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2014四川省绵阳市2014届高三第二次诊断性考试数学(理)试题 Word版含答案


保密 ★ 启用前 【考试时间:2014 年 1 月 16 日 15:00—17:00】

绵阳市高中 2011 级第二次诊断性考试

数 学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答

题前,考生务必将自己的姓名.考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上,并 将条形码粘贴在答题卡的指定位置. 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米的黑 色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸.试题卷上答 题无效. 3.考试结束后,将答题卡收回.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A={x|x+2>0},集合 B={-3,-2,0,2},那么( RA)∩B= A.? B.{-3,-2} 开始 C.{-3} D.{-2,0,2} 2.设 i 是虚数单位,复数
10 的虚部为 3?i
输入 x x>1? 否 y=x-1 输出 y 是 y=log2x

A.-i B.-1 C.i D.1 3.执行右图的程序,若输出结果为 2,则输入的实数 x 的 A.3 B.
1 4

值是

C.4 D.2 结束 4.已知 l,m,n 是三条不同的直线,α,β 是不同的平面, 则 α⊥β 的一 个充分条件是 A.l ? α,m ? β,且 l⊥m B.l ? α,m ? β,n ? β,且 l⊥m,l⊥n C.m ? α,n ? β,m//n,且 l⊥m D.l ? α,l//m,且 m⊥β 5.一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视图是一个半圆 内切于边长为 2 的正方形,则该机器零件的体积为
π 3 8π C.8+ 3

A.8+

2π 3 16π D.8+ 3

B.8+

正视图

侧视图

6. 圆 C 的圆心在 y 轴正半轴上, 且与 x 轴相切, 被双曲线 x 2 ? 则圆 C 的方程为 A.x2+(y-1)2=1 C.x2+(y3 2 3 )= 2 4

y2 ? 1 的渐近线截得的弦长为 3 , 3
俯视图

B.x2+(y- 3 )2=3 D.x2+(y-2)2=4



? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 7.已知 O 是坐标原点,点 A(?1, 上的一个动点,则 1) ,若点 M ( x,y) 为平面区域 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?

|AM|的最小值是 A. 3 5
5

B.

2

C. 5

D. 13

8.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等 8

名学生中选派 4 名学生参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加, 且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为

A.1860 B.1320 C.1140 D.1020 ???? ??? ? ??? ? 9.已知 O 是锐角△ ABC 的外心,若 OC=xOA ? yOB (x,y∈R),则 A.x+y≤-2 B.-2≤x+y<-1 C.x+y<-1 D.-1<x+y<0 10.设 a,b,x∈N*,a≤b,已知关于 x 的不等式 lgb-lga<lgx<lgb+lga 的解集 X 的元素个数为 50 个,当 ab 取最大可能值时, a ? b = A. 21 B.6 C. 17 D.4 b 1? ? ab ? ? 51 ? b? a ? ? ? 51 a a? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.tan300?=_______. 12.已知直线 l1:x+(1+k)y=2-k 与 l2:kx+2y+8=0 平行,则 k 的值是_______. 13.若 ( x ?
a x2 )6 展开式的常数项是 60,则常数 a 的值为



14. 已知 P 是以 F1, F2 为焦点的椭圆 且 cosα=

x2 y 2 若∠PF1F2=α, ∠PF2F1=β, ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的任意一点, a 2 b2

5 3 ,sin(α+β)= ,则此椭圆的离心率为 . 5 5 15. f ( x) 是定义在 D 上的函数,若存在区间 [m , n] ? D ,使函数 f ( x) 在 [m , n] 上的值域恰为

[km , kn] ,则称函数 f ( x) 是 k 型函数.给出下列说法: 4 ① f ( x) ? 3 ? 不可能是 k 型函数; x (a 2 ? a) x ? 1 2 3 ②若函数 y ? ; (a ? 0) 是 1 型函数,则 n ? m 的最大值为 2 3 a x 1 ③若函数 y ? ? x 2 ? x 是 3 型函数,则 m ? ?4,n ? 0 ; 2 4 ④设函数 f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? x (x≤0)是 k 型函数,则 k 的最小值为 . 9

其中正确的说法为 . (填入所有正确说法的序号) 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知向量 a = (sin x , 2cos x) ,b= (2sin x , sin x ) ,设函数 f ( x) =a ? b. (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若将 f ( x) 的图象向左平移
π 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 6



π 7π [ , ] 上的最大值和最小值. 12 12

17. (本题满分 12 分) 已知首项为 的等比数列{an}是递减数列,其前 n 项和为 Sn,且 S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等 差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an ? log 2 an ,数列{bn}的前 n 项和 Tn,求满足不等式
1 2

