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江苏省宿迁市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷 (Word版含解析)


江苏省宿迁市 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡相应位 置上. 1. (5 分)函数 f(x)=lg(2x﹣1)的定义域为. 2. (5 分)已知全集 U={1,2,3},集合 A={1},集合 B={1,2},则 A∪?UB=. 3. (5 分)已知函数 y=a
x﹣2

+1(a>0,a≠1) ,不论常数 a 为何值,函数图象恒过定点. =.

4. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点

5. (5 分)已知函数



的值为.

6. (5 分)已知 a,b∈R,若 2 =5 =100,则
2

a

b

=.

7. (5 分)关于 x 的方程 x +2(a﹣1)x+2a+6=0 的两根为 α,β,且满足 0<α<1<β,则 a 的取值范围是. 8. (5 分)已知 f 是有序数对集合 M={(x,y)|x∈N ,y∈N }上的一个映射,正整数数对(x, y)在映射 f 下对应的为实数 z,记作 f(x,y)=z.对于任意的正整数 m,n(m>n) ,映射 f 由下表给出: (x,y) (n,n) (m,n) (n,m) f(x,y) n m﹣n m+n 则使不等式 f(2,x)≤3 的解集为. 9. (5 分)已知函数 f(x)=log2(x+2)+x﹣5 存在唯一零点 x0,则大于 x0 的最小整数为. 10. (5 分)函数 的值域为.
* *

11. (5 分)生活中常用的十二进位制,如一年有 12 个月,时针转一周为 12 个小时,等等, 就是逢 12 进 1 的计算制,现采用数字 0~9 和字母 A、B 共 12 个计数符号,这些符号与十 进制的数的对应关系如下表; 十二进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 例如用十二进位制表示 A+B=19,照此算法在十二进位制中运算 A×B=.

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12. (5 分)已知函数 f(x)= 是.

(a≠±1)在区间(0,1]上是减函数,则 a 的取值范围

13. (5 分)已知大于 1 的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和.如: 若 m 是自然数,把 m 按上述表示,等式右侧的奇数中含有 2015,则 m=.
3

14. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数,又是周期函数,且周期为 .当 时, 值为. (a、b∈R) ,则 f(1)+f(2)+…+f(100)的

二、解答题:本大题共 6 小题,15-17 每小题 14 分,18-20 每小题 14 分,共计 90 分.请在 答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)已知命题 A={x|x ﹣2x﹣8<0},B= (1)若 A∩B=(2,4) ,求 m 的值; (2)若 B?A,求 m 的取值范围. 16. (14 分)已知 z 为复数,z+2i 为实数,且(1﹣2i)z 为纯虚数,其中 i 是虚数单位. (1)求复数 z; (2)若复数 z 满足 ,求|ω|的最小值.
2



17. (14 分)某商场欲经销某种商品,考虑到不同顾客的喜好,决定同时销售 A、B 两个品 牌,根据生产厂家营销策略,结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析,A 品牌的销售 利润 y1 与投入资金 x 成正比,其关系如图 1 所示,B 品牌的销售利润 y2 与投入资金 x 的算 术平方根成正比,其关系如图 2 所示(利润与资金的单位:万元) . (1)分别将 A、B 两个品牌的销售利润 y1、y2 表示为投入资金 x 的函数关系式; (2)该商场计划投入 5 万元经销该种商品,并全部投入 A、B 两个品牌,问:怎样分配这 5 万元资金,才能使经销该种商品获得最大利润,其最大利润为多少万元?

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18. (16 分) (1)找出一个等比数列{an},使得 1, ,4 为其中的三项,并指出分别是{an} 的第几项; (2)证明: 为无理数; (3)证明:1, ,4 不可能为同一等差数列中的三项. 19. (16 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)=ln(e +1)+ax(a∈R)是偶函数. (1)求实数 a 的值; (2)判断 f(x)在[0,+∞)上的单调性,并用定义法证明; (3)若 f(x +
2 2x

)>f(mx+ )恒成立,求实数 m 的取值范围.

20. (16 分)已知函数 f(x)=x ﹣1,g(x)=|x﹣a|. (1)当 a=1 时,求 F(x)=f(x)﹣g(x)的零点; (2)若方程|f(x)|=g(x)有三个不同的实数解,求 a 的值; (3)求 G(x)=f(x)+g(x)在[﹣2,2]上的最小值 h(a) .

