当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 2009年全国高中数学联赛天津赛区预赛

2009年全国高中数学联赛天津赛区预赛


2  0

中 等 数 学 

20 0 9年全 国高中数学联赛天津赛区预赛 
中圈分类号 : 44 7   G 2 .9 文献标识码 :   A 文章编号 : 05— 4 6 2 1 )2-02 0  10 6 1 (0 0 0 00- 3





填空题 ( 每

小题 7分 , 5 共 6分 )  

: 一 =1 0>b> ) 椭 圆 F,     ( 0. 的左 、 右 
Ⅱ  (  ,

1设 a bc为实数 , . ,、 且满 足 
血+b+c=1 a 5. 2+b 2+c 2=1 0 0
. 

焦点 分 别 为 F 、 , 曲线 厂2 左 、 焦 点     双 的 右

则 a的最大值和最小值的积为 

.  

分别 为  、 .   过  作 一条 直线 , 与椭 圆交于  两个 不 同的点 A、 B在  与  之 间 )直 线   ( , FA与  3 交 于点 c 若 直 线 A 、 F 、 F  .   日 3C 。
D  

2 已知△ A C是正 三角形 , 、 . B   Ⅳ分别 为  边B B C、A的 中点 , 0为 △ B MN的外 心 , 在边 

A C上有 一点 D, 得 △ A D 的面 积等 于  使 O
△  c 的面积 的  (  >1 ∈ N+ . A ,   ) 则  D的 
n 上, 乙 

三线 共点 , 则  =  
8 已知正 2 0边形 A A  ̄A 0, . 0 。 2 ̄ 2 联结对 角  o 0

值 为 

.  

线 A  i

( i= 12 , ,… ,0 ) 其 中 , 2   20 , A+o= 0 个 不 同的交点 .  

3 甲在黑 板 上 写 下 正整 数 1 2 … , . ,,   209,  0 然后 背 对 黑 板 , 乙将 黑板 上 的这 些  让 数擦去若 干个后 再添 加上擦 去数 之和被 7除 

A(   i= l 2 , ,… , ) 则这 2 0条对 角 线在 正  9. 0

20边形 的 内部 有  0

二 、 述题 ( 4 论 共 4分 )  
9 ( 4分 ) .1 已知 C D是 以 A 为直 径 的  、 B 半 圆o 0上 的 两个 点 , A B 弦 D、 C交 于点 E,   F、 G分别 是 A B C、 D延 长 线 上 的点 , 满 足  且 A B A B . △ A F、 B G 的垂 心  F? G= E? E 若 E △ E

的余数. 当经过若干次如上操作后使 黑板上 
只剩下 两个 数 , 中的一个数 是一位 数 . 其 甲问  乙 :剩下 的两个 数 中较 大 的数 是 几 ? 乙答 : “ ”   “0 . 则剩下 的那 个一位 数为  10 ”
4 方程 一 + .    

.  

分别 为 日   , 明 : 、 证   ( ) H 与 曰 的交 点  在 o0上 ; 1A      
( )F K、 点共线 . 2 、 G三   1. 1 ) O (5分 已知 正数 列 {  ( ≥0 满足  a }n )
=  

一 c   + 一1的  ,  =  

解 的个数 为 

( 圆周 率 )  为 .  

5 已知 n=ac<1  0 ( 、 、 . b 0 0 0 a b C均 为 质 

数 ) 且 2 3 =c4 c+1= b则 n的值  , a+ b ,a+ 4.
为  .  


m un 2  

( 23 … , n= , , m为实参 数 ) .  

6 已知二次 函数  .
,  

若 a 9 u 求 m的值. 20=_ 0 o  


2孔 + 】  

n+1  

u1  

Y 一 丽    

+  

1. 1 1 (5分 ) 边 长 为 3的正 △ A C 的  将 B

在  轴上截 得 的线 段 的长为 d.  则 

各边三等分 , 过每个分点分别作另外两边 的  
平行 线 , △ A C的边 及这 些 平行 线 所交 的  称 B

∑d= — .  —  

1 0个点为格点. 若在 这 1 0个格点 中任取 , t   个格点, 一定存在三个格点能构成一个等腰 
三角形 ( 包括 正三 角形 ) 求 n的最小 值 . .  

