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2010届高三江苏省苏北四市第二次模拟考试(数学)


苏北四市 2010 届高三第二次模拟考试 数学 I
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页,包含填空题(第1题。第l4题)、解答题(第15题~第20题)两部分。本 卷满分160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题纸

的规定位置。 3.请在答题纸上按照题号顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。 作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。 4.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 5.请保持答题纸卷面清洁,不要折叠、破损。 参考公式: 参考公式: (1)样本数据 x1,x2,…,xn 的方差 s =
2

1 n

∑ (x
i =1

n

i

? x) 2 ,其中 x =

1 n

∑x
i =1

n

i

(2)锥体的体积公式 V=

1 Sh,其中 S 为锥体底 面积,h 为高 3



小题, 请把答案直接填写在答题卡相应 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案直接填写在答题卡相应 填空题: ..... 位置上. .. 1.已知集合 A={0,2,α? },B={1,α},若 A∪B={0,1,2,4},则实数α的值为 2.已知复数 z=(2-i)i(i 是虚数单位),则|z|= ▲ . ▲ . 3.已知向量α=(6,2),b=(一 3,k),若α∥b,则实数 k 等于 4.一个算法的流程图如图所示,则输出的 S 的值为 ▲ . ▲ .

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小题. 二、解答题:本大题共 6 小题.第 15 题~第 17 题每题 4 分,第 18 题~第 20 题每题 16 分, 解答题: 请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文宇说明,证明过程或演算步骤。 共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文宇说明,证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 14 分)

-2-

16.(本小题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 是棱 BC 的中点,求证: (1)AD⊥C1D; (2)A1B∥平面 ADC1.

17.(本小题满分 14 分)

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

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苏北四市 2010 届高三第二次模拟考试
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数学Ⅱ(附加题) 数学Ⅱ(附加题) Ⅱ(附加题
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共2页,均为解答题(第21题~第23题)。试卷满分40分,考试时间为30分钟。 考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题纸的规定位置。 3.请在答题纸上按照题号顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。 作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。 4.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 5.请保持答题纸卷面清洁,不要折叠、破损。 21. 选做题】 【选做题 四小题中只能选做两题 21. 选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题.每小题 l0 分.共计 20 分.请在答题 【 ...... 区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 纸指定 区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,D 是 AC 中点,E 是 BD 三等分点,AE 的延长线交口 BC 于 F,求 的值.

S ?BEF S四边形 DEFC

B.选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M= ?

? 2 0? ? ,求矩阵 M 的特征值及其相应的特征向量. ?1 1 ?

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请在答题卡指定区域内作答, 【必做题】第 22 题、第 23 题.每题 l0 分.共计 20 分,请在答题卡指定区域内作答,解答 必做题】 ....... 时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. 22.(本题满分 l0 分) 某电视台综艺频道组织的闯关游戏,游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关,闯关 者闯第一关成功得 3 分,闯第二关成功得 3 分,闯第三关成功得 4 分.现有一位参加游戏 者单独面第一关、第二关、第三关成功的概率分别为 总分为ζ. (1)求该参加者有资格闯第三关的概率; (2)求ζ的分布列和数学期望.

1 1 1 , , ,记该参加者闯三关所得 2 3 4

23. 23.(本题满分 l0 分) 2 如图,已知抛物线 M:x =4py(p>0)的准线为ι,N 为ι上的一个动点,过点 N 作抛物线 M 的两条切线,切点分别为 A,B,再分别过 A,B 两点作ι的垂线,垂足分别为 C,D. (1)求证:直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q,并写出点 Q 的坐标; (2)若△ACN,△BDN,△ANB 的面积依次构成等差数列,求此时点 N 的坐标.

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数学 I 参考答案与评分标准 一、填空题 1. 2 10. 2. 5 3. ?1 4. 45 12. 5 5.

8 5

6.

2 3

7.

9 4
1

8. 32

9.2

3 4

11. ( ?3, ?1) ∪ (1, 2)

13.

