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几何第07讲 几何不等式(1)


第七讲

几何不等式(1)

几何问题中出现的不等式称为几何不等式.解数学竞赛中出现的几何不等 式, 需要熟悉几何中有关的基本不等式和常用的定理,还要掌握代数方法和三角 方法. 1.有关证明线段不等的公理和定理 (1) 在联结两点的所有线中,线段最短. (2) 在同一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (3) 定点

P 到定直线的最短距离,是从 P 向定直线所作的垂线段的长. (4) 在两个三角形中,如果有两组对应边分别相等,那么夹角大的所对的第三边 也大. (5) 托勒密不等式:在四边形 ABCD 中,有 AB· CD+AD·BC≥AC·BD.当且仅当 ABCD 是圆内接四边形时等号成立. (6) 欧拉定理,欧拉不等式 若△ ABC 的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,两圆心间的距离为 d,则 d= R( R ? 2r ) ,当且仅当△ ABC 为正三角形时,d=0. R≥2r (7) 埃德斯——莫德尔不等式 设 P 为△ ABC 内任意一点,Ra, Rb, Rc 分别表示 P 到顶点 A、B、C 的距离, da, db, dc 分别表示 P 到三边 BC,CA,AB 的距离,则 Ra+ Rb+ Rc≥2(da+ db+ dc) (8) 费尔马点 在 △ ABC 中, 使 PA+PB+PC 为 最小 的平 面上的 点成 为费尔 马 点,当 ∠BAC≥120°时,A 点即为费尔马点,当△ ABC 内任一内角均小于 120° 时,则与 三边张角均为 120° 时的 P 点即为费尔马点. 2.有关证明角不等的定理 (1)三角形的任何一个外角大于和它不相邻的任意一个内角. (2)在同一个三角形中,大边对大角,小边对小角,反之亦然. 3.圆中有关不等量的知识 (1)在同圆或等圆中,圆心角(锐角)大则所对的弧大、弦大、弦心距小. (2)过圆内一定点的弦中,以此点为中点的弦最小. (3)若 A,B,C 为圆上的点,P 为圆外的点,Q 为圆内的点,且 P,C,Q 都在直 线 AB 的同侧,则∠AQB >∠ACB >∠APB, 4. 有关面积的几何不等式 (1) 外 森 比 克 不 等 式 : 设 △ ABC 的 边 长 和 面 积 分 别 为 a, b, c 和 S , 则 a2+b2+c2 ? 4
3S

,当且仅当△ ABC 为正三角形时等号成立.

(2) 等周定理:周长一定的三角形中,以正三角形的面积最大;周长一定的矩形 中,以正方形的面积最大. 5.几何不等式的证明有时还要用到代数知识(如平均不等式等)和三角知识.

例 1. (1995 IMO) 凸六边形 ABCDEF, 满足 AB= BC= CD, DE=EF=FA, ∠BCD=∠EFA=60? 设 . G 和 H 是这六边形内部的两点,使得∠AGB=∠DHE= 120? . 试证:AG+ GB+ GH+ DH+ HE≥CF.

例 2.

已知正方形 ABCD 内部一点 E,并且 E 到三个顶点 A,B,C 的距离之和的

最小值为 2 ? 6 ,求此正方形的边长。

例 3. 直线 l 上有 4 点,依次记为 A,B,C,D,求证:对 l 外任意一点 E,有 AE+DE+|AB-CD|>BE+CE.

例 4. 曲线 L 将正三角形 ABC 分为两个等积的部分, 求证: 它的长 l ? (a 为正三角形 ABC 的边长) 。

?a
24 3

例 5.两个等边三角形内接于半径为 r 的圆,设 K 为三角形重叠处的面积, 求证: 2k ?
3r 2

C R O A D P E B Q

略证 如图, 设△ ABC 和△ PQR 为⊙O 的两个内接正三角 形,其中 AB 与 RP、QP 分别交于 D、E,由旋转对称性,整 个图形对称于直径 OD、OE,可知,K=S△ ABC-3S△ PDE 当△ PDE 的面积最大时,K 达到最小值,而 PD=DA, PE=BE,故△ PDE 有固定周长 AB (AB=

