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导数的除法法则


3.4.3 导数的除法法则

导数公示表(三角函数的自变量为弧度)
函数
y?c

导函数

函数
y ? sin x

导函数

y' ? 0

y ' ? cos x

y ? x?

/>
y' ? ?x? ?1

y ? cos x

y ' ? ? sin x
1 y' ? cos 2 x
y' ? 1 sin 2 x

y ? ax

y' ? a x ln a
1 y' ? x ln a

y ? tan x

y ? loga x

y ? cot x

导数的加法、减法与乘法法则
[ f ( x) ? g ( x)]'? f ' ( x) ? g ' ( x) 1.加法法则:

[ f ( x) ? g ( x)]'? f ' ( x) ? g ' ( x) 2.减法法则:

[ f ( x) g ( x)]'? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) 3.乘法法则: 练习 1、 ( x sin x)' ? ( x)'sin x ? x(sin x)' ? sin x ? x cos x

e 2、 (e ln x)' ? (e )'ln x ? e (ln x)' ? e ln x ? x
x x x
x

x

3、 ( x ? 3 )' ? ( x )'3 ? x (3 )' ? 2 x ? 3 ? x ? 3 ln 3 x ? x ? 3(2 ? x ? ln 3)
2 x 2 x 2 x
x 2 x

问题提出
我们已经知道导数的乘法法则:
[ f ( x) g ( x)]'? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x)

那么,导数的除法法则是 什么样的呢?
下面我们来推导导数的除法法则?

问题解决
令:
f ( x) y ? h( x ) ? g ( x)

下面用导数的定义推导导数的除法法则。 ......(此处省略推导过程)

导数的除法法则为:
f ( x) f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) [ ]' ? g ( x) g 2 ( x)

思考交流
我们已经知道: [ f ( x) ? g ( x)]'? f ' ( x) ? g ' ( x)

那么是不是也有:
f ( x) f ' ( x) [ ]' ? g ( x) g ' ( x)

呢?

请举例验证猜想。

例4.求下列函数的导数
sin x (1) y ? x x (2) y ? ln x
2

练习.求下列函数的导数
x ?1 (1) y ? x ?1 x (2) y ? cos x
2

课堂小结
1、通过本节课的学习,你学到了那些知识? 其中,那些知识给你留下的印象最深? 2、你还想知道些什么知识吗?

作业
习题3-4 A组第4题 (5)(6)(7)(8)


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