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湖南省衡阳四中2016届高三上学期期中数学试卷(文科)


2015-2016 学年湖南省衡阳四中高三(上)期中数学试卷(文科)
一.选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设 i 为虚数单位,复数 z1=3﹣ai,z2=1+2i,若 A.﹣ B. C.﹣6 D.6 是纯虚数,则实数 a 的值为( )

2.钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的( A.充

分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件

)

3.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=﹣ ,则{an}的前 10 项和等于( A.﹣6(1﹣3﹣10) B.

)

C.3(1﹣3﹣10) D.3(1+3﹣10)

4.在△ ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asinBcosC+csinBcosA= b,且 a>b, 则∠B=( A. B. ) C. D.

5.已知向量 =(λ+1,1) , =(λ+2,2) ,若( + )⊥( ﹣ ) ,则 λ=( A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1 6.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前 9 项的和 S9 等于( A.99 B.66 C.144 D.297 7.已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(﹣1,a+2)处切线的斜率为 8,a=( A.9 B.6 C.﹣9 D.﹣6 8.若存在正数 x 使 2x(x﹣a)<1 成立,则 a 的取值范围是( ) A. D. (﹣∞,+∞) B. (﹣2,+∞) C. (0,+∞) (﹣1,+∞) )

)

)

9.已知函数 f(x)= sinωx+cosωx(ω>0) ,y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的 f x ( ) π 距离等于 ,则 ( )的一条对称轴是 A.x=﹣ B.x= C.x=﹣ D.x=

10.已知实数 a,b,c,d 成等差数列,且曲线 y=3x﹣x3 的极大值点坐标为(b,c) ,则 a+d 等 ) 于( A.﹣2 B.2 C.﹣3 D.3 11.x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x﹣[x]在 R 上为( A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数 12.已知函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,0) B. (0, ) C. (0,1) D. (0,+∞) ) )

二.填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分 13.若向量 , 满足| |=| |=| + |=1,则 ? 的值为__________. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=x+b 是曲线 y=alnx 的切线,则当 a>0 时,实数 b 的 最小值是__________. 15.等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=__________. 16.在 R 上定义运算△ :x△ y=x(1﹣y) 若不等式(x﹣a)△ (x+a)<1,对任意实数 x 恒 成立,则实数 a 的取值范围是__________.

三.解答题(本题共 6 道小题,第 17 题 10 分,第 18,19,20,21,22 题 12 分 17.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,面积 S= (1)求角 C 的大小; (2)设函数 f(x)= sin cos +cos2 ,求 f(B)的最大值,及取得最大值时角 B 的值. abcosC

18.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, =(cosA,cosC) , =( 2b, a) ,且 ⊥ . (1)求角 A 的大小; (2)若 a=b,且 BC 边上的中线 AM 的长为 ,求边 a 的值. 19.已知数列{an}是首项为 1,公差不为 0 的等差数列,且 a1,a2,a5 成等比数列 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= ,Sn 是数列{bn}的前 n 项和,求证:Sn< .

c﹣

20.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示) ,该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心 圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中大圆弧所 在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 θ(弧度) . (1)求 θ 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线部分 的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y,求 y 关于 x 的函数关系式,并 求出 x 为何值时,y 取得最大值?

21.已知函数



(I)判断函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 y=xf(x)+ 的图象总在直线 y=a 的上方,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f(x)与 数 m 的值. 22.已知函数 f(x)= x2+x+alnx(a∈R) . (1)对 a 讨论 f(x)的单调性; (2)若 x=x0 是 f(x)的极值点,求证:f(x0)≤ . 的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,求实

2015-2016 学年湖南省衡阳四中高三(上)期中数学试卷 (文科)
一.选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设 i 为虚数单位,复数 z1=3﹣ai,z2=1+2i,若 A.﹣ B. C.﹣6 D.6 是纯虚数,则实数 a 的值为( )

【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 的值. 【解答】解:∵z1=3﹣ai,z2=1+2i, 由 = 是纯虚数,得

,解得:a= . 故选:B. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2.钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的( A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】压轴题;规律型. 【分析】“好货不便宜”,其条件是:此货是好货,结论是此货不便宜,根据充要条件的定义进 行判断即可, 【解答】解:若 p?q 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充分条件; “好货不便宜”,其条件是:此货是好货,结论是此货不便宜,由条件?结论. 故“好货”是“不便宜”的充分条件. 故选 A 【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,属于基础题.