3r ),由等周定理可知,当△

PDE 为正

三角形时有最大面积,此时 PE=ED=PD= 1 AB ?
3

3 r 3

。 .即 2k ?
3r 2 。

∴S△ PDE= 1 S△ ABC,从而 k≥S△ ABC(1- 3 )= 2 (
9 9

3

3r )2

3 3 2 ? r 4 2

例 6. (1998 年,第 39 届 IMO 中国国家队选拔考试第 4 题) 锐角△ABC 中,H 是垂心,D 是外心,I 是内心,已知∠C>∠B>∠A.求证:I 在△BOH 的内部.

例 7 (1998-IMO 改编) 设 I 为△ABC 的内心,K,L,M 分别为△ ABC 的内切圆在 BC,CA,AB 上的切点.过 B 且与 MK 平行的直线分别与直线 LM 及 LK 交于 R 及 S 点.J 1 在 BI 上.证明:∠RJS 是锐角当且仅当 BJ ? ( AB ? BC ? AC ). 2

例 8.(1999.IMO 预选题) 已知 M 是△ ABC 内任意一点,证明:min{ MA,MB,MC}+MA+MB+MC < AB+AC+BC.

课外练习题
1.在△ ABC 中,M 为 BC 边的中点,∠B=2∠C,∠C 的平分线交 AM 于 D。 证明:∠MDC≤45°。 1.证明:设∠B 的平分线交 AC 于 E,易证 EM⊥BC 作 EF⊥AB 于 F,则 有 EF=EM, ∴AE≥EF=EM,从而∠EMA≥∠EAM,即 90° -∠AMB≥∠EAM。又 2∠MDC=2(∠MAC+∠ACD)=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB, ∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC,∴∠MDC≤45°。

ANB 上异与 N 的任一 2.设 NS 是圆 O 的直径,弦 AB⊥NS 于 M,P 为弧 ? 点,PS 交 AB 于 R,PM 的延长线交圆 O 于 Q,求证:RS>MQ。

2.证明:连结 NQ 交 AB 于 C,连结 SC、SQ。易知 C、Q、S、M 四点共 圆, CS 是该圆的直径, 且 于是 CS>MQ。 再证 Rt△ SMC≌Rt△ SMR, 从而 CS=RS, 故有 RS>MQ.

3.在△ ABC 中,设∠A,∠B,∠C 的平分线交外接圆于 P、Q、R。 证明:AP+BQ+CR>BC+CA+AB。http://www.028aide.com http://www.17kdy.com 3.证明:设 的内心为 I,由 IA+IB>AB,IB+IC>BC, IC+IA>CA ? 2(IA+IB+IC)>AB+BC+CA 即 2(AP-IP+BQ-IQ+CR-IR)> 1 ∴ AP+BQ+CR> ( AB+BC+CA)+IP+IQ+IR (1) 2 连 AR,∵∠AIR=∠IAR,∴IR=AR,又 AR=BR, 1 1 1 1 ∴ IR= (AR+BR)> AB, 同理 IP> BC, IQ> CA 2 2 2 2 1 ∴ IP+IQ+IR> (AB+BC+CA) (2) 2 由(1)、(2)即得 AP+BQ+CR>AB+BC+CA。

4.过△ ABC 内一点 O 引三边的平行线,DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点 D、 E、 G、 都在△ ABC 的边上, 表示六边形 DGHEFI 的面积, 表示△ ABC F、 I 的面积。 2 求证: S1 ? S2 。 3 4.证明:如图 8。 设 三边长分别为 a、b、c,IF=x, EH=y,DG=z,则依题意有△ OHE∽△BAC, y OE CF z BI (易知 OE=CF)同理 ? , ? ? b a a c a x y z IF ? CF ? BI 所以, ? ? ? ?1 a b c a x y z x2 y 2 z 2 ( ?1 ? ?1 ? ?1) 2 ? 3( 2 ? 2 ? 2 ) ,从而 由柯西不等式 a b c a b c

