱锥 P—ABC 的所有棱长都相等,现沿 PA,PB,PC 三条侧棱剪开,将其 表面展开成 一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为 2 球的体积 为 ▲ . 【知识点】多面体与球 G8 ,则三棱锥 P—ABC 的内切

3 【答案】 2 π
a 【解析】三棱锥 P-ABC 展开后为一等边三角形,设边长为 a,则 4 6 = sin A ,∴a=6 2 ,
∴三棱锥 P-ABC 棱长为 3 2 ,三棱锥 P-ABC 的高为 2 3 ,

1 1 设内切球的半径为 r,则 4× 3 r×S△ABC= 3 S△ABC×2 3 ,

4 3 3 3 ?r ∴r= 2 ,∴三棱锥 P-ABC 的内切球的表面积为 3 = 2 π.
【思路点拨】根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长,再根据棱长求出高,然后根据 体积公式计算即可. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,c 的对边分别为 a,b,c, (1)求 b,c 的值; (2)求 cos(B- )的值. 【知识点】解三角形 C8 ,a=5,△ABC 的面积为 10 .

13 【答案】(1)b=8,c=7(2) 14

? 1 1 ? ab sin C 【解析】(1)由已知得 C= 3 ,a=5,S= 2 ,即 10 3 = 2 b.5sin 3 ,解得 b=8, ? 由余弦定理得 c =64-25-80cos 3 =49,所以 c=7.
2

49 ? 25 ? 94 1 4 3 ? 2 70 7 ,由于 B 是三角形的内角, (2)由 (1) 知 cosB= 知 sinB= 1 ? cos B = 7

? ? ? 1 1 4 3 3 13 ? ? 7 ? 2 = 14 所以 cos(B- 3 )=cosBcos 3 +sinBsin 3 = 7 2
-7-

【思路点拨】根据正弦余弦定理得。 【题文】18.(本小题满分 12 分) 为了了解社会对学校办学质量的满意程度,某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级 的家长委员会中共抽取 6 人进行问卷调查,已知高一、高二、高三的家长委员会分别有 54 人、18 人、36 人. (1)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数; (2)若从抽得的 6 人中随机抽取 2 人进行抽查结果的对比,求这 2 人中至少有一人是高三学生 家长的概率. 【知识点】古典概型 K2

3 【答案】 (I)3,1,2(II) 5
【解析】 (I)家长委员会总数为 54+18+36=108,

6 1 样本容量与总体中的个体数比为 108 = 18 ,
所以从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数为 3,1,2. (II)设 A1,A2,A3 为从高一抽得的 3 个家长,B1 为从高二抽得的 1 个家长, C1,C2 为从高三抽得的 2 个家长,从抽得的 6 人中随机抽取 2 人, 全部的可能结果有:C62=15 种, 这 2 人中至少有一人是高三学生家长的结果有 (A1,C1) , (A1,C2) , (A2,C1) , (A2,C2) , (A3,C1) , (A3,C2) , (B1,C1) , (B1,C2) , (C1,C2) ,一共有 9 种.

9 3 所以所求的概率为 15 = 5 .
【思路点拨】 (I)由题意知总体个数是 54+18+36,要抽取的个数是 6,做出每个个体被抽到 的概率,分别用三个年级的数目乘以概率,得到每一个年级要抽取的人数. (II)本题为古典概型,先将各区所抽取的家长用字母表达,分别计算从抽取的 6 个家长中 随机抽取 2 个的个数和至少有 1 个来自高三的个数,再求比值即可. 【题文】19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BB1 四边形 B1BCCl 是正方形. (1)求证:A1B∥平面 AC1D; (2)求证:CE 平面 Ac1D. 平面 ABC,AB=AC,D、E 分别为 BC、BBl 的中点,

【知识点】空间中的平行关系垂直关系 G4 G5

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【答案】 (1)略(2)略 【解析】 (1)证明:连接 A1C,交 AC1 于 O,连接 DO, 因为 O 为 A1C 的中点,又 D 为 BC 中点.所以 DO∥A1B, DN? 平面 AC1D,A1B?平面 AC1D, 所以 A1B∥平面 AC1D. (2)证明:∵△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,∴AD⊥BC, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中 BB1⊥面 ABC, 面 ABC⊥面 BB1C1C ∵BC、是平面 BB1C1C 内的相交直线,∴AD⊥平面 BB1C1C, ∵CE? 平面 BB1C1C,∴AD⊥CE, ∵正方形 BB1C1C 中,D、E 分别为 BC、BB1 的中点,得 C1D⊥CE,∴CE⊥平面 AC1D; 【思路点拨】根据线线垂直证明线面垂直,利用垂直的判定证明证明结论。 【题文】20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 c: 0),且 =1(a>6>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 B,Q 点坐标为(3, =0.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过定点 P(0, 2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M, N 两点(M 在 P, N 之 间 ), 设直线 l 的斜率为 k(k>0), 在 x 轴上是否存在点 A(m, 0), 使得以 AM,AN 为邻边的平行四边形为菱形?若存在, 求出实 数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

【知识点】椭圆及其几何性质 H5

x2 y 2 3 ? ?1 ? 3 6 【答案】(1) 4 (2)m ?
【解析】(1)由题意知 Q(3,0), 在

F1B ? QB ,所以 c=1.