3.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=﹣ ,则{an}的前 10 项和等于( A.﹣6(1﹣3﹣10) B.

)

C.3(1﹣3﹣10) D.3(1+3﹣10)

【考点】等比数列的前 n 项和.

【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】由已知可知,数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列,结合已知 代入等比数列的求和公式可求 【解答】解:∵3an+1+an=0 ∴ 可求 a1,然后

∴数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列 ∵ ∴a1=4 由等比数列的求和公式可得,S10= =3(1﹣3﹣10)

故选 C 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题

4.在△ ABC,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asinBcosC+csinBcosA= b,且 a>b, 则∠B=( A. B. ) C. D.

【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数. 【专题】解三角形. 【分析】利用正弦定理化简已知的等式,根据 sinB 不为 0,两边除以 sinB,再利用两角和与 差的正弦函数公式化简求出 sinB 的值,即可确定出 B 的度数. 【解答】解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA= sinB, ∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB= , ∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B 为锐角, 则∠B= .

故选 A 【点评】此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及诱导公式,熟练掌握正弦 定理是解本题的关键. 5.已知向量 =(λ+1,1) , =(λ+2,2) ,若( + )⊥( ﹣ ) ,则 λ=( A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【专题】平面向量及应用. )

【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出. 【解答】解:∵ ∴ ∵ ∴ =(2λ+3,3) , , =0, , . .

∴﹣(2λ+3)﹣3=0,解得 λ=﹣3. 故选 B. 【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键. 6.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前 9 项的和 S9 等于( A.99 B.66 C.144 D.297 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由等差数列的性质可得 a4=13,a6=9,可得 a4+a6=22,再由等差数列的求和公式和性 质可得 S9= ,代值计算可得. )

【解答】解:由等差数列的性质可得 a1+a7=2a4,a3+a9=2a6, 又∵a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27, ∴a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27, ∴a4=13,a6=9,∴a4+a6=22, ∴数列{an}前 9 项的和 S9= = = =99

故选:A 【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质,属基础题. 7.已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(﹣1,a+2)处切线的斜率为 8,a=( A.9 B.6 C.﹣9 D.﹣6 )

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的综合应用. 【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得 a 的值. 【解答】解:∵y=x4+ax2+1, ∴y′=4x3+2ax, ∵曲线 y=x4+ax2+1 在点(﹣1,a+2)处切线的斜率为 8, ∴﹣4﹣2a=8 ∴a=﹣6 故选:D. 【点评】本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题.

8.若存在正数 x 使 2x(x﹣a)<1 成立,则 a 的取值范围是( ) A. D. (﹣∞,+∞) B. (﹣2,+∞) C. (0,+∞) (﹣1,+∞) 【考点】其他不等式的解法;函数单调性的性质. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】转化不等式为 ,利用 x 是正数,通过函数的单调性,求出 a 的范围即可. ,

【解答】解:因为 2x(x﹣a)<1,所以 函数 y=

是增函数,x>0,所以 y>﹣1,即 a>﹣1,

所以 a 的取值范围是(﹣1,+∞) . 故选:D. 【点评】本题考查不等式的解法,函数单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力. 9.已知函数 f(x)= sinωx+cosωx(ω>0) ,y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的 ) 距离等于 π,则 f(x)的一条对称轴是( A.x=﹣ B.x= C.x=﹣ D.x=

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的正弦函数. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】化简函数 f(x)= sinωx+cosωx 为 f(x)=2sin(ωx+ ) ,y=f(x)的图象与直线

y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,求出函数的周期,推出 ω,得到函数解析式,从而可求 f (x)的一条对称轴. 【解答】解:函数 f(x)= sinωx+cosωx=2sin(ωx+ ) ,

因为 y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,函数的周期 T=π, 所以 ω=2,所以 f(x)=2sin(2x+ 因为 2x+ 解得 x= = +kπ k∈Z, ,k∈Z, . ) ,

当 k=0 时,有 x=

故选:D. 【点评】本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用,考察了由 y=Asin(ωx+φ)的部 分图象确定其解析式,属于基础题. 10.已知实数 a,b,c,d 成等差数列,且曲线 y=3x﹣x3 的极大值点坐标为(b,c) ,则 a+d 等 ) 于( A.﹣2 B.2 C.﹣3 D.3 【考点】利用导数研究函数的极值;数列与函数的综合. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;导数的综合应用;等差数列与等比数列.

