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辽宁省葫芦岛市省五校协作体2014-2015学年高一数学下学期期中试题


2014-2015 学年度下学期省五校高一期中考试 数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. sin?+cos? 1.已知点 P(-3,4)在角?的终边上,则 的值为 3sin?+2cos? 1 A.-6 1 B.6 7 C.18 D.-1 ( ) ( )

2.

已知向量→ a =(2,1),→ b =(x,-2),若→ a ∥→ b ,则→ a +→ b 等于 A.(-2,-1) B. (2,1) C.(3,-1) D.(-3,1)

π 3.下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间(2,π)上为减函数的是 ( A.y=sin2x B.y=2|cosx| x C.y=cos2 D.y=tan(-x) ( D.第四象限角

)

cos? 4.若 sin ? tan ?<0,且 <0,则角?是 tan? A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三角限角

)

π 5.已知?为锐角,且 2tan(π-?)-3cos(2+β)+5=0,tan(π+?)+6sin(π+β)=1,则 sin ?的 值是( 3 5 A. 5 ) 3 7 B. 7 3 10 C. 10 1 D.3 )

→=3,|→ 6.设向量→ a ,→ b 满足|→ a |=2,→ a ·b a +→ b |=2 2,则|→ b |等于( 2 1 A.2 B.1 3 C.2 D.2

7.记 a=sin(cos2015°),b=sin(sin2015°),c=cos(sin2015°),d=cos(cos201 5°),则 a、b、c、d 中最大的是 A.a B.b C.c D.d

(

)

2 π 3 8.给出下列命题:①函数 y=cos(3x+2)是奇函数;②存在实数?,使得 sin ?+cos ?=2;③ π 5π 若?、?是第一象限角且?<?,则 tan ?<tan?;④x=8是函数 y=sin(2x+ 4 )的一条对称轴 π π 方程;⑤函数 y= sin(2x+ 3 )的图象关于点(12, 0)成中心对称图形.其中正确命题的序号为 ( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.④⑤ 9.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)图象的一部分(如图所示),则 ω 与 φ 的值分别为 ( )

-1-

11 5π 2π A.10,- 6 B.1,- 3

7 π 4 π C.10,-6 D.5,-3

π π 10.函数 y=tan(4x-2)(0<x<4)的图象如图所示,A 为图象与 x 轴的交点,过点 A 的直线 l 与函 数的图象交于 → → → B、C 两点,则(OB+OC)· OA等于 ( )

A.-8 B.-4 C.4 D.8 11.为了得到函数 y=sin2x+cos2x 的图象,只需把函数 y=sin2x-cos2x 的图象 ( ) π A.向左平移4个单位长度 π C.向左平移2个单位长度 π B.向右平移4个单位长度 π D.向右平移2个单位长度

12.如图,BC 是单位圆 A 的一条直径,F 是线段 AB 上的点, → =2FA → ,若 DE 是圆 A 中绕圆心 A 运动的一条直径,则 且BF →· →的值是 FD FE 3 A.-4 8 B.-9 1 C.-4 ( D.不确定 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上. π 13.已知关于 x 的方程 2sin2x- 3sin2x+m-1=0 在 x∈(2,π)上有两个不同的实数根,则 m 的取值范围是________.

tan 20? ? tan 40? ? tan120? tan 20? tan 40? 14.求 的值为___________.
15.使不等式 sin2x+acosx+a2≥1+cosx 对一切 x∈R 恒成立的负数 a 的取值范围是__. π π 1 1 16.已知θ ∈( 2 ,π ), + =2 2,,则 sin(2θ + 3 )= sinθ cosθ



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知 0<?<?,tan ?=-2. π (1)求 sin(?+ 6 )的值; π 2cos( 2 +?)-cos(π -?) (2)求 的值; π sin( 2 -?)-3sin(π +?) (3)求 2sin2 ?-sin ? cos ?+cos2 ?的值
-2-

18.(本小题满分 12 分) 已知 A(3,0),B(0,3),C(cos ?,sin ?). π → → (1)若AC· BC=-1,求 sin(?+4)的值; → → → → (2)O 为坐标原点,若|OA-OC|= 13,且?∈(0,π),求OB与OC的夹角.

19.(本小题满分 12 分) 1 1 π π 1 已知函数 f(x)=2sin2xsinφ+cos2xcosφ-2sin(2+φ)(0<φ<π),其图象过点(6,2). (1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)的图象, π 求函数 g(x)在[0,4]上的最大值和最小值.

20.(本小题满分 12 分) 已知两个不共线的向量→ a ,→ b 的夹角为 θ,且|→ a |=3,|→ b |=1,x 为正实数. (1)若→ a +2→ b 与→ a -4→ b 垂直,求 tanθ; π (2)若 θ=6,求|x→ a -→ b |的最小值及对应的 x 值,并指出向量→ a 与 x→ a -→ b 的位置关系.