2

江苏省宿迁市 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡相应位 置上. 1. (5 分)函数 f(x)=lg(2x﹣1)的定义域为 .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的真数大于 0,列出不等式,求出解集即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=lg(2x﹣1) , ∴2x﹣1>0, 解得 x> ; ∴f(x)的定义域为( ,+∞) . 故答案为: ( ,+∞) . 点评: 本题考查了求函数定义域的问题, 求定义域是求使函数解析式有意义的自变量的取 值范围,是基础题目. 2. (5 分)已知全集 U={1,2,3},集合 A={1},集合 B={1,2},则 A∪?UB={1,3}.

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考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由全集 U 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的并集即可. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3},集合 A={1},集合 B={1,2}, ∴?UB={3}, 则 A∪?UB={1,3}, 故答案为:{1,3} 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3. (5 分)已知函数 y=a
x﹣2

+1(a>0,a≠1) ,不论常数 a 为何值,函数图象恒过定点(2,2) .

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 0 分析: 根据指数函数过定点的性质,即 a =1 恒成立,即可得到结论. x﹣2 解答: 解:∵y=a +1, ∴当 x﹣2=0 时,x=2, 此时 y=1+1=2, 即函数过定点(2,2) . 故答案为: (2,2) 点评: 本题主要考查指数函数的图象和性质,直接解方程即可.比较基础.

4. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点

= .

考点: 幂函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 设 f(x)=x ,n 是有理数,根据 f(2)= 计算出 n=﹣2,从而得到函数表达式, 求出 f(3)的值. n 解答: 解:设 f(x)=x ,n 是有理数,则 ∵幂函数的图象过点 ∴ =2 ,即 2 =2n,可得 n=﹣2 ∴幂函数表达式为 f(x)=x ,可得 f(3)=3 = 故答案为: 点评: 本题给出幂函数经过定点, 求幂函数表达式, 着重考查了幂函数的定义与简单性质 等知识,属于基础题.
﹣2 ﹣2

n

n

﹣2

5. (5 分)已知函数



的值为 .

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考点: 分段函数的应用;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分段函数,由里及外逐步求解即可. 解答: 解:函数
﹣3



=f(log3

)=f(﹣3)=2

= .

故答案为: . 点评: 本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力. 6. (5 分)已知 a,b∈R,若 2 =5 =100,则
a b

= .

考点: 专题: 分析: 解答:

基本不等式;对数的运算性质. 函数的性质及应用. 先两边求出对数,求出 a,b 的值,再根据对数的运算性质计算即可. a b 解:a,b∈R,若 2 =5 =100, = = , ,

∴a=log2100= b=log5100= ∴

= (lg2+lg5)= ,

故答案为: . 点评: 本题考查了对数的运算性质,属于基础题. 7. (5 分)关于 x 的方程 x +2(a﹣1)x+2a+6=0 的两根为 α,β,且满足 0<α<1<β,则 a 的取值范围是 .
2

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 由已知中关于 x 的方程 x +2(a﹣1)x+2a+6=0 的两实根 α,β 满足 0<α<1<β, 根据方程的根与对应函数零点之间的关系,我们易得方程相应的函数在区间(0,1)与区间 (1,+∞)上各有一个零点,此条件可转化为不等式组 ,解不等式组即可得到

实数 a 的取值范 2 解答: 解:依题意,函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2a+6=的两个零点 α,β 满足 0<α<1< β,
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且函数 f(x)过点(0,4) ,则必有



即:



解得:﹣3



故答案为: (﹣3,﹣ ) 点评: 本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系. 其中根据方程的根与对 应函数零点之间的关系,构造关于 a 的不等式是解答本题的关键 8. (5 分)已知 f 是有序数对集合 M={(x,y)|x∈N ,y∈N }上的一个映射,正整数数对(x, y)在映射 f 下对应的为实数 z,记作 f(x,y)=z.对于任意的正整数 m,n(m>n) ,映射 f 由下表给出: (x,y) (n,n) (m,n) (n,m) f(x,y) n m﹣n m+n 则使不等式 f(2,x)≤3 的解集为{1,2}. 考点: 映射. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 仔细阅读题意得出 f (2, x) = 求解即可. 解答: 解;根据题意得出:f(2,x)= , 转化不等式为 或
* *

