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《函数的单调性与导数》课件2


函数的单调性与导数

函数单调性
定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域 I

上的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时:
(1)都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数; (2)都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.

探究
下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数的图 象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数的 图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间 的运动状态有什么区别? v h
O

a

b

t

t
O

a
(1)
2

b
(2)

h' (t ) ? v(t ) ? ?9.8t ? 6.5 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正 负的关系. y
y=x

y

y=

x2

y
y = x3 O

y

y?

1 x

O

x
O

x

O

x

x

函数的单调性与导数间的关系
在某个区间(a,b)内,如果 f ?( x ) ? 0,那么函数y =f(x)在这个区间

内单调递增; 如果 f ?( x ) ? 0 ,那么函数y =f(x) 在这个区间内单调
递减. 如果在某个区间内恒有 f '( x ) ? 0,那么f(x)为常数函数.
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 平均变化率 的几何意义是经过( x1 , f ( x1 )),( x2 , f ( x2 )) x2 ? x1 两点直线的斜率,由函 数的单调性定义可知, 当区间( x1 , x2 )的长度 很小时,平均变化率可 以近似表示函数y ? f ( x )在这个区间内的单 调性.

例1.已知导函数 f ?( x )的下列信息:
f ?( x) ? 0; 当1 < x < 4 时,

当 x > 4 , 或 x < 1时,f ?( x) ? 0;
f ?( x ) ? 0. 当 x = 4 , 或 x = 1时,

试画出函数 f (x)的图象的大致形状.
y

O

1

4

x

例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x 3 ? 3 x;

(2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3;

(3) f ( x ) ? sinx ? x, x ? (0, ? );
(4) f ( x ) ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 24x ? 1.

(5) f ( x ) ? 3e x ? 3 x.

当遇到三次或三次以上的函数,或图象很难画出的函数求单调

性问题时,应考虑导数法.
求可导函数 f (x)单调区间的步骤:

练习
1.讨论二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的单调区间.
2.函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数(
π 3π 3π 5π A. ( , ) B. (π,2π) C. ( , ) D. (2π,3π) 2 2 2 2

)

导数与单调性的关系在图象上的应用
例3.如图, 水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面

四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度
h与时间t 的函数关系图象.

h

h

h

h

O

(A)

t

O (B)

t

O
(C)

t

O
(D)

t

一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那 么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较 “陡峭”(向上或向下); 反之,函数的图象就“平缓”一些.

例4.(1)函数 f (x)的图象如图所示, 画出导函数图象的大致形状.

(2)函数y ? f '( x ) 的图象如左图所示,则 y=f (x)的图象可能的是(
y y

)

y ? f ( x)

y

y ? f ( x)

y ? f '( x )

o
x y

1 (A)

2

x

o
y

1 (B)

2

x

o

2

y ? f ( x)

y ? f ( x)

o 1
(C)

2

x

o 1 2
(D )

x

(3)函数y=f (x)的图象如下图所示,则 y ? f '( x )的图象可能的是(

)

(4)以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,

其中一定不正确的序号是( )

A.①、②

B.①、③

C.③、④

D.①、④

判断零点所在区间
例5.(1)函数 y=ex+x-2的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

1 ( 2)求证 : 方程 x ? sin x ? 0 只有一个根 . 2
1 ( 3)已知 x0是函数 f ( x ) ? 2 ? 的一个零点,若 x1 ? (1, x0 ), 1? x x2 ? ( x0 ,? ?),则 ( )
x

A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C . f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

含参问题
例6.(1)若函数f (x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k >0)的单调递减区间为 (0,4),求k的值. (2)若函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增,求a的取值范围. (3)若函数 f (x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,求实数m的取 值范围.
1 (4)已知函数 f ( x ) ? 2ax ? 2 , x ? ?0,1? ,若 f (x)在(0,1]上是增函 x

数,求a的取值范围.

注意:

函数 f (x)在区间(a, b)内:
f ?( x ) ? 0 ? f(x)在(a, b)内单调递增 f ?( x ) ? 0 ? f(x)在(a, b)内单调递减

f(x)在(a, b)内单调递增 ? f ?( x ) ? 0

f(x)在(a, b)内单调递减 ? f ?( x ) ? 0

例7.(1)讨论函数 f (x)=(a+1)lnx+ax2+1的单调性. (2)讨论函数 f ( x ) ? x ?
2 ? a( 2 ? ln x ) (a ? 0) 的单调性. x

作业
k 1.求函数 f ( x ) ? x ? ( k ? 0)的单调区间. x

2.求函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x的单调区间.
ln x 3.证明:函数 f(x)= 在区间(0,2)上是单调递增函数. x

4.已知函数f(x)=ax? +3x? -x+1在R上是减函数,求a的取值范围.

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