Tn ? 2 1 ≥ 的最大 n 值. n?2 16

18. (本题满分 12 分) 据《中国新闻网》10 月 21 日报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时 间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社 会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了 3600 人调查,就是否“取消英语 听力”的问题,调查统计的结果如下表:
调查人群 态度

应该取消 2100 人 600 人

应该保留 120 人 x人

无所谓 y人 z人

在校学生 社会人士

已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05. (Ⅰ)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行问卷访谈,问应在持 “无所谓”态度的人中抽取多少人? (Ⅱ)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 6 人平均分成两组进行深 入交流,求第一组中在校学生人数 ξ 的分布列和数学期望. 19. (本题满分 12 分) E 如 图 ,在 直角梯 形 ABCD 中 , AD//BC , ∠ADC=90? , AE⊥ 平 面 ABCD , EF//CD , BC=CD=AE=EF= AD =1. (Ⅰ)求证:CE//平面 ABF; (Ⅱ)求证:BE⊥AF; (Ⅲ)在直线 BC 上是否存在点 M,使二面
π 6

1 2

F

A

D

B

C

角 E-MD-A

的大小为 ?若存在,求出 CM 的长;若不存在,请说明理由. 20. (本题满分 13 分) 已知椭圆 C 的两个焦点是(0,- 3 )和(0, 3 ),并且经过点 (
3 , 1) ,抛物线的顶点 E 在坐标 2

原点,焦点恰好是椭圆 C 的右顶点 F. (Ⅰ)求椭圆 C 和抛物线 E 的标准方程; (Ⅱ)过点 F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线 l1、l2,l1 交抛物线 E 于点 A、B,l2 交 抛物线 E 于点 G、H,求 AG ? HB 的最小值. 21. (本题满分 14 分)
a 2 (Ⅰ)若 f ( x) 是 [0 , ? ?) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

已知函数 f ( x) ? e x ? x 2 e x .

(Ⅱ)证明:当 a≥1 时,证明不等式 f ( x) ≤x+1 对 x∈R 恒成立;


(Ⅲ)对于在(0,1)中的任一个常数 a,试探究是否存在 x0>0,使得 f ( x0 ) >x0+1 成立?如 果存在,请求出符合条件的一个 x0;如果不存在,请说明理由.



绵阳市高 2011 级第二次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BDCDA AACCB 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ? 3 12.1 13.4 14.
5 7

15.②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)f(x)=a?b=2sin2x+2sinxcosx =2? = 2 sin(2x? )+1, ???????????? 3 分 4 ? ? ? ? 3? 由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 8 2 4 2 8 ? 3? ∴ f(x)的递增区间是[- +kπ, +kπ]( k∈Z). ?????????? 6 分 8 8 ? ? ? (II)由题意 g(x)= 2 sin[2(x+ )- ]+1= 2 sin(2x+ )+1,???? 9 分 12 6 4 ? 7? ? ? 5? 由 ≤x≤ 得 ≤2x+ ≤ , 12 12 12 4 4 ∴ 0≤g(x)≤ 2 +1,即 g(x)的最大值为 2 +1,g(x)的最小值为 0. ? 12 分 1 17.解: (I)设等比数列{an}的公比为 q,由题知 a1= 2 , 又∵ S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列, ∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3, 变形得 S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3,即得 3a2=a1+2a3, 3 1 1 ∴ 2 q=2 +q2,解得 q=1 或 q=2 , ????????????????4 分 1 又由{an}为递减数列,于是 q=2 , 1 ∴ an=a1 q n ?1 =( 2 )n. ????????????????????6 分 1 (Ⅱ)由于 bn=anlog2an=-n?( 2 )n, 1 1 2 1 n?1 1 n ∴ Tn ? ?[1? +2( ? ) +?+ ? n ? 1?( ? ) ? n( ? ) ], 2 2 2 2 1 1 2 1 n 1 n?1 于是 Tn ? ?[1( ? ) +?+ ? n ? 1?( ? ) ? n( ? ) ], 2 2 2 2
1 1 ? [1 ? ( ) n ] 1 1 1 2 1 n 1 n?1 2 ? n ?( 1 )n ?1 , 两式相减得: Tn ? ?[ +( ) +?+( ) ? n ?( ) ] = ? 2 1 2 2 2 2 2 2 1? 2 1 ∴ Tn ? ? n ? 2 ? ? ( )n ? 2 . 2 Tn ? 2 1 n 1 ∴ ? ( ) ≥ ,解得 n≤4, 16 n?2 2

1 ? cos 2 x +sin2x 2

∴ n 的最大值为 4. ??????????????????????12 分


18.解: (I)∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05, ∴
120 ? x =0.05,解得 x=60. 3600