3 3

14. (1 , e e )

二、解答题

1 1 1 15.(1)因为 OP ? OQ = ? ,所以 sin 2 θ ? cos 2 θ = ? , 2 2 2 1 1 2 即 (1 ? cos 2 θ ) ? cos 2 θ = ? ,所以 cos 2 θ = , 2 2 3
所以 cos 2θ = 2 cos θ ? 1 =
2

1 .…………………………………………………………6 3

分 (2)因为 cos θ =
2

2 1 1 2 1 2 ,所以 sin θ = ,所以 点P ( , ) , 点Q ( ,?1) , 3 3 2 3 3 4 3 1 2 又点 P ( , ) 在角 α 的终边上,所以 sin α = , cos α = . 2 3 5 5 3 10 10 同理 sin β = ? , cos β = , 10 10
所以 sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β =

4 10 3 3 10 10 × + × (? ) =? . ……14 5 10 5 10 10

分 16.(1)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱,所以 C1C ⊥ 平面 ABC , 又点 D 是棱 BC 的中点,且 ?ABC 为正三角形,所以 AD ⊥ BC , 因为 BC ∩ C1C = C ,所以 AD ⊥ 平面 BCC1 B1 ,……………4 分 (2)连接 A1C 交 AC1 于点 E ,再连接 DE . 因为四边形 A1 ACC1 为矩形, 所以 E 为 A1C 的中点, 又因为 D 为 BC 的中点, 所以 ED / / A1 B . 又 A1 B ? 平面 ADC1 , ED ? 平面 ADC1 , 所以 A1 B // 平面 ADC1 .………………14 分 B D C
n ?1

又 AD ? 平面 ABC ,所以 C1C ⊥ AD ,………………………………………… 2 分

又因为 DC1 ? 平面 BCC1 B1 ,所以 AD ⊥ C1 D .…………………………6 分 A

A1

E B1

C1

17.(1)因为数列 2

{ b } 是首项为 2,公比为 4 的等比数列,所以 2 b = 2 ? 4
n
n

= 22 n ?1 ,

因此 bn = 2n ? 1 .……………………………………………………2 分 设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,则 Tn = n , T2 n = 4n ,所以
2 2

因此数列 {bn } 为“和等比数列” .…………………………………6 分

T2 n =4, Tn

-7-

(2) 设数列 {cn } 的前 n 项和为 Rn ,且

R2n = k ( k 为常数,且 k ≠ 0 ) , Rn n(n ? 1) 2n(2n ? 1) d , R2 n = 2nc1 + d, 因为数列 {cn } 是等差数列,所以 Rn = nc1 + 2 2 2n(2n ?1) 2nc1 + d R2n 2 所以 = = k 对于 n ∈ N* 都成立, n(n ?1) Rn nc1 + d 2 化简得, (k ? 4) dn + ( k ? 2)(2c1 ? d ) = 0 ,…………………………………………………10
分 则?

?(k ? 4)d = 0, 因为 d ≠ 0 ,所以 k = 4 , d = 2c1 , ?(k ? 2)(2c1 ? d ) = 0,
………………………14 分
2

因此 d 与 c1 之间的等量关系为 d = 2c1 . 因为准线 l 的方程为 x = ?2 ,所以 ?

18.(1)设抛物线 C 的方程为 y = 2 px ( p > 0) ,

p = ?2 ,即 p = 4 , 2

因此抛物线 C 的方程为 y 2 = 8 x . ……………………………4 分 (2)由题意可知, P ( ?2 , 3t ? ) , Q (0 , 2t ) ,

1 t

1 2t ? (3t ? ) t x ,即 (t 2 ? 1) x + 2ty ? 4t 2 = 0 ,………8 分 则直线 PQ 方程为: y ? 2t = 2 设圆心在 x 轴上,且与直线 PQ 相切的圆 M 的方程为 ( x ? x0 )2 + y 2 = r 2 (r > 0) ,
则圆心 M ( x0 , 0) 到直线 PQ 的距离

(t 2 ? 1) x0 ? 4t 2 (t 2 ? 1) 2 + 4t 2

= r , …………………10 分

即 (t 2 ? 1) x0 ? 4t 2 = r + rt 2 ①,或 (t 2 ? 1) x0 ? 4t 2 = ? r ? rt 2 ② , 由①可得 ( x0 ? r ? 4)t 2 + x0 ? r = 0 对任意 t ∈ R , t ≠ 0 恒成立,则有