7已 .知椭圆F: + 1 双曲     告= 和 线  

21 0 0年第 2期 

2  1

参 考 答 案 


因 为 C 2 a+ = 0 3为质 数 , 以, #3  所 a .
于是 , 2 b 3 c 4 , =1 1 。 a= , =1 , = 3 ,   8 l 1  
76 5  2  b — 0 ‘ ?O3 2   I —




1   . 孕.

因 10一       0 口 =b +c


≥ ( +c = ( 5一血 ,   6 ) 1 )  所 以 ,a 3 a+ 5 . 3  一 0 2 ≤O  

循磊


 l —  n2 (、 n’ +  

则 0 d 1   0

则   吉  一 ) ∑ =耋 一   了 (  1三 ∑


由于 口的最 大值和最小 值就 是方程  的两个 根 , 口的最大 值 和最小 值 是 可 以取  且 到的, 因此 , 由韦达定 理可得 8的最大值 和最 

号- 一 志) . ( 丢 一 :   +  

7 .

学.  
?2 ? A F C 丽B   

小 积 孕. 值的 为  
▲ , ——  一  

由塞瓦定理得 

由 涅 定   堡 梅 劳斯 理得
BC

。 l一3 ’ 2,  

番  
,  
,  

因为点 0到 c的距 离等 于 点 B 到 A   C

于是 ,  

=  

.  

的距离的÷ , 所以,  
Sz O 2 D  ̄
:  

又FF : 孺 3  
F  F2=2   1 —    AD

一√   :  =  
,   =2  

3  
则 

s ̄I   B C


c .  1

c  2n  



’?? - ~

 

DC  2 l一3 ’ ,  

:  


一  

 
_  _
.  

因为 1+ 2+… +20 9-0( o  ) 所    0 - r d7 , - o

整理得  =  
8 16 O  .  0 .

以, 那个 一位数 口满 足 10+ -0 m d7 . 0 口 ( o )  

对每条对 角线 AA ( 12  Ⅲ i= ,,… , 0 , 2 )  o

A ,  , , Ⅲ 各 引 出 两 条 对 角 线 与    A … A
( 一 1    一 )+(  一1 ( 一 1 0  )  )= .

AA 相交 .    而每个这 样 的交 点都被计 算 了两 

当  ≠ , 时,  ~一 )   1   一 ) 0 1  ( 1与( — ) ( 1  

次, 则这 20条对角线在正 20边形 的内部  0 0
不 同的交点不 超过  :160个 .  0  

下面证明: 不存在三条这样 的对角线交 
于一点 .  

由于每条对角线等长, 因此 , 20条对  这 0
角线都 与一个定 圆相 切.  
因 为 由 交 点 只能 作 两 条 切 线 . 以 . 可  所 不

中 等 数 学 

能有三条这样的对角线交于一点.   二 、 . 1 如 图 1 由  C D = C D, 9 () , A   B  
AF 丝   AE —BG’  


1 /i 1.7  =5. ,    

设边 A B上 从点 A到  的两 个等 分点 分  别 为 D、 边 B E, C上从 点 B到 C的两 个 等 分  点分别 为 F G, 、 边  上从 点 C到 A 的两 个 



得△ A F E 
∽ △ B E. G  

等分点分别为 日 , 中间的一个格点为 . 、,   若  的最小值为 4 取格点 A D、 、 则  , 、 E ,
不存在 三个 格点能 构成 一个等 腰三 角形 .  
图1  
B EG =   C EF +   C FE =9 o  0.

又 因 为 
B     F. D CL A A  

上 B 所 以, G,  

因此 ,  ≥5 .  

下 面证 明 : 任取 五个 格点 , 一定存 在三个 
CE + F  

格点 能构成 一个等腰 三 角形 .  

于是 , F G= 0 .   E 9。  

不妨假设被选取 的点为红点.  
只要证 明 : 一定 存 在 一 个 由红 点构 成 的 
等腰 三角形 .  

设A B K、K分 别 与 E 、 G交 于 点 M、 . FE 』  v 则 四边 形 ME K为矩 形. N 、   .  
因此 , A B= 0 ,   K 9 。 即点  在o 0上 .  