??????????????????2 分

∴ 持“无所谓”态度的人数共有 3600-2100-120-600-60=720. ??? 4 分 360 ∴ 应在“无所谓”态度抽取 720×3600 =72 人. ?????????? 6 分 (Ⅱ)由(I)知持“应该保留”态度的一共有 180 人, ∴ 在所抽取的 6 人中,在校学生为
1 4 2 2 2 4 1 2

120 60 ? 6 =4 人,社会人士为 ? 6 =2 人, 180 180

于是第一组在校学生人数 ξ=1,2,3, P(ξ=1)=

?????????????? 8 分

3 0 CC C C C4 C2 1 1 3 , P( ξ =2)= , P( ξ =3)= ? ? ? , 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

即 ξ 的分布列为: ξ P 1
1 5
1 5

2
3 5

3
1 5

??????? 10 分 ∴ Eξ=1× +2× +3× =2.
1 5 3 5

????????????????? 12 分
z E H H H

19. (I)证明:如图,作 FG∥EA,AG∥ 交 AF 于 H,连结 BH,BG, ∵ EF∥CD 且 EF=CD, ∴ AG∥CD, 即点 G 在平面 ABCD 内. 由 AE⊥平面 ABCD 知 AE⊥AG, ∴ 四边形 AEFG 为正方形, CDAG 为 平 行 四 边 形,

EF ,连结 EG

F

A D y

G x

B

C

???????????????????? 2 分 ∴ H 为 EG 的中点,B 为 CG 中点, ∴ BH∥CE, ∴ CE∥面 ABF.???????????????????????? 4 分 (Ⅱ)证明:∵ 在平行四边形 CDAG 中,∠ADC=90?, ∴ BG⊥AG. 又由 AE⊥平面 ABCD 知 AE⊥BG, ∴ BG⊥面 AEFG, ∴ BG⊥AF.?????????????????????????? 6 分 又∵ AF⊥EG, ∴ AF⊥平面 BGE, ∴ AF⊥BE.?????????????????????????? 8 分 (Ⅲ)解:如图,以 A 为原点,AG 为 x 轴,AE 为 y 轴,AD 为 z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz. 则 A(0,0,0),G(1,0,0),E(0,0,1),D(0,2,0),设 M(1,y0,0), ??? ? ???? ? 2, ? 1) , DM ? (1,y0 ? 2,0) , ∴ ED ? (0 , 设面 EMD 的一个法向量 n ? ( x,y, z) ,



??? ? ? n ? ED ? 2 y ? z ? 0, ? 则 ? ????? 令 y=1,得 z ? 2,x ? 2 ? y0 , ? ?n ? DM ? x ? ( y0 ? 2) y ? 0, ∴ n ? (2 ? y0,, 1 2) .?????????????????????? 10 分 ??? ? 又∵ AE ? 面 AMD , ??? ? ∴ AE ? (0,0, 1) 为面 AMD 的法向量, ??? ? |2| ? 3 ? cos ? ∴ | cos <n,AE >| ? , 2 6 2 1 ? (2 ? y0 ) ? 1 ? 4

解得 y0 ? 2 ?

3 , 3
3 3 .?????????12 分 ) |= 3 3

故在 BC 上存在点 M,且|CM|=| 2 ? (2 ? 20.解: (I)设椭圆的标准方程为

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0),焦距为 2c, a 2 b2 3 3 则由题意得 c= 3 , 2a ? ? (1 ? 3)2 ? ? (1 ? 3) 2 ? 4 , 4 4 ∴ a=2, b2 ? a 2 ? c2 =1, y2 ∴ 椭圆 C 的标准方程为 ? x 2 ? 1 . ??????????????? 4 分 4

∴ 右顶点 F 的坐标为(1,0). 设抛物线 E 的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , ∴
p ? 1, 2p ? 4 , 2 1 k

∴ 抛物线 E 的标准方程为 y 2 ? 4 x . ???????????????? 6 分 (Ⅱ)设 l1 的方程: y ? k ( x ? 1) ,l2 的方程 y ? ? ( x ? 1) ,
A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , G( x3,y3 ) , H ( x4,y4 ) ,
? y ? k ( x ? 1), 消去 y 得: k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 , 2 y ? 4 x , ?

由?

∴ x1+x2=2+

4 ,x1x2=1. k2

1 ? ? y ? ? ( x ? 1), 由? 消去 y 得:x2-(4k2+2)x+1=0, k 2 ? ? y ? 4 x,

∴ x3+x4=4k2+2,x3x4=1,????????????????????9 分 ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ∴ AG ? HB ? ( AF ? FG) ? ( HF ? FB) = AF ? HF ? AF ? FB ? FG ? HF ? FG ? FB =| AF |· | FB |+| FG |· | HF | =|x1+1|· |x2+1|+|x3+1|· |x4+1| =(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)
4 ? 4k 2 k2 4 ≥8+ 2 2 ? 4k 2 k

=8+

=16.