BF2 Rt ?F1BQ 中, F2 为线段 FQ 1 中点,故 =2c-2,所以 a=2,b= 3 ,

x2 y 2 ? ?1 3 所以椭圆方程为 4
(2)设 y=kx+2(k>0) M(

x1 , y1 ) N( x2 , y2 ),取 MN 中点 E( x0 , y0 )

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假设存在点 A(m,0)使得以 AM,AN 为邻边的平行四边形为菱形,则 AE ? MN

? y ? kx ? 2 ? 2 ?x y2 1 ? ?1 2 2 ? ? (4k ? 3) x ?16kx ? 4 ? 0 由 ? ? 0 得 k> 2 3 ?4
x1 ? x2 ? 16k 8k 6 x0 ? 2 y0 ? 2 2 4k ? 3 ,所以 4k ? 3 , 4k ? 3

因为

因为 AE ? MN ,所以

k AE

6 ?0 4k ? 3 1 1 ?8k ?? ?m ? ? 2 k ,即 4k ? 3 k
2

2 2k 3 ? 2 4k ? 4k ? 3 = k 整理得 m=
1 3 ? (0, ) 1 3 3 3 12 4k ? 4k ? ? k ? 4 3, k 6 因为 k> 2 , ,所以)m ?
【思路点拨】根据椭圆中 a,b,c 的关系求出方程,根据直线与椭圆联立求出 m 的范围。 【题文】21.(本小题满分 12 分) 已知函数 ,

(1)若存在 x>0,使 f(x)≤0 成立,求实数 m 的取值范围, (2) 设 1<m≤e, H(x)=f(x) 一 (m+1)x ,证明:对任意的 x1 , , x2∈[1, m] ,恒有 H(x1)H(x2)<1. 【知识点】导数的应用 B12 【答案】 (1) (-∞,-e]∪(0,+∞)(2)略

1 m 【解析】 (1)由题意 f(x)= 2 x2+mlnx,得 f′(x)=x+ x .

m ①当 m>0 时,f′(x)=x+ x >0,因此 f(x)在(0,+∞)上单调递增,由对数函数的性质,
知 f(x)的值域为 R,因此? x>0,使 f(x)≤0 成立;

x2 ②当 m=0 时,f(x)= 2 >0,对? x>0,f(x)>0 恒成立;
m ③当 m<0 时,由 f′(x)=x+ x 得 x= ? m ,

- 10 -

x

?m

( ?m ,+∞)

f(x) ↘

0 极小值

+ ↗

m 此时 f(x)min=f( ? m )=- 2 +mln ? m .

? m ?? ? m ln ? m ? 0 ? 2 ? m?0 令 f(x)min>0? ? ? -e<m<0.
所以对? x>0,f(x)>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是(-e,0]. 故? x>0,使 f(x)≤0 成立,实数 m 的取值范围是(-∞,-e]∪(0,+∞) .

1 (2)∵H(x)=f(x)-(m+1)x= 2 x2+mlnx-(m+1)x,

m ( x ? 1)( x ? m) x ∴H′(x)=x+ x -(m+1)= .
( x ? 1)( x ? m) x ? x∈[1,m],H′(x)= ≤0,所以函数 H(x)在[1,m]上单调递减. 1 1 于是 H(x1)-H(x2)≤H(1)-H(m)= 2 m2-mlnm- 2 . 1 1 1 3 H(x1)-H(x2)<1? 2 m2-mlnm- 2 <1? 2 m-lnm- 2 m <0. 1 3 1 1 3 2 记 h(m)= 2 m-lnm- 2? (1<m≤e),则 h′(m)= 2 - m + 2 m >0, 1 3 所以函数 h(m)= 2 m-lnm- 2 m 在(1,e]上是单调增函数, e 3 所以 h(m)≤h(e)= 2 -1- 2e <0,故对? x1,x2∈[1,m],恒有 H(x1)-H(x2)<1 1 m 【思路点拨】 (1)由题意 f(x)= 2 x2+mlnx,得 f′(x)=x+ x .讨论 m 的范围判断函数的单调
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性与其最值,通过最小值与 0 的关系得到 m 的范围.

m ( x ? 1)( x ? m) x (2)H′(x)=x+ x -(m+1)= ≤0,
1 1 所以函数 H(x)在[1,m]上单调递减.H(x1)-H(x2)<1? 2 m2-mlnm- 2 <1 1 3 1 3 ? 2 m-lnm- 2 m <0,所以设 h(m)= 2 m-lnm- 2 m (1<m≤e)判断其单调性求其最值即可证
得. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。如果多做。则按所做的第一题计分. 【题文】22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,圆 0 的直径为 BD,过圆上一点 A 作圆 O 的切线 AE,过点 D 作 DE AE 于点 E,延长 ED 与圆 0 交于点 C. (1)证明:DA 平分 BDE;

(2)若 AB=4,AE=2,求 CD 的长.

