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共渐近线和焦点


例题讲解

例3 :求下列双曲线的标准方程:

x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 ( ?3, 2 3) ; 9 16

x2 y2 (3 2 , 2) ? 1 有公共焦点,且过点 ⑵与双曲线 ? 16 4

x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 ( ?3

, 2 3) ; 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 ? 4 , 9 16 3 4 故点 ( ?3, 2 3) 在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), a b ?b 4 ? 2 9 2 2 ? a ? ? x y ? a 3 ∴? 解之得 ? ?1 4 ,∴ 双曲线方程为 ? ? 2 2 9 4 ?b2 ? 4 ? ( ?3) ? (2 3) ? 1 ? 2 2 4 ? a b ?

法二:巧设方程,运用待定系数法 . 2 2 ⑴设双曲线方程为 x ? y ? ? (? ? 0) ,
9 16

( ?3)2 (2 3)2 ? ? ?? 9 16

1 ?? ? 4

x2 y2 ? 双曲线的方程为 ? ?1 9 4 4

根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 ? 16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑵解:设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b ? a 2 ? b 2 ? 20 ? a 2 ? 12 ? 则? 解之得 ? 2 ? (3 2 )2 2 2 或设 b ?8 ? ? ? ? 1 ? 2 2
? a b

x2 y2 ? ?1 ∴双曲线方程为 12 8

x2 y2 ? ? 1, 2 2 m 20 ? m 求得m 2 ? 12(30舍去)

法二:设双曲线方程为
(3 2)2 22 ∴ 16 ? k ? 4 ? k ? 1

x2 y2 ? ? 1 ? 16 ? k ? 0且4 ? k ? 0 ? 16 ? k 4 ? k
x2 y2 ? ?1 12 8

, 解之得k=4,

∴ 双曲线方程为

总结: 1、“共渐近线”的双曲线的应 2 2用 x y



b 2 2 x y 方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b

a

2

?

2

? 1共渐近线的双曲线系

λ>0表示焦点在x轴上的双曲线; λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。 x2 y 2 x2 y2 2、与 2 ? 2 ? 1共焦点的椭圆系方程是 2 ? 2 2 ? 1, a b m m ?c 2 2 x y 双曲线系方程是 2 ? 2 ? 1. 2 m c ?m

x y 巩固练习:1、求与椭圆 ? ? 1有公共焦点, 49 24 5 且离心率e ? 的双曲线方程。 4 解:由c 2 ? 49 ? 24 ? 25, 得c ? 5.? 焦点为( ? 5, 0),
x y 5 5 设共焦点的双曲线为 2 ? 2 ? 1, 然后由 ? 2 a 5 ?a a 4 2 2 x y 2 求得a ? 4, b ? 25 ? 16 ? 9, 可得 ? ? 1. 16 9
x2 y2 x2 y2 注:与 2 ? 2 ? 1共焦点的椭圆系方程是 2 ? 2 2 ? 1, a b m m ?c x2 y2 双曲线系方程是 2 ? 2 ?1 2 m c ?m
2 2

2

2

y x 2、求与椭圆 ? ? 1 有共同焦点,渐近线方程为 16 8

2

2

x?
解:

3y ? 0 的双曲线方程。
椭圆的焦点在x轴上,且坐标为

F1 (?2 2, 0),F ( , 0) 2 2 2

? 双曲线的焦点在x轴上,且c ? 2 2
3 ? 双曲线的渐近线方程为 y ? ? x 3 b 3 ? ? ,而c 2 ? a 2 ? b 2 , ? a 2 ? b 2 ? 8 a 3 解出 a 2 ? 6,b 2 ? 2 x2 y2 ? 双曲线方程为 ? ?1 6 2

?

1、“共渐近线”的双曲线

x2 y 2 x2 y 2 与 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线系方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线;λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。

2、“共焦点”的双曲线
x2 y 2 (1)与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)有共同焦点的双曲线方程表 a b

示为

x2 y2 2 2 ? ? 1( b ? ? ? a ). 2 2 a ?? ? ?b

x2 y 2 (2)与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)有共同焦点的双曲线方 a b 2 2 x y 程表示为 2 2

a ??
2

?

b ??
2

? 1(?b ? ? ? a )

复习练习:
x2 y 2 1、求与椭圆 ? ? 1有公共焦点,且离心率 49 24 5 e ? 的双曲线方程。 4
y x 2. 求与椭圆 ? ? 1 有共同焦点,渐近线方程为 16 8
2 2

x?

3y ? 0 的双曲线方程。
2 2

x y 3、求以椭圆 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。

课外思考: x2 y2 1.双曲线 ? ? 1 的两条渐近线的夹角的正切 16 25 40 值是________. 2 9 y ? 1 的右焦点 F2 作直线与双 2.若过双曲线 x 2 ? 3 曲 线 的 两 支 都 相 交 , 求 直 线 l 的 倾 斜 角 的 范围 ________.? ? ? ?

? 0 , 60 ?

? ? (120

,180 )

3 x 1. 过点(1,2),且渐近线为 y ? ? 4 2 2 16 y ? 9 x ? 55 的双曲线方程是________.
2.求中心在原点,对称轴为坐标轴,经过点 P( 1,-3) 且离心率为
2

2的双曲线标准方程.
2

y x ? ?1 8 8


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