【分析】先求导数,得到极大值点,从而求得 b,c,再利用等差数列的性质求解. 【解答】解:∵曲线 y=3x﹣x3,∴y′=3﹣3x2,令 3﹣3x2=0,则 x=±1, 经检验,x=1 是极大值点.极大值为 2. ∴b=1,c=2,b+c=3. 又∵实数 a,b,c,d 成等差数列, 由等比数列的性质可得:a+d=b+c=3. 故选:D. 【点评】本题主要考查求函数极值点及数列的性质的应用,考查计算能力. 11.x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x﹣[x]在 R 上为( A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数 )

【考点】函数的周期性;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【专题】计算题;新定义. 【分析】依题意,可求得 f(x+1)=f(x) ,由函数的周期性可得答案. 【解答】解:∵f(x)=x﹣[x], ∴f(x+1)=(x+1)﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f(x) , ∴f(x)=x﹣[x]在 R 上为周期是 1 的函数. 故选:D. 【点评】本题考查函数的周期性,理解题意,得到 f(x+1)=f(x)是关键,属于基础题. 12.已知函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,0) B. (0, ) C. (0,1) D. (0,+∞) )

【考点】根据实际问题选择函数类型. 【专题】压轴题;导数的综合应用. 【分析】先求导函数,函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,等价于 f′(x)=lnx﹣2ax+1 有两个零点,等价于函数 y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象由两个交点,在同一个坐标系中作出它们 的图象.由图可求得实数 a 的取值范围. 【解答】解:函数 f(x)=x(lnx﹣ax) ,则 f′(x)=lnx﹣ax+x( ﹣a)=lnx﹣2ax+1, 令 f′(x)=lnx﹣2ax+1=0 得 lnx=2ax﹣1, 函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,等价于 f′(x)=lnx﹣2ax+1 有两个零点, 等价于函数 y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点, 在同一个坐标系中作出它们的图象(如图) 当 a= 时,直线 y=2ax﹣1 与 y=lnx 的图象相切, 由图可知,当 0<a< 时,y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点. 则实数 a 的取值范围是(0, ) . 故选 B.

【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法,数形结合是数学解题中常用的思想方 法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合 的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷. 二.填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分 13.若向量 , 满足| |=| |=| + |=1,则 ? 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】利用向量的数量积运算即可得出. 【解答】解:∵向量 , 满足| |=| |=| + |=1,∴ 化为 故答案为 . ,即 1 ,解得 . , 的值为﹣ .

【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=x+b 是曲线 y=alnx 的切线,则当 a>0 时,实数 b 的 最小值是﹣1. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;导数的概念及应用. 【分析】设出曲线上的一个切点为(x,y) ,利用导数的几何意义求切线的坐标,可得 b=alna ﹣a,再求导,求最值即可. 【解答】解:设出曲线上的一个切点为(x,y) , 由 y=alnx,得 y′= , ∵直线 y=x+b 是曲线 y=alnx 的切线, ∴y′= =1, ∴x=a, ∴切点为(a,alna) , 代入 y=x+b,可得 b=alna﹣a,

∴b′=lna+1﹣1=0,可得 a=1, ∴函数 b=alna﹣a 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴a=1 时,b 取得最小值﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用,利用导数的运算求出切线斜率,根据切线斜 率和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键,考查学生的运算能力. 15.等比数列{an}的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5. 【考点】等比数列的性质;对数的运算性质;等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】可先由等比数列的性质求出 a3=2,再根据性质化简 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3,代入即可求出答案. 【解答】解:log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3. 又等比数列{an}中,a1a5=4,即 a3=2. 故 5log2a3=5log22=5. 故选为:5. 【点评】本题考查等比数列的性质,灵活运用性质变形求值是关键,本题是数列的基本题, 较易. 16.在 R 上定义运算△ :x△ y=x(1﹣y) 若不等式(x﹣a)△ (x+a)<1,对任意实数 x 恒 成立,则实数 a 的取值范围是 .