? x0 ? r ? 4 = 0, ? x0 = 2, ,解得 ? (舍去) ,……………………………14 分 ? ?r = ?2, ?? x0 ? r = 0, 由②可得 ( x0 + r ? 4)t 2 ? x0 + r = 0 对任意 t ∈ R , t ≠ 0 恒成立,则有 ? x0 + r ? 4 = 0, ? x0 = 2, ,可解得 ? ? ?r = 2, ?? x0 + r = 0, 因此直线 PQ 恒与一个圆心在 x 轴上的定圆 M 相切,圆 M 的方程为 ( x ? 2)2 + y 2 = 4 . ……………………………………………………………………16 分

19.(1)如图, 设圆弧 FG 所在的圆的圆心为 Q , Q 点作 CD 垂线, 过 垂足为点 T , 且交 MN 或 其延长线与于 S ,并连接 PQ ,再过 N 点作 TQ 的垂线,垂足为 W . 在 Rt ?NWS 中,因为 NW = 2 , ∠SNW = θ , C T M

2 所以 NS = . cos θ 因为 MN 与圆弧 FG 切于点 P ,所以 PQ ⊥ MN ,

θ

D 1m

B

P

S G

H

-8-

F N

Q W

在 Rt△QPS ,因为 PQ = 1 , ∠PQS = θ ,

1 1 , QT ? QS = 2 ? , cos θ cos θ ①若 S 在线段 TG 上,则 TS = QT ? QS , TS QT ? QS 在 Rt ?STM 中, MS = = , sin θ sin θ QT ? QS . 因此 MN = NS + MS = NS + sin θ ②若 S 在线段 GT 的延长线上,则 TS = QS ? QT , TS QS ? QT 在 Rt ?STM 中, MS = = , sin θ sin θ QS ? QT QT ? QS = NS + . 因此 MN = NS ? MS = NS ? sin θ sin θ QT ? QS 2 2 1 f (θ ) = MN = NS + = +( ? ) sin θ cos θ sin θ sin θ cos θ 2(sin θ + cos θ ) ? 1 π = (0 < θ < ) .………………………………………………………8 sin θ cos θ 2
所以 QS = 分 (2)设 sin θ + cos θ = t (1 < t ≤ 2) ,则 sin θ cos θ =

t 2 ?1 , 2

4t ? 2 4(t 2 ? t + 1) ′(t ) = ? 因此 f (θ ) = g (t ) = 2 .因为 g ,又 1 < t ≤ 2 ,所以 g ′(t ) < 0 恒成 t ?1 (t 2 ? 1)2
立, 因此函数 g (t ) = 即 MN min

4t ? 2 在 t ∈ (1, 2] 是减函数,所以 g (t ) min = g ( 2) = 4 2 ? 2 , t 2 ?1 = 4 2 ?2.

答:一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处,则其长度的最大值为 4 2 ? 2 . ……………………………………………………16 分 1 1 1 2 2 2 20. 1) a = 时,f ′( x) = x + 2bx + b ? = ( x + b) ? b + b ? , ( 当 其对称轴为直线 x = ?b , 3 3 3

当?

??b ≥ ?2, ??b < ?2, 26 解得 b < ,当 ? 15 ? f ′(?3) > 0, ? f ′(?1) > 0,

b 无解,

26 ) .………………………………………………………4 分 15 (2)因为 f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + (b ? a ) ,

所以 b 的的取值范围为 (?∞ ,

法一:当 a = 0 时, x = ?

1 适合题意.…………………………………6 分 2 b b b 2 当 a ≠ 0 时, 3 x + 2 x + ( ? 1) = 0 ,令 t = ,则 3 x 2 + 2tx + (t ? 1) = 0 , a a a 1 1 令 h( x) = 3 x 2 + 2tx + (t ? 1) ,因为 h( ? ) = ? < 0 , 2 4
1 当 t > 1 时, h(0) = t ? 1 > 0 ,所以 y = h( x) 在 (? , 0) 内有零点. 2
-9-

当 t ≤ 1 时, h( ?1) = 2 ? t ≥ 1 > 0 ,所以 y = h( x ) 在( ? 1,? ) 内有零点. 综上可知,函数 y = f ′( x ) 在 (?1 , 0) 内至少有一个零点.…………………………………10 分 法二: f ′(0) = b ? a , f ′( ?1) = 2a ? b , f ′( ? 1 ) = b ? 2a 3 3 因此,当 a ≠ 0 时, y = h( x ) 在 (?1 , 0) 内至少有一个零点.