5.求证:△ ABC 的内心 I 到各顶点的距离之和不小于重心 G 到各边距离之 和的 2 倍。
ha h h , , r2 ? b , r3 ? c , 由 ha ? AI ? r , hb ? BI ? r , hc ? CI ? r(r 3 3 3 1 1 为内切圆半径),得 r1 ? r2 ? r3 ? (ha ? hb ? hc ) ? ( AI ? BI ? CI ) ? r 3 3 1 1 1 又 r ? (3r ) ? ? ( AI ? BI ? CI ) (艾尔多斯——莫德尔不等式)。故 3 3 2

5. G 到各边距离为 r1 ? 设

即 AI+BI+CI≥2(r1+r2+r3)

6.凸四边形 ABCD 具有性质:(1)AB=AD+BC,(2)在其内部有点 P, 1 1 1 P 点到 CD 的距离为 h, 并使 AP=h+AD,BP=h+BC, 求证: ? 。 ? h AD BC 6.分别以 A、B、P 为圆心,AD、BC、h 为半径作圆,三圆两两外切,EF 为⊙A、⊙B 外公切线,⊙P 与 EF 相切时 h 最大,此时设 AD=r,BC=R,⊙P 半径 为 m,则 化简得 ,即 由 知命题成立。

7. H 为锐角△ ABC 的垂心, 1, 1, 1, 设 A B C 分别为 AH, BH, CH 与△ ABC 外接圆的交点。 求证:HA1+HB1+HC1≤HA+HB+HC。其中等号当且仅当△ ABC 为正三角形 时成立。

7.由外接圆心 O 向 BC 作垂线 OD 于 D, 则 AH=2· OD,∠DOC=∠A,故 HA=2OD=2RcosA。同理 HB=2RcosB,HC=2RcosC,由 BC 是 HA1 的垂直平分线,∠BA1A=∠C,得 HA1=4RcosBcosC,同 理 HB1=4RcoABcosC, HC1=4RcosBcosA,于是原不等式等价于

∴2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 2 ? (cos A ? cos B ? cos C )2 ? cos A ? cos B ? cos C 3 故 HA1+HB1+HC1≤HA+HB+HC。

8.一凸四边形内接于半径为 1 的圆。证明:四边形周长与其对角线之和的 差值 u,满足 0<u<2。 8.证明: 如图,引进有关边长、对角线、角的记号,则 a+d>e,d+c>f,c+b>e,b+a>f,四式相加得 a+b+c+d>e+f,即 u=(a+b+c+d)-(e+f)>0.又四边形至少有 一角 ,不妨设 且 ,则 ,同样可设 ,

由圆的半径为 1 及正弦定理得 . 于是 u<2 等价于证明: 下面证明更强的结论:

由于

故结论成立。

9.已知过锐角△ ABC 顶点 A、 C 的垂线分别交对边于 D、 F, B、 E、 AB>AC, 直线 EF 交 BC 于 P,过点 D 且平行于 EF 的直线分别交 AC、AB 于 Q、R。N 是 BC 上的一点,且∠NQP+∠NRP<180° ,求证:BN>CN。 9.取 BC 中点 M,只需证∠MRP+∠MQP=180° ,即 R、M、Q、P 四点共圆。

如图, 连结 ED, 易知∠PEC=∠DEC, ∠DEB=∠FEB, 有



结 ME。 ∠EMC=180° -2∠ACB,∠EDP=180° -∠ACB-∠CED。 ∴∠MED=∠ACB-∠CED=∠EPC ∴△MDE∽△MEP,从而 ME2=MD· MP=MC2 又∵RQ∥FP, ∴∠BRD=∠BFE=∠DCQ ∴B、R、C、Q 四点共圆。 RD· DQ=BD· CD=(BM+MD) (CM-MD)=MC2-MD2=MD· MP-MD2=MD· PD ∴R、M、Q、P 四点共圆。 即∠MRP+∠MQP=180° ,当 N∈BC,且∠NQP+∠NRP<180° 时,N 必在 M 右侧,故 BN>CN。


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