4 ? 4k 2 即 k=±1 时, AG ? HB 有最小值 16.????????13 分 k2 a 21.解: (I)∵ x ?[0, ? ?) 时, f ( x) ? e x (1 ? x 2 ) , 2 a 2 x ∴ f ?( x) ? e (? x ? ax ? 1) . 2 由题意, f ?( x) ≥0 在 [0,? ?) 上恒成立, 当 a=0 时, f ?( x) ? e x >0 恒成立,即满足条件.

当且仅当

当 a≠0 时,要使 f ?( x) ≥0,而 ex>0 恒成立, 故只需 ? x2 ? ax ? 1 ≥0 在 [0,? ?) 上恒成立,即
? a ? ? 0, ? ? 2 解得 a<0. ? ?? a ? 0 2 ? a ? 0 ? 1 ? 0, ? ? 2

a 2

综上,a 的取值范围为 a≤0.?????????????????? 4 分 (Ⅱ)由题知 f(x)≤x+1 即为 e x - x 2 e x ≤x+1. ①在 x≥0 时,要证明 e x - x 2 e x ≤x+1 成立,
a x ?1 , ① 2 ex 1 ? e x ? ( x ? 1)e x x a x ?1 令 g ( x) ? x 2 ? x ,得 g ?( x) ? ax ? ? ax ? x , x 2 (e ) e 2 e
a 2 a 2

只需证 e x ≤ x 2e x ? x ? 1 ,即证 1≤ x 2 ?

a 2

整理得 g ?( x) ? x(a ? ∵ x≥0 时,

1 ), ex

1 ≤1,结合 a≥1,得 g ?( x) ≥0, ex ∴ g ( x) 为在 [0, ? ?) 上是增函数,故 g(x)≥g(0)=1,从而①式得证. a ②在 x≤0 时,要使 e x - x 2 e x ≤x+1 成立, 2 a a 只需证 e x ≤ x2e? x ? x ? 1 ,即证 1≤ x2 e?2 x ? ( x ? 1)e? x , ② 2 2 ax 2 ?2 x 令 m( x) ? e ? ( x ? 1)e? x ,得 m?( x) ? ? xe?2 x [e x ? a( x ? 1)] , 2 而 ? ( x) ? e x ? a( x ? 1) 在 x≤0 时为增函数, 故 ? ( x) ≤ ? (0) ? 1 ? a ≤0,从而 m?( x) ≤0,

∴ m(x)在 x≤0 时为减函数,则 m(x)≥m(0)=1,从而②式得证. 综上所述,原不等式 e x - x 2 e x ≤x+1 即 f(x)≤x+1 在 a≥1 时恒成立.?10 分 (Ⅲ)要使 f(x0)>x0+1 成立,即 e x0 ? x0 2e x0 ? x0 ? 1 , 变形为
2 ax0 x ?1 ? 0 x0 ? 1 ? 0 , 2 e

a 2

a 2


ax 2 x ? 1 ? x ? 1 的最小值,满足 t ( x)min ? 0 即 2 e

要找一个 x0>0 使③式成立,只需找到函数 t ( x) ? 可.


1 ), ex 1 令 t ?( x) ? 0 得 e x ? ,则 x=-lna,取 x0=-lna, a 在 0< x <-lna 时, t ?( x) ? 0 ,在 x >-lna 时, t ?( x) ? 0 ,

∵ t ?( x) ? x(a ?

即 t(x)在(0,-lna)上是减函数,在(-lna,+∞)上是增函数, ∴ 当 x=-lna 时, t ( x ) 取得最小值 t ( x0 ) ? (ln a)2 ? a(? ln a ? 1) ? 1 下面只需证明: (ln a)2 ? a ln a ? a ? 1 ? 0 在 0 ? a ? 1 时成立即可. 又令 p(a) ? (ln a)2 ? a ln a ? a ? 1 , 则 p?(a) ? (ln a)2 ≥0,从而 p(a) 在(0,1)上是增函数,
a 2 于是 t ( x ) 的最小值 t (? ln a) ? 0 , a 2

a 2

a 2

1 2

则 p(a) ? p(1) ? 0 ,从而 (ln a)2 ? a ln a ? a ? 1 ? 0 ,得证. 因此可找到一个常数 x0 ? ? ln a(0 ? a ? 1) ,使得③式成立.??????14 分




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