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《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案及说明


平面向量数量积的物理背景及其含义 一 .教学内容分析: 本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修 4(人教 A 版)§ 2.4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算 律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念 法则的学习过程. 二.学生学习情况分析: 学生在学习本节内容之前,已熟知了实数的运算体系,掌握了向量的概念 及其线性运算,具备了功等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方 法。 在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上 ,学生基本上能类比 得到数量积的含义和运算律 ,对于运算律不一定给全或给对 ,对运算律的证明可 能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断. 三.设计思想: 遵循新课标以人为本的理念,以启发式教学思想和建构主义理论为指 导,采用探究式教学,以多媒体手段为平台,利用问题让学生自主地参与探 究,在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展, 引导学生积极将知识融入自己的知识体系。 四.教学目标: 1、了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义; 2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运 算律,并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算; 3、体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能 力。 五.教学重点和难点: 重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角; 难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解,平面向量数量积的应用。 六.教学过程设计: 活动一:创设问题情景,引出新课 1、提出问题 1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这 些运算的结果是什么? 答:向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。 2、提出问题 2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的? 我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的? 答:物理模型→概念→性质→运算律→应用 3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运 算。导入课题:平面向量数量积的物理背景及其含义 [设计意图] :1.明白新旧知识的联系性。2.明确研究向量的数量积这种运 算的途径。 活动二:探究数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题 3: (1)如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S, 那么力 F 所做的功:W= |F| |S| cos ? 。 (2)这个公式有什么特点?请完成下列填空: ①W(功)是 ③S(位移)是 量,②F(力)是 量,④α 是 量, 。 α S F (3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 ( 4 )如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量,其结果又该如何表 述? 答:两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 2、明晰数量积的定义 (1) 数量积的定义: 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 θ ,我们把数量︱ a ︱·︱ b ︱ cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) ,记作: a · b ,即: a · b = ︱ a ︱·︱ b ︱cosθ (2)定义说明: ①记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。 ② “规定” :零向量与任何向量的数量积为零。 [设计意图] : 1.认识向量的数量积的实际背景。 2.使学生在形式上认识 数量积的定义。3.从数学和物理两个角度创设问题情景,使学生明白为什 么研究这种运算,从而产生强烈的求知欲望

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