∴不等式 f(2,x)≤3 可以转化为:
*



即﹣1≤x≤2 或 x∈?,x∈N , ∴解集为{1,2} 故答案为:{1,2} 点评: 本题考查了学生的阅读题意得出需要的函数不等式,考查了分析转化问题的能力, 属于中档题. 9. (5 分)已知函数 f(x)=log2(x+2)+x﹣5 存在唯一零点 x0,则大于 x0 的最小整数为 3. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数解析式判断 f(x)在(﹣2,+∞)上单调递增,求解 f(2)<0,f(3) =log25+3﹣5=>0,根据函数零点存在性定理得出 x0 的范围即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=log2(x+2)+x﹣5,
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∴函数 f(x)在(﹣2,+∞)上单调递增, ∵f(2)=log24+2﹣5=﹣1<0, f(3)=log25+3﹣5=log25﹣2=log2 >0, ∴根据函数零点存在性定理得出;f(x)在(2,3)上有一个零点,且存在唯一零点, 故大于 x0 的最小整数为 3, 故答案为:3. 点评: 本题考查了运用观察法判断函数单调性,根据函数零点存在性定理判断零点的范 围,难度不大,属于中档题. 10. (5 分)函数 的值域为(﹣∞,﹣2]∪[10,+∞) .

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 把函数恒等变形得出 y=2+ 式求解即可. 解答: 解:∵函数 ∴y=2+ ,x∈[0,3]且 x≠2, , ,x∈[0,3]且 x≠2,利用函数的单调性,结合不等

∵﹣2≤x﹣2≤1,x﹣2≠0 ∴ ≤﹣4 或 ≥8

∴y≤﹣2 或 y≥10, 故答案为: (﹣∞,﹣2]∪[10,+∞) 点评: 本题考查了分式函数的值域的求解,不等式的运用,是一道难度不大的题目. 11. (5 分)生活中常用的十二进位制,如一年有 12 个月,时针转一周为 12 个小时,等等, 就是逢 12 进 1 的计算制,现采用数字 0~9 和字母 A、B 共 12 个计数符号,这些符号与十 进制的数的对应关系如下表; 十二进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 例如用十二进位制表示 A+B=19,照此算法在十二进位制中运算 A×B=92. 考点: 进位制. 专题: 计算题. 分析: 先把十二进制数化为十进制数, 利用十进制数计算乘积, 再把乘积化为十二进制即 可. 解答: 解:把十二进制数化为十进制数,则 B(12)=11,A(12)=10, 1 0 ∴B(12)×A(12)=11×10=110=9×12 +2×12 =92; 故答案为:92.

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点评: 本题利用不同进制数之间的关系, 考查了它们之间的换算, 其算法通常是先化为十 进制,利用十进制数计算,再把结果化为其他进制.

12. (5 分)已知函数 f(x)= 是(﹣1,0)∪(1,3].

(a≠±1)在区间(0,1]上是减函数,则 a 的取值范围

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的解析式、 定义域和复合函数的单调性列出不等式组, 求出 a 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)= (a≠±1)在区间(0,1]上是减函数,







解得﹣1<a<0 或 1<a≤3, ∴a 的取值范围是: (﹣1,0)∪(1,3], 故答案为: (﹣1,0)∪(1,3]. 点评: 本题考查复合函数的单调性, 注意函数的定义域, 考查分类讨论思想, 属于中档题. 13. (5 分)已知大于 1 的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和.如: 若 m 是自然数,把 m 按上述表示,等式右侧的奇数中含有 2015,则 m=45.
3

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由题意知,n 的三次方就是 n 个连续奇数相加,且从 2 开始,这些三次方的分解正 3 好是从奇数 3 开始连续出现,由此规律即可找出 m 的等式右侧的奇数中含有 2015 时 m 的 值. 解答: 解:由题意,从 2 到 m ,正好用去从 3 开始的连续奇数共 2+3+4+…+m= 个,
3 3

2015 是从 3 开始的第 1007 个奇数, 当 m=44 时,从 2 到 44 ,用去从 3 开始的连续奇数共 当 m=45 时,从 2 到 45 ,用去从 3 开始的连续奇数共 故 m=45,
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3 3 3 3

=989 个 =1034 个

故答案为:45. 点评: 本题考查归纳推理, 求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论, 其中分析出分 解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键.

14. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数,又是周期函数,且周期为 .当 时, 值为 . (a、b∈R) ,则 f(1)+f(2)+…+f(100)的

考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用给出的条件得出 a=0, b 的值, 根据周期性和奇偶性得出 (1) +f (2) +…+f (100) =f(1)=﹣f( )即可. 解答: 解:∵定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数, ∴f(0)=0, ∵当 ∴a=0, 即当 时,f(x)= ﹣bx(a、b∈R) , )=f(﹣ ) , 时, (a、b∈R) ,

∵函数 f(x)的周期为 ,f(1)=f( f(2)=f( )=f( ) ,

f(3)=f( + )=f(0)=0 f(4)=f(3+1)=f(1)=f(﹣ ) , …f(100)=f(99+1)=f(1)=f(﹣ )=﹣f( ) , ∴f(1)+f(2)+…+f(100)=f(1)= ,

∵定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数,又是周期函数,且周期为 , ∴f(﹣ )=﹣f( )=﹣1+ , ,

f(﹣ )=f( ﹣ )=f( )=1﹣ ∴﹣1 =1﹣ ,求解 b=

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∴f(1)+f(2)+…+f(100)=f(1)=﹣f( )= 故答案为: .

=



点评: 本题综合考查了函数的性质周期性运奇偶性的运用, 整体运用的思想, 考查了逻辑 推理变换的能力,属于中档题. 二、解答题:本大题共 6 小题,15-17 每小题 14 分,18-20 每小题 14 分,共计 90 分.请在 答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)已知命题 A={x|x ﹣2x﹣8<0},B= (1)若 A∩B=(2,4) ,求 m 的值; (2)若 B?A,求 m 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 分别化简得 A={x|﹣2<x<4},B={x|m﹣3<x<m}. (1)由 A∩B=(2,4)可得 m﹣3=2 且 m≥4,解出即可. (2)由 B?A,即 ,解得即可.
2



解答: 解:化简得 A={x|﹣2<x<4},B={x|m﹣3<x<m}. (1)∵A∩B=(2,4) ,∴m﹣3=2 且 m≥4,则 m=5. (2)∵B?A,即 ,解得 1≤m≤4.

∴m 的取值范围是[1,4]. 点评: 本题考查了集合的运算性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题. 16. (14 分)已知 z 为复数,z+2i 为实数,且(1﹣2i)z 为纯虚数,其中 i 是虚数单位. (1)求复数 z; (2)若复数 z 满足 ,求|ω|的最小值.

考点: 复数求模;复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: (1)设 z=a+bi(a,b∈R) ,l 利用 z+2i 为实数, (1﹣2i)z 为纯虚数,列出方程求 解即可. (2)设 ω=x+yi, (x,y∈R) ,通过 ,|ω|最小值即为原点到圆(x﹣4) +(y﹣2) 2 =1 上的点距离的最小值,即可求解|ω|的最小值. 解答: 解: (1)设 z=a+bi(a,b∈R) , 则 z+2i=a+(b+2)i,因为 z+2i 为实数,所以有 b+2=0①…2 分 (1﹣2i)z(1﹣2i) (a+bi)=a+2b+(b﹣2a)i,因为(1﹣2i)z 为纯虚数, 所以 a+2b=0,b﹣2a≠0,②…4 分 由①②解得 a=4,b=﹣2.…6 分 故 z=4﹣2i.…7 分
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2

(2)因为 z=4﹣2i,则 =4+2i,…8 分 设 ω=x+yi, (x,y∈R) ,因为 又|ω|= ,即(x﹣4) +(y﹣2) =1…10 分
2 2 2 2

,故|ω|最小值即为原点到圆(x﹣4) +(y﹣2) =1 上的点距离的最小值, = ,又因为圆的半径 r=1,原点在圆外,

因为原点到点(4,2)的距离为

所以|ω|的最小值即为 2 ﹣1.…14 分. 点评: 本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,复数的模的求法,考查计 算能力. 17. (14 分)某商场欲经销某种商品,考虑到不同顾客的喜好,决定同时销售 A、B 两个品 牌,根据生产厂家营销策略,结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析,A 品牌的销售 利润 y1 与投入资金 x 成正比,其关系如图 1 所示,B 品牌的销售利润 y2 与投入资金 x 的算 术平方根成正比,其关系如图 2 所示(利润与资金的单位:万元) . (1)分别将 A、B 两个品牌的销售利润 y1、y2 表示为投入资金 x 的函数关系式; (2)该商场计划投入 5 万元经销该种商品,并全部投入 A、B 两个品牌,问:怎样分配这 5 万元资金,才能使经销该种商品获得最大利润,其最大利润为多少万元?

