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巧解外接球的问题


巧解外接球问题
摘要:外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜,本文就长方体、正方体 及棱锥的外接球有关问题,给出了特殊解法。 关键词:巧解 外接球 问题

《普通高中数学课程标准》中对立体几何初步的学习提出了基本要求: “在 立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形; 再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位

置关系;??。 ”由此 可见,长方体模型是学习立体几何的基础,掌握长方体模型,对于学生理解立体 几何的有关问题起着非常重要的作用。 有关外接球的立体几何问题是近年各省高 考试题的难点之一, 这与学生的空间想象能力以及化归能力有关,本文通过近年 来部分高考试题中外接球的问题谈几种解法。 一、直接法 1、求正方体的外接球的有关问题 例 1 (2006 年广东高考题)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为 .

解析:要求球的表面积,只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球,所 以它的体对角线正好为球的直径,因此,求球的半径可转化为先求正方体的体对 角线长,再计算半径.故表面积为 27? . 例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为 .

24 ,则该球的体积为

解析:要求球的体积,还是先得求出球的半径,而球的直径正好是正方体的 体对角线, 因此, 由正方体表面积可求出棱长, 从而求出正方体的体对角线是 2 3 所以球的半径为 3 .故该球的体积为 4 3? . 2、求长方体的外接球的有关问题 例 3 (2007 年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个 顶点上的三条棱长分别为 1, 2,3 ,则此球的表面积为 .

解析:关键是求出球的半径,因为长方体内接于球,所以它的体对角线正好
1

为球的直径。长方体体对角线长为 14 ,故球的表面积为 14? . 例 4、 (2006 年全国卷 I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体 积为 16,则这个球的表面积为( A. 16? ). C. 24? D. 32?

B. 20?

解析:正四棱柱也是长方体。由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的 底面边长为 2,因此,长方体的长、宽、高分别为 2,2,4,于是等同于例 3, 故选 C. 二、构造法 1、构造正方体 例 5 (2008 年福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为

3 ,则其外接球的表面积是

.

解析:此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后再设出球心,利用直角三 角形计算球的半径.而作为填空题,我们更想使用较为便捷的方法,所以三条侧 棱两两垂直,使我们很快联想到长方体的一个角,马上构造长方体,且侧棱长均 相等,所以可构造正方体模型,如图 1,则 AC=BC=CD ? 3 ,那么三棱锥的外 接球的直径即为正方体的体对角线,故所求表面积是 9? .(如图 1)
E A

A

D

D B
图1

B
图2

C

C

例 6 (2003 年全国卷)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一

2

球面上,则此球的表面积为( A. 3? B. 4?

) C. 3 3? D. 6?

解析:一般解法,需设出球心,作出高线,构造直角三角形,再计算球的半 径.在此,由于所有棱长都相等,我们联想只有正方体中有这么多相等的线段, 所以构造一个正方体,再寻找棱长相等的四面体,如图 2,四面体 A ? BDE 满足 条件,即 AB=AD=AE=BD=DE ? BE ? 2 ,由此可求得正方体的棱长为 1,体对 角线为 3 , 从而外接球的直径也为 3 , 所以此球的表面积便可求得, 故选 A. (如 图 2) 例7 (2006 年山东高考题) 在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2 ,?DAB=600 ,
E 为 AB 的中点,将 ?ADE 与 ?BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起,使 A、B 重合于

点 P ,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为( A.
4 3 ? 27

). C.
6 ? 8

B.

6 ? 2

D.

6 ? 24

解析: (如图 3) 因为 AE=EB=DC=1 , ?DAB=?CBE=?DEA=600 ,所以
AD ? AE=EB=BC=DC=DE=CE=1 ,即三棱锥 P-DCE 为正四面体,至此,这与例

6 就完全相同了,故选 C.

D

C

P

A

E

B
图3

D E

C

例 8 ( 2008 年 浙江 高考题 )已 知球 O 的面 上四点 A 、 B 、 C 、 D ,
DA ? 平面ABC , AB ? BC , DA=AB=BC= 3 ,则球 O 的体积等于

.

解析:本题同样用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径.而利用长方 体模型很快便可找到球的直径,由于 DA ? 平面ABC ,AB ? BC ,联想长方体中

3

的相应线段关系,构造如图 4 所示的长方体,又因为 DA=AB=BC= 3 ,则此长 方体为正方体,所以 CD 长即为外接球的直径,利用直角三角形解出 CD=3 .故球
9 O 的体积等于 ? .(如图 4) 2

D

O

A

B

图4

C

2、构造长方体 例 9 ( 2008 年安徽高考题)已知点 A 、 B 、 C 、 D 在同一个球面上,
AB ? 平面BCD , BC ? DC ,若 AB ? 6, AC=2 13,AD=8 ,则 B、C 两点间的球

面距离是

.

解析:首先可联想到例 8,构造下面的长方体,于是 AD 为球的直径,O 为 球心,OB=OC=4 为半径,要求 B、C 两点间的球面距离,只要求出 ?BOC 即可,
4 在 Rt ?ABC 中,求出 BC =4 ,所以 ?BOC=600 ,故 B、C 两点间的球面距离是 ? . 3

(如图 5)

A

O

B

C

4

D

图5


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