若这 五个 红点 中包 含 格 点 K, 其 他 九  将 个格 点分成 三个 点集 
L={ E F}M={ , , , A B, } D, , , GH, N={ , C . }  

’ 2 因 为 A B 分 别 是 相 似 I E 、 () M、 N XA F  △ B E 应边 上 的高线 , 以 , G对 所  
G N 墨   丝 NE ‘ M F 。 。  




由抽屉 原理 知 , 定 存 在 一个 点 集 中包  一 含至 少两个 红 点 , 无论 是 哪个 点集 中 的 哪两 
.  

又  =   , = , G = 脚   则 N   由  F MK= 删 G= 0 ,   9 。 有 
△ MF K∽ △ N G  K .

个格 点是红 点 , 与 红点 K构 成 一个 等腰 三  均
角形 .  

若这 五个 红点 中不 包 含 格 点  , 当格 点 
A是 红点 时 , 在 

故  F M+ G N= F M+ K M= 0 , K   K   K   F 9。  
即  F M + G N+ MK K   K   N=1 0 . 8。  

U={ , , D,}V={ H}  E, , W ={ G} T   ,   F, , ={ C}

从 而 , K、 ,、 G三点 共线 .  
L 
=   =   =

中, 如果有一个点集 中包含两个红点 , 则结论 
成立 ; 否则 , 每个 点集 中均恰有 一个 红点 .  

去,  
l  

不妨假 设 D 为红点 , , 则 不是 红点 .   若 B为红 点 , G C不 是 红 点. 是 ,   则 、 于 F 是红 点 , 无 论 E、 且 日哪 个 是 红点 , 与 D、   均 F

l  

, 0    o
a1  

1  
= 

m‘   nl
1  
2   ,‘ , 

O  , 0
’  

构成一个等腰三角形.   若  不是红点 , c为红点 , 则 于是 , E不  是红 点 , 红点 , 论 ,、 日是 无 G哪个 是红 点 , 均 
可与 D、 日或 日、 成一 个等腰 三角形 . C构   同理 , 当格 点 B 或 C为红 点 时 , 论 仍  结
然成 立.  



— ■一  

‘  

m a0  
、  

, c0   ‘ 

m. 1 a  

口0  

% 
m —   —  

口 07 —   0,  
m — —  

l  ,
1  

m  o l  



所 以 , 列 {  是周 期 为 6的周 期数 列. 数 口}  
因此 , = z = =   口啷     m  .  

若  、  、 不是 红点 , D、 F、 、  、 C均 则 E、 G  日、 ,中有 五个 红点 , 结论显 然成 立.  
( 李建泉 提供 )  


更多相关文档:

2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)

2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)一、选择题(每小题 6 分,共 36...

2009年全国高中数学联赛天津赛区预赛9月20日

09年数学联赛初赛试题09年数学联赛初赛试题隐藏>> 2009 年全国高中数学联赛天津赛区预赛 9 月 20 日(考试时间:上午 9:00-11:00) 考生注意:1、本试卷共两个大...

2008年全国高中数学联赛天津市预赛试题及答案.doc

2008 年天津市高中数学联赛预赛 2008 年高中数学联赛天津赛区预赛于 2008 年 9...若方程 z 2009 sin ( x + 45° ) sin ( x + 60° ) , x ∈ [ 0...

2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题及答案(WORD版)

2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题及答案(WORD版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题及答案(WORD版) ...

2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛

2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年全国高中数学联赛天津赛区预赛一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.方程 3 ? x ?...

1. 2012年全国高中数学联赛天津预赛

1. 2012年全国高中数学联赛天津预赛_学科竞赛_高中教育_教育专区。预赛试题集锦(2013) 高中竞赛 2012 年全国高中数学联赛天津市预赛一.选择题(每小题 6 分,共 ...

2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)

2007 年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案) 年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 选择题( 1.方程 3 ( x...

2010年全国高中数学联赛天津预赛试题

2010年全国高中数学联赛天津预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2010 年全国高中...x1 x1 x2 x1 x2 ...x2009 x1 x2 ...x2010 4.已知非等腰△ABC 的...

2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)

2009年全国高中数学联赛天... 3页 免费 2008年全国高中数学联赛天... 11页 ...2007 年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)一、选择题(每小题 6 分,共...
更多相关标签:
2016乒超联赛天津赛区 | 世预赛南美赛区积分榜 | 世界杯预选赛南美赛区 | 世界杯预选赛欧洲赛区 | 世预赛南美赛区 | 世预赛欧洲赛区积分榜 | 世预赛南美赛区赛程 | 世预赛南美赛区直播 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com