21.(本小题满分 12 分) π π 1 已知函数 f(x)=cos(3+x)cos(3-x)-sinxcosx+4. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间.

-3-

22.(本小题满分 12 分) 3π 已知向量→ m =(1,1),向量→ n 与向量→ m 的夹角为 4 ,且→ m ·→ n =?1 (1)求向量→ n;

? π x (2)若向量→ n 与向量→ q =(1,0)的夹角为 2 ,而向量→ p =(cosx,2cos2( - )),其
3 2 2π 中 0<x< 3 ,试求|→ n +→ p |的取值范围.

-4-

2014-2015 学年度下学期省五校高一期中考试 数学试题参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.B 7.C 8.C 9.A 10.D 11.A 12.B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.-2<m<-1 14. ? 3 15. a ? ?2 1 16.2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(本小题满分 10 分)

18 .(本小题满分 12 分) → → 解:(1)AC=(cos ?-3,sin ?),BC=(cos ?,sin ?-3), 2分

→ → 所以AC· BC=(cos ?-3)· cos ?+sin ? (sin ?-3)=-1, 得 sin2 ?+cos2 ?-3(sin ?+cos ?)=-1, 4 分 π 2 所以 sin(?+4)= 3 . 6分

1 → → (2)因为|OA-OC|= 13,所以(3-cos ?)2+sin2 ?=13,所以 cos ?=-2, 2π 3 因为?∈(0,π),所以?= 3 ,sin ?= 2 ,8 分 1 3 → → 3 3 → → 所以 C(-2, 2 ),所以OB· OC= 2 ,设OB与OC的夹角为 θ, → → OB· OC 3 则 cosθ= → → = 2 ,10 分 |OB||OC| π 因为 θ∈(0,π),所以 θ=6为所求.12 分 19.(本小题满分 12 分) 1+cos2x 1 1 π 1 解:(1)因为 f(x)=2sin2xsinφ+cos2xcosφ-2sin(2+φ)(0<φ<π),所以 f(x)=2sin2xsinφ+ 2 1 1 1 1 cosφ-2cosφ=2sin2xsinφ+2cos2xcosφ=2cos(2x-φ).3 分

-5-

π 1 1 1 π π 2π π 因为该函数的图象过点(6,2),则2=2cos(3-φ),即 cos(3-φ)=1.因为 0<φ<π,所以- 3 <3- π π π φ<3,于是3-φ=0,φ=3. 6 分

20 .(本小题满分 12 分) →-8→ 解:(1)由题意得,(→ a +2 → b )· (→ a -4→ b )=0.即→ a 2-2→ a ·b b 2=0,得 32-2×3×1×cosθ-8×12 1 π =0,得 cosθ=6,又 θ∈(0,π),故 θ∈(0,2),因此,sinθ= 1-cos2θ= sinθ tanθ=cosθ= 35. (2)|x→ a -→ b |= = = 6分 1 35 1-(6)2= 6 ,

(x→ a -→ b )2

→+→ x2→ a 2-2x→ a ·b b2 π 9x2-2x×3×1×cos6+1= 3 1 9(x- 6 )2+4,9 分

3 1 →= 3×9-3×1×cosπ= 故当 x= 6 时,|x→ a -→ b |取得最小值2,此时,→ a· (x→ a -→ b )=x→ a 2-→ a ·b 6 6 0,故向量→ a 与 x→ a -→ b 垂直.12 分 21. (本小题满分 12 分) π π 1 1 1 3 1 3 1 1 1 解:(1)∵f(x)=cos(3 +x)cos( 3 -x)-2sin2x+4=(2cosx- 2 sinx)(2cosx+ 2 sinx)-2sin2x +4=4 3 1 1 1+cos2x 3-3cos2x 1 1 1 2 cos2x -4 sin2x - 2sin2x + 4 = - - sin2x + = (cos2x - sin2x) = 8 8 2 4 2 2 cos(2x + π 4 ), 6 分 2 ∴函数 f(x)的最小正周期 T=π,函数 f(x)的最大值为 2 . π 5 π (2)2kπ-π≤2x+4≤2kπ,k∈Z.得 kπ-8π≤x≤kπ-8,k∈Z, 8分

-6-

5π π ∴函数 f(x)的单调递增区间为*kπ- 8 ,kπ-8],k∈Z. 22.(本小题满分 12 分) 解: (1)令→ n =(a,b),,则由→ m ·→ n =?1 3π 由→ n 与→ m 的夹角为 4 ,得 a2+b2=1 ②

12 分

得 a+b=-1 ① 2 分 4分

?a ? ?1 ? b?0 由①②解得 ?

?a ? 0, ? b ? ?1 ? n ? (?1,0)或n ? (0,?1) 或?

6分

-7-


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