【知识点】几何证明选讲 N1

4 3 【答案】 (1)略(2) 3
【解析】 (1)证明:∵AE 是⊙O 的切线,∴∠DAE=∠ABD, ∵BD 是⊙O 的直径,∴∠BAD=90°,∴∠ABD+∠ADB=90°, 又∠ADE+∠DAE=90°,∴∠ADB=∠ADE.∴DA 平分∠BDE.

AE AB ? AD BD , (2)由(1)可得:△ADE∽△BDA,∴

2 4 2 3 ? ∴ AD BD ,化为 BD=2AD.∴∠ABD=30°.∴∠DAE=30°.∴DE=AEtan30°= 3 .

2 3 2 3 4 3 由切割线定理可得:AE2=DE?CE,∴22= 3 ( 3 +CD),解得 CD= 3 .
【思路点拨】 (1)由于 AE 是⊙O 的切线,可得∠DAE=∠ABD.由于 BD 是⊙O 的直径,可得∠ BAD=90°,因此∠ABD+∠ADB=90°,∠ADE+∠DAE=90°,即可得出∠ADB=∠ADE. .

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AE AB ? ( 2 )由( 1 )可得:△ ADE ∽△ BDA ,可得 AD BD , BD=2AD .因此∠ABD=30°.利用
DE=AEtan30°.切割线定理可得:AE2=DE?CE,即可解出. 【题文】23.(本小题满分 10 分)选修 4~4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.直线 的参数方程为 (t 为参数),曲线 C1 的方程为 C1 上的动点,Q 为 AP 的中点. (1)求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)直线 与直线 C2 交于 A,B 两点,若 【知识点】参数与参数方程 N3
2 2 【答案】(1) ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 4 (2)

=12,定点 A(6,0),点 P 是曲线

,求实数 a 的取值范围.

0?a?

3 4

【解析】(1)由题意知,曲线

C1 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 y ? 12

? x? ? 2 x ? 6 ? ? ? y? ? 2 y 代入 x2 ? y 2 ? 4 y ? 12 中,得点 Q 的轨 x , y 设 P( ),Q(x,y)由中点坐标公式得 ?


C2 的直角坐标方程 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 。

3a ? 1
(2)直线 l 的普通方程 y=ax,由题意得:

a ?1
2

? 22 ? ( 3)2
,解得

0?a?

3 4。

【思路点拨】根据参数方程转化成普通方程,再利用距离公式求出 a 的范围。 【题文】24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= .

(1)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x); (2)若存在 x∈R,使得 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围. 【知识点】不等式选讲 N4

1 1 【答案】 (Ⅰ) (-∞,-1]∪[- 3 ,+∞)(2) (- 2 ,+∞)
【解析】 (Ⅰ)当 a=0 时,由 f(x)≥g(x)得|2x+1|≥x,两边平方整理得 3x2+4x+1≥0,

1 解得 x≤-1 或 x≥- 3 1 ∴原不等式的解集为 (-∞,-1]∪[- 3 ,+∞)

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1 ? ? ? x ? 1, x ? ? 2 ? 1 ? ?3 x ? 1, ? x ? 0 2 ? ? x ? 1, x ? 0 ? (Ⅱ) 由f (x) ≤g (x) 得 a≥|2x+1|-|x|, 令 h (x) =|2x+1|-|x|, 即 h (x) =? ,
1 1 1 故 h(x)min=h(- 2 )=- 2 ,故可得到所求实数 a 的范围为(- 2 ,+∞) .
【思路点拨】 (Ⅰ)当 a=0 时,由 f 不等式可得|2x+1|≥x,两边平方整理得 3x2+4x+1≥0,解 此一元二次不等式求得原不等式的解集.

1 ? ? ? x ? 1, x ? ? 2 ? 1 ? ?3 x ? 1, ? x ? 0 2 ? x ? 1, x?0 ? ? (Ⅱ) 由f (x) ≤g (x)得 a≥|2x+1|-|x|, 令 h (x) =|2x+1|-|x|, 则 h (x) =? ,
求得 h(x)的最小值,即可得到从而所求实数 a 的范围.

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