【考点】函数恒成立问题. 【专题】计算题;新定义. 【分析】利用新定义的运算△ :x△ y=x(1﹣y) ,将不等式转化为二次不等式,解决恒成立问 题转化成图象恒在 x 轴上方,从而有△ <0,解△ <0 即可. 【解答】解:根据运算法则得(x﹣a)△ (x+a)=(x﹣a) (1﹣x﹣a)<1 2 2 化简得 x ﹣x﹣a +a+1>0 在 R 上恒成立,即△ <0, 解得 a∈ 故答案为 【点评】本题的考点是函数恒成立问题,主要考查了函数恒成立问题,题目比较新颖,关键 是理解定义了新的运算,掌握恒成立问题的处理策略,属于中档题. 三.解答题(本题共 6 道小题,第 17 题 10 分,第 18,19,20,21,22 题 12 分 17.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,面积 S= (1)求角 C 的大小; (2)设函数 f(x)= sin cos +cos2 ,求 f(B)的最大值,及取得最大值时角 B 的值. abcosC

【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】解三角形. 【分析】 (1)利用三角形面积公式和已知等式,整理可求得 tanC 的值,进而求得 C.

(2)利用两角和公示和二倍角公式化简整理函数解析式,利用 B 的范围和三角函数性质求得 函数最大值. 【解答】解: (1)由 S= absinC 及题设条件得 absinC= 即 sinC= cosC, ∴tanC= , 0<C<π, ∴C= , sin cos +cos2 = sinx+ cosx+ =sin(x+ )+ , abcosC,

(2)f(x)= ∵C= ,

∴B∈(0, ∴ <B+ =

) , < ,即 B= 时,f(B)有最大值是 .

当 B+

【点评】本题主要考查了正弦定理的运用,三角函数恒等变换的应用.解题的过程中注意利 用 C 的值确定 B 的范围这一隐形条件. 18.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, =(cosA,cosC) , =( 2b, a) ,且 ⊥ . (1)求角 A 的大小; (2)若 a=b,且 BC 边上的中线 AM 的长为 ,求边 a 的值. c﹣

【考点】余弦定理的应用;平面向量数量积的运算. 【专题】解三角形. 【分析】 (1)通过向量的数量积以及正弦定理两角和与差的三角函数,求出 A 的余弦函数值, 即可求角 A 的大小; (2)通过 a=b,利用余弦定理,结合 BC 边上的中线 AM 的长为 ,即可求出边 a 的值 【解答】 (本题 12 分) 解: (1)由 ⊥ ,∴ ? =0 … (2b﹣ )cosA= … 所以(2sinB﹣ )cosA= ∴2sinBcosA= , … 则 2sinBcosA= sinB 所以 cosA= ,于是 A= …

(2)由(1)知 A= 设 AC=x,则 MC=

,又 a=b,所以 C= ,AM= ,在△ AMC 中,由余弦定理得 …

AC2+MC2﹣2AC?MCcosC=AM2

即 x2+( )2﹣2x?



解得 x=2,即 a=2… 【点评】本题考查余弦定理的应用,向量的数量积的应用,三角形的解法,考查计算能力. 19.已知数列{an}是首项为 1,公差不为 0 的等差数列,且 a1,a2,a5 成等比数列 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= ,Sn 是数列{bn}的前 n 项和,求证:Sn< .

【考点】等差数列与等比数列的综合. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (2)利用裂项求和即可得出. 【解答】解: (1)设数列{an}公差为 d,且 d≠0, ∵a1,a2,a5 成等比数列,a1=1 ∴(1+d)2=1×(1+4d) 解得 d=2, ∴an=2n﹣1. (2)bn= = = ( ﹣ ﹣ ) )= (1﹣ )<

∴Sn=b1+b2+…+bn= (1﹣ )+ ( ﹣ )+…+ (

【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和是解题的关键. 20.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示) ,该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心 圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中大圆弧所 在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 θ(弧度) . (1)求 θ 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线部分 的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y,求 y 关于 x 的函数关系式,并 求出 x 为何值时,y 取得最大值?

【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)利用扇形的弧长公式,结合环面的周长为 30 米,可求 θ 关于 x 的函数关系式; (2)分别求出花坛的面积、装饰总费用,可求 y 关于 x 的函数关系式,换元,利用基本不等 式,可求最大值.