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)设 y1=k1x(x>0) ,y2=k2 (x>0) ,分别代入点(2,0.5)和(4,1.5) , 解方程即可得到所求函数的解析式; (2)设总利润为 y,投入 B 品牌为 x 万元,则投入 A 品牌为(5﹣x)万元,则 , 令 , 运用二次函数在闭区间上

最值的求法,可得 y 的最大值. 解答: 解: (1)因为 A 品牌的销售利润 y1 与投入资金 x 成正比, 设 y1=k1x(x>0) , 又过点(2,0.5) ,解得 所以 ; ,

B 品牌的销售利润 y2 与投入资金 x 的算术平方根成正比, 设 y2=k2 (x>0) ,又过点(4,1.5) ,即有 1.5=2k2, 解得 k2= ,

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所以 y2=

(x>0) ;

(2)设总利润为 y,投入 B 品牌为 x 万元,则投入 A 品牌为(5﹣x)万元, 则 令 则 当 时,即 , = 时,投入 A 品牌为: , , . 万 ,

答:投入 A 品牌

万元、B 品牌 万元时,经销该种商品获得最大利润,最大利润为

元. 点评: 本题考查函数的解析式的求法和函数的最值, 主要考查二次函数的最值求法和换元 法思想,属于中档题. 18. (16 分) (1)找出一个等比数列{an},使得 1, ,4 为其中的三项,并指出分别是{an} 的第几项; (2)证明: 为无理数; (3)证明:1, ,4 不可能为同一等差数列中的三项. 考点: 等比数列的通项公式;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据题意取一个等比数列{an}:首项为 1、公比为 式求出 an,再求出 an=4 时的项数 n 即可判断; (2)假设

,由等比数列的通项公

是有理数,利用有理数的定义得:存在互质整数 h、k,使得

,再进行证

明直到推出矛盾; (3)假设 1, ,4 是同一等差数列中的三项,利用等差数列的通项公式和(2)的结论进 行证明,直到推出矛盾. 解答: 解: (1)取一个等比数列{an}:首项为 1、公比为 则 则令 所以 a1=1, (2)证明:假设
2 2



,…2 分 =4,解得 n=5, ,a5=4. …4 分 是有理数,则存在互质整数 h、k,使得 ,…5 分

则 h =2k ,所以 h 为偶数,…7 分 2 2 设 h=2t,t 为整数,则 k =2t ,所以 k 也为偶数, 则 h、k 有公约数 2,这与 h、k 互质相矛盾,…9 分 所以假设不成立,所以 是有理数. …10 分 (3)证明:假设 1, ,4 是同一等差数列中的三项,
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且分别为第 n、m、p 项且 n、m、p 互不相等,…11 分 设公差为 d,显然 d≠0,则 ,

消去 d 得, 由 n、m、p 都为整数,所以

,…13 分 为有理数,

由(2)得 是无理数,所以等式不可能成立,…15 分 所以假设不成立,即 1, ,4 不可能为同一等差数列中的三项. …16 分. 点评: 本题考查了等差、等比数列的通项公式,有理数的定义是应用,以及利用反证法证 明结论成立,属于中档题. 19. (16 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)=ln(e +1)+ax(a∈R)是偶函数. (1)求实数 a 的值; (2)判断 f(x)在[0,+∞)上的单调性,并用定义法证明; (3)若 f(x +
2 2x

)>f(mx+ )恒成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质;函数奇偶性的性 质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用 f(x)是定义在 R 上的偶函数,可得 f(1)=f(﹣1) ,即可求出 a. (2) 设 x1,x2 为[0, +∞) 内的任意两个值, 且 x1<x2, 利用函数的单调性的定义证明 f(x1) ﹣f(x2)<0,推出函数 f(x)在[0,+∞)上是单调增函数. (3)f(x)在[0,+∞)上是单调增函数,且是偶函数推出 则 t∈(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) ,化简得到 ,令 ,

,|m|<1,求出﹣1<m<1.