1 2

1 3 3 3 2 (3)因为 f ( x ) = ax + bx + (b ? a ) x 为奇函数,所以 b = 0 , 所以 f ( x) = ax ? ax ,
由于 a , b 不同时为零,所以 f ′( ? ) ? f ′( ?1) < 0 ,故结论成立. 又 f ( x) 在 x = 1 处的切线垂直于直线 x + 2 y ? 3 = 0 ,所以 a = 1 ,即 f ( x) = x ? x .
3

因 为 f ′( x ) = 3( x ?

3 3 3 3 )( x + ) , 所 以 f ( x) 在 (?∞, ? ) , ( , +∞) 上 是 増 函 数 , 在 3 3 3 3

3 3 , ] 上是减函数,由 f ( x) = 0 解得 x = ±1 , x = 0 ,如图所示, 3 3 3 1 t 3 3 当 ?1 < t ≤ ? 时, f (t ) ≥ ? t ≥ 0 ,即 t 3 ? t ≥ ? ,解得 ? ≤t ≤? ; 4 2 3 3 4 3 1 3 当? < t < 0 时, f (t ) > ? t ≥ 0 ,解得 ? <t < 0; y 3 4 3 当 t = 0 时,显然不成立; 1 3 t 3 当0<t≤ 时, f (t ) ≤ ? t < 0 ,即 t 3 ? t ≤ ? ,解得 0 < t ≤ ; 3 4 3 4 3 1 3 3 当t > 时, f (t ) < ? t < 0 ,故 <t < . 3 4 3 2 -1 O 3 3 所以所求 t 的取值范围是 ? ≤ t < 0 ,或 0 < t < . 2 2 [?
(以上各题如考生另有解法,请参照本评分标准给分) 以上各题如考生另有解法,请参照本评分标准给分)

1

x

数学 II 参考答案与评分标准 21. 【选做题】 选修 A.选修 4-1:几何证明选讲 过 D 点作 DM∥AF 交 BC 于 M,因为 DM∥AF,

A

BF BE 1 = = ,……………………………………2分 BM BD 3 S 1 因为 EF∥DM,所以 ?BEF = ,即 S ?BDM = 9 S ?BEF ,…4分 S ?BDM 9
所以

D

E
- 10 -

B

F

M

C



S ?DMC 2 = , S ?BDM 3 2 即 S ?DMC = S ?BDM = 6 S ?BEF ,……………………………………………8分 3 S?BEF 1 所以 S四边形DEFC = 14 S ?BEF ,因此 = . ……………………………10 分 S四边形DEFC 14

B.选修 4-2:矩阵与变换 选修 矩阵 M 的特征多项式为 f (λ ) =

λ ?2

0

?1 λ ?1

= λ 2 ? 3λ + 2 ,………………2分

令 f (λ ) = 0 ,解得 λ1 = 1 , λ2 = 2 , 将 λ1 = 1 代入二元一次方程组 ?

………………………………4分

? (λ - 2)x + 0 ? y = 0, ? 解得 x = 0 ,…………………6分 ?? x + (λ ? 1) y = 0,

?0 ? ?1 ? ?1? 同理,矩阵 M 属于特征值 2 的一个特征向量为 ? ? .…………………10 分 ?1?
所以矩阵 M 属于特征值 1 的一个特征向量为 ? ? ;………………8分 C.选修 4 - 4:坐标系与参数方程 选修 因为直线 l 的极坐标方程为 θ =

(ρ ∈ R) , 3 所以直线 l 的普通方程为 y = 3 x ,……………………3分 ? x = 2 cos α , 又因为曲线 C 的参数方程为 ? ( α 为参数) ,所以曲线 C 的直角坐标方程为 ? y = 1 + cos 2α , 1 y = x 2 ( x ∈ [ ?2, 2]) , ……………6分 2 ? ? x = 0, ? x = 2 3, 联立解方程组得 ? 或? ……………8分 ? y = 0, ? y = 6. ?
根据 x 的范围应舍去 ?