【解答】解: (1)由题意,30=xθ+10θ+2(10﹣x) , ∴θ= (0<x<10) ; ﹣ = =(10﹣x) (5+x) ;

(2)花坛的面积为

装饰总费用为 xθ?9+10θ?9+2(10﹣x)?4=9xθ+90θ+8(10﹣x)=170+10x, ∴花坛的面积与装饰总费用的比为 y= 令 17+x=t, 则 y= ∴当 x=1 时,y 取得最大值 . ,当且仅当 t=18 时取等号,此时 x=1,θ= , .

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查扇形的弧长公式,考查基本不等式的运 用,确定函数模型是关键.

21.已知函数



(I)判断函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 y=xf(x)+ 的图象总在直线 y=a 的上方,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f(x)与 的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,求实

数 m 的值. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 【专题】计算题;综合题. 【分析】 (1)先对函数 进行求导运算,根据导函数大于 0 时原函数单调递增,

导函数小于 0 时原函数单调递减,可求得单调区间. (2)将将函数 f(x)的解析式代入,可将问题转化为不等式 对于 x>0 恒成立,然

后 g(x)=lnx+ 后进行求导,根据导函数的正负情况判断函数的单调性进而可得到函数 g(x) 的最小值,从而得到答案. (3)将函数 f(x)与 的图象有公共点转化为 有解,再

由 y=lnx 与

在公共点(x0,y0)处的切线相同可得到

同时成立,进而可求出 x0 的值,从而得到 m 的值. 【解答】解: (Ⅰ)可得 .

当 0<x<e 时,f′(x)>0,f(x)为增函数;当 e<x 时,f′(x)<0,f(x)为减函数. (Ⅱ)依题意,转化为不等式 令 g(x)=lnx+ ,则 g'(x)= 当 x>1 时,因为 g'(x)= >0,g(x)是(1,+∞)上的增函数, 对于 x>0 恒成立

当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)是(0,1)上的减函数, 所以 g(x)的最小值是 g(1)=1, 从而 a 的取值范围是(﹣∞,1) . (Ⅲ)转化为 ,y=lnx 与 在公共点(x0,y0)处的切线相同

由题意知

∴解得:x0=1,或 x0=﹣3(舍去) ,代入第一式,即有



【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即导函数大于 0 时原函 数单调递增,导函数小于 0 时原函数单调递减. 22.已知函数 f(x)= x2+x+alnx(a∈R) . (1)对 a 讨论 f(x)的单调性; (2)若 x=x0 是 f(x)的极值点,求证:f(x0)≤ . 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (1)对函数求导,利用导函数与函数单调性的关系即可求解. (2)利用条件 x0 是函数 f(x)的极值点,确定 a 的数值,然后证明 f(x0)≤ . 【解答】解: (1)∵f(x)= x2+x+alnx, ∴x>0,f′(x)=x+1+ = .

∴当 a≥ 时,f'(x)≥0 在定义域恒成立, ∴f(x)在(0,+∞)单调递增; 当 a< 时,f'(x)=0 时,x= , ≤0?a≥0,

∴0≤a< 时,f(x)在(0,+∞)单调递增; >0?a<0,

∴a<0 时,f(x)在(0,

)单调递减,在(

,+∞)单调递增.

综上所述:当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)单调递增; 当 a<0 时,f(x)在(0, )单调递减,在( ,+∞)单调递增. ,

(2)由(1)可知当 a<0 时,f(x)在(0, +∞)单调递增. ∴当 x= ∴ ∴f(x0)= 时,函数 f(x)有极小值,∴x0= ?a=﹣ ﹣x0, +x0﹣( +x0)lnx0,

)单调递减,在(

>0,

+x0+alnx0=

记 g(x)= x2+x﹣(x2+x)lnx,则 g′(x)=﹣(2x+1)lnx, 列表分析如下: x g′(x) g(x)

(0,1) + 增

1 0 极大值

(1,+∞) ﹣ 减

∴g(x)max=g(x)极大值=g(1)= , ∴f(x0)≤ . 【点评】本题的考点是利用导数研究函数的单调性,以及函数的极值问题.对于参数问题要 注意进行分类讨论.


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