解答: 19.解: (1)因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以 f(1)=f(﹣1) , 即 ln(e +1)+a=ln(e +1)﹣a,即 2a=
2x 2
﹣2

=﹣2,得 a=﹣1,…2 分

当 a=﹣1 时,f(x)=ln(e +1)﹣x, ﹣2x 2x 对于?x∈R,f(﹣x)=ln(e +1)+x=ln(e +1)﹣x=f(x) ,综上 a=﹣1 …4 分 (2)f(x)在[0,+∞)上是单调增函数,…5 分 证明如下: 设 x1,x2 为[0,+∞)内的任意两个值,且 x1<x2,则 =

因为 0≤x1<x2,所以 x2﹣x1>0,x2+x1>0,所以


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所以 ,

,所以

所以

,所以 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) ,

所以 f(x)在[0,+∞)上是单调增函数. …10 分 (3)f(x)在[0,+∞)上是单调增函数,且是偶函数,又 所以 令 ,…12 分 ,则 t∈(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) ,
2



所以|mt|<t ﹣2, 因为 所以

恒成立,…14 分

,关于|t|在[2,+∞)上单调递增, ,所以|m|<1 恒成立,所以﹣1<m<1.…16 分.

点评: 本题考查函数的恒成立, 函数的单调性以及函数的奇偶性的综合应用, 考查分析问 题解决问题的能力. 20. (16 分)已知函数 f(x)=x ﹣1,g(x)=|x﹣a|. (1)当 a=1 时,求 F(x)=f(x)﹣g(x)的零点; (2)若方程|f(x)|=g(x)有三个不同的实数解,求 a 的值; (3)求 G(x)=f(x)+g(x)在[﹣2,2]上的最小值 h(a) . 考点: 函数零点的判定定理;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)分段表示 F(x) ,令 F(x)=0,分类讨论求解零点即可. 2 2 2 2 (2)变形得(x +x﹣a﹣1) (x ﹣x+a﹣1)=0,即要求方程 x +x﹣a﹣1=0…(1) ,与 x ﹣x+a ﹣1=0…(2) 分别求解( I)一个有等根,另一个有两不等根,且三根不等, ( II)方程(1) 、 (2)均有 两不等根且由一根相同;判断符合题意吧, (3) 具体表示 G (x) =f (x) +g (x) =x ﹣1+|x﹣a|=
2 2

, ①当

时,②当

时,③当

时,利用单调性求解即可.

解答: 解: (1)当 a=1 时, 令 F(x)=0 得,当 x≥1 时,x ﹣x=0,x=1(x=0 舍去)
2



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当 x<1 时,x +x﹣2=0,x=﹣2(x=1 舍去) 所以当 a=1 时,F(x)的零点为 1,﹣2, (2)方程|f(x)|=g(x) ,即|x ﹣1|=|x﹣a|, 2 2 变形得(x +x﹣a﹣1) (x ﹣x+a﹣1)=0, 2 从而欲使原方程有三个不同的解,即要求方程 x +x﹣a﹣1=0…(1) 2 与 x ﹣x+a﹣1=0…(2) 满足下列情形之一: ( I)一个有等根,另一个有两不等根,且三根不等 ( II)方程(1) 、 (2)均有两不等根且由一根相同; 对情形( I) :若方程(1)有等根,则△ =1+4(a+1)=0 解得 合; 若方程(2)有等根,则△ =1﹣4(a﹣1)=0 解得 对情形(I I) :设 x0 是公共根,则 解得 x0=a 代入(1)得 a=±1, a=1 代入|f(x)|=g(x)检验得三个解为﹣2、0、1 符合 a=﹣1 代入|f(x)|=g(x)检验得三个解为 2、0、﹣1 符合 故|f(x)|=g(x)有三个不同的解的值为
2 2

2

代入方程(2)检验符

代入方程(1)检验符合; ,

或 a=±1.

(3)因为 G(x)=f(x)+g(x)=x ﹣1+|x﹣a|=



①当

时,G(x)在

上递减,在

上递增,

故 G(x)在[﹣2,2]上最小值为 ②当 时 G(x)=x ﹣x﹣1+a,在
2

上递减,在

上递增,

故 G(x)在[﹣2,2]上最小值为 ③当 时,G(x)在[﹣2,a]上递减,当 x∈[a,2]时递增,

故此时 G(x)在[﹣2,2]上的最小值为

综上所述:

点评: 本题综合考查了解决复杂函数最值,单调性,函数解析式等问题,关键是分类讨论 求解,充分考查了学生解题的条理性,思维的逻辑严密性.
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