π

? x = 2 3, ? 故 P 点的直角坐标为 (0, 0) .………10 分 ? y = 6, ?

D.选修 4-5:不等式选讲 选修 因为 f ( x ) = ( x ? a ) + ( x ? b) + ( x ? c ) +
2 2 2

(a + b + c)2 3 (a + b + c)2 = 3 x 2 ? 2(a + b + c) x + a 2 + b 2 + c 2 + 3 a+b+c 2 = 3( x ? ) + a 2 + b 2 + c 2 ,………………………………2 分 3 a+b+c 2 2 2 2 2 2 所以 x = 时, f ( x ) 取最小值 a + b + c ,即 m = a + b + c ,………5 分 3 因为 a ? b + 2c = 3 ,由柯西不等式得

- 11 -

2 2 2 2 2 ?2 ? 2 ?1 + (?1) + 2 ? ? (a + b + c ) ≥ (a ? b + 2c) = 9 ,……………………8 分 9 3 2 2 2 所以 m = a + b + c ≥ = , 6 2 a b c 3 3 3 当且仅当 = = ,即 a = ,b = ? ,c = 时等号成立, 1 ?1 2 4 4 2 3 所以 m 的最小值为 . …………………………10 分 2

22. 【必做题】 ⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为 p1 =

1 1 , p2 = , 2 3

1 ,该参加者有资格闯第三关为事件 A . 4 2 则 P ( A) = p1 (1 ? p2 ) + (1 ? p1 ) p2 + p1 p2 = .…………………………4 分 3 (2)由题意可知, ξ 的可能取值为 0 , 3 , 6 , 7 , 10 , p3 =

P (ξ = 0) = (1 ? p1 )(1 ? p 2 ) =

1 , 3
1 1 3 + = , 4 8 8

P (ξ = 3) = p1 (1 ? p2 )(1 ? p3 ) + (1 ? p1 ) p2 (1 ? p3 ) =
1 P (ξ = 6) = p1 p2 (1 ? p3 ) = , 8

P (ξ = 7) = p1 (1 ? p2 ) p3 + (1 ? p1 ) p2 p3 =
所以 ξ 的分布列为

1 1 1 1 + = , P (ξ = 10) = p1 p2 p3 = , 12 24 8 24

ξ
p

0 1 3

3 3 8

6

7 1 8

10

1 8

1 24
…………8



1 3 1 1 1 1 所以 ξ 的数学期望 Eξ = 0 × + 3 × + 6 × + 7 × + 10 × = 3 .…………10 分 3 8 8 8 24 6 23.【必做题】 解法一: (1)因为抛物线的准线 l 的方程为 y = ? p ,
所以可设点 N , A , B 的坐标分别为 (m, p) ? ,
2 ( x1, 1 ) , ( x2, 2 ) ,则 x12 = 4 py1 , x2 = 4 py2 , y y

由 x = 4 py ,得 y =
2

x2 x y + p x1 ,求导数得 y′ = ,于是 1 = , 4p 2p x1 ? m 2 p
y

x12 +p x 4p 即 = 1 ,化简得 x12 ? 2mx1 ? 4 p 2 = 0 , x1 ? m 2 p
同理可得 x2 ? 2mx2 ? 4 p = 0 ,
2 2

B
2

所以 x1 和 x2 是关于 x 的方程 x ? 2mx ? 4 p = 0
2

E Q x O C N D

- 12 -

A

两个实数根,所以 x1,2 = m ± m + 4 p ,
2 2

且 x1 x2 = ?4 p .
2

y2 ? y1 ( x ? x1 ) 中, x2 ? x1 y ? y1 x y ?x y x x (x ? x ) xx x1 = 2 1 1 2 = = 1 2 1 2 = ? 1 2 = p 为定值, 令 x = 0 ,得 y = y1 ? 2 x2 ? x1 x2 ? x1 4 p ( x2 ? x1 ) 4p 所以直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q (0,p ) , 即抛物线的焦点. ……………………………
在直线 AB 的方程 y ? y1 = 5分 (2)由(1)知 x1 + x2 = 2m ,所以 N 为线段 CD 的中点,取线段 AB 的中点 E , 因为 Q 是抛物线的焦点,所以 AQ = AC,BQ = BD ,所以 AC + BD = AB ,

1 1 1 EN ? CN + EN ? DN = EN ? (CN + DN ) 2 2 2 AC + BD AB ? CN = EN ? CN = ? CN = , 2 2 AC ? CN AQ ? CN BD ? DN BQ ? CN = , S ?BDN = = , 又因为 S ?ACN = 2 2 2 2 AQ ? CN BQ ? CN AB ? CN 所以 , , 成等差数列,即 AQ,BQ,AB 成等差数列, 2 2 2 即 0 ? x1,x2 ? 0,x2 ? x1 成等差数列,所以 x2 ? 2 x1 = 2 x2 , x2 = ?2 x1 ,
所以 S ?ANB = S ?ANE + S ?BNE = 所以 x1 x2 = ?2 x1 = ( m + m + 4 p )( m ? m + 4 p ) = ?4 p , x1 = ± 2 p ,
2 2 2 2 2 2

x1 + x2 2 =? p, 2 2 x +x 2 x1 = ? 2 p 时, x2 = 2 2 p , m = 1 2 = p ,所以所求点 N 的坐标为 2 2 2 (± p, p) ? .………………………………………………………………10 分 2 解法二: (1)因为已知抛物线的准线 l 的方程为 y = ? p ,所以可设点 N,A,B 的坐标分别为

x1 = 2 p 时, x2 = ?2 2 p , m =

2 (m, p) ( x1, 1 ) , ( x2, 2 ) ,则 x12 = 4 py1 , x2 = 4 py2 , ? , y y

设过 N 点与抛物线相切的直线方程为 y + p = k ( x ? m) , 与抛物线方程 x 2 = 4 py 联立, 消去 y 得 x 2 ? 4 pkx + 4 pmk + 4 p 2 = 0 , 因为直线与抛物线相切,所以 ? = 16 p 2 k 2 ? 16( pmk + p 2 ) = 0 ,即 pk 2 ? mk ? p = 0 ,解得

m ± m2 + 4 p 2 2 2 k1, = ,此时两切点横坐标分别为 x1, = 2 pk = m ± m + 4 p , 2 2 2p y ? y1 在直线 AB 的方程 y ? y1 = 2 ( x ? x1 ) 中,令 x = 0 得 x2 ? x1 y ?y x y ?x y x x (x ? x ) xx y = y1 ? 2 1 x1 = 2 1 1 2 = = 1 2 1 2 = ? 1 2 = p 为定值, x2 ? x1 x2 ? x1 4 p ( x2 ? x1 ) 4p 所 以 直 线 AB 必 经 过 y 轴 上 的 一 个 定 点 Q (0,p ) , 即 抛 物 线 的 焦
点.……………………………5 分

- 13 -

m ± m2 + 4 p 2 (2) (1) 由 知两切线的斜率分别为 k1, = , k1 ? k2 = ?1 , 则 所以 AN ⊥ BN , 2 2p 2p 连接 QN ,则直线 QN 斜率为 kQN = ? , m 2 y ? y1 x2 ? x12 x + x 2m m 又因为直线 AB 的斜率 k AB = 2 = = 2 1= = , x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4p 4p 2p 2p m 所以 kQN ? k AB = ? ? = ?1, m 2p 所以 QN ⊥ AB ,又因为 AQ = AC,BQ = BD ,所以 ?ACN ≌?AQN,?BDN ≌?BQN , 所以 ?AQN,?BQN 和 ?ANB 的面积成等差数列,所以 AQ,BQ,AB 成等差数列, 所以 0 ? x1,x2 ? 0,x2 ? x1 成等差数列,所以 x2 ? 2 x1 = 2 x2 , x2 = ?2 x1 ,
所以 x1 x2 = ?2 x1 = ( m + m + 4 p )( m ? m + 4 p ) = ?4 p , x1 = ± 2 p ,
2 2 2 2 2 2

x1 + x2 2 =? p, 2 2 x +x 2 x1 = ? 2 p 时, x2 = 2 2 p , m = 1 2 = p, 2 2 所以所求点 N 的坐标为 2 (± p,? p) …………………………………………………………10 分 . 2

x1 = 2 p 时, x2 = ?2 2 p , m =

(以上各题如考生另有解法,请参照本评分标准给分) 以上各题如考生另有解法,请参照本评分标准给分)

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