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2014届高三数学第二轮复习专题【新定义】


第二轮复习专题

“新定义”型问题
所谓新定义型问题试题指给出一个考生从未接触过的新定义,提出新问题,要求学生 认真地阅读,现学现用,通过实验、探究、猜想、分析来解决问题。目的考查考生的阅读理 解能力、接受新知识的能力、应变能力和创新能力,培养学生自主学习、主动探究的学习方 式. “给什么,用什么”是新定义型问题解题的基本思路,正确解题的关键是读懂题

意, 即理解问题的实质,运用已掌握的知识和方法理解“新定义”,做到“化生为熟”,现学现 用。 一、教学目标: 1、在“新定义”的问题情境中,学生能通过阅读题意,汲取有效信息,将问题转化为“熟 悉”问题; 2、在新问题的转化过程中,尝试运用分析、演算,归纳、猜想,类比或论证等方法,培养 学生自主学习的能力。 二、教学重点和难点: 通过分析题意,做到“化生为熟” 三、教学过程: 类型一:定义一种新数 所谓定义一种新数是指对满足一定条件的数给出一个新的名词,即新概念,提出新问 题,然后运用新定义来解决。 记 Sn = a1 ? a2 ? ? ? an ,令 Tn

例1

?

S1 ? S2 ? n

? Sn

,称 Tn 为 a1 , a2 ,??, an 这列数

的“理想数”。已知 a1 , a2 ,……, a500 的“理想数”为 2004,那么 8, a1 , a2 ,……, a500 的“理想数”为 A.2004 B.2006 C.2008 D.2010 之间的关系找到突

【分析】解题的关键是抓住 Sn = a1 ? a2 ? ? ? an 与 Tn

?

S1 ? S2 ? n

? Sn

破口,然后根据 a1 , a2 ,……, a500 的“理想数”为 2004 这一条件求出一组新数的理想数。 选 C。 例2 已知集合 M ? ( x, y) y ? f ( x) ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y 2 ) ? M ,使

?

?

得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 成立,则称集合 M 是“ ? 集合”. 给出下列 4 个集合: ① M ? ?( x, y ) y ?

? ?

1? ? x?

② M ? ( x, y) y ? e ? 2
x

?

?

③ M ? ( x, y) y ? cos x

?

?

④ M ? ( x, y) y ? ln x

?

?


其中所有“ ? 集合”的序号是????????????????????( (A)②③ . (B)③④ . (C)①②④. (D)①③④ 选A 【分析】解题的关键是将 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 转化为有几何意义的 OA ? OB

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例 3

定义在 ? 0, ?? ? 上的函数 f ? x ? ,如果对任意 x ? ? 0, ?? ? ,恒有 f ? kx? ? kf ? x ?

* ( k ? 2 , k ? N )成立,则称 f ? x ? 为 k 阶缩放函数.若函数 f ? x ? 为二阶缩放函数,且当

x ? ?1, 2? 时, f ? x ? ? 2 x ? x 2 ,求证:函数 y ? f ? x ? ? x 在 ?1, ?? ? 上无零点;
【分析】本题的关键是能否利用二阶缩放函数的定义得到函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的解析式。 解:当 x ? (2 i ,2 i ?1 ] ( i ? N )时,

x ? ?1, 2? ,依题意可得: 2i

? x? ? x ? f ? x ? ? 2 f ? ? ? 22 f ? 2 ? ? ?2? ?2 ?
方程 f ( x) ? x ? 0 ?

x ? x? ? x? ? 2 f ? i ? ? 2i 2 ? i ? ? i ? ? 2i ?1 x ? x 2 2 ?2 ? ?2 ?
i

2

2i ?1 x ? x2 ? x ? x ? 0 或 x ? 2i , 0 与 2 i 均不属于 (2i ,2i ?1 ]

i i ?1 当 x? 2 ,2 ? ? ( i ? N )时,方程 f ? x ? ? x ? 0 无实数解。 0 1 注意到 ?1, ?? ? ? 2 , 2 ? ?

?

?

?2 , 2
1

2

? ?

?2 , 2
i

i ?1

? ?

所以函数 y ? f ? x ? ? x 在 ?1, ?? ? 上无零点。 例 4 定义: 对于任意 n ? N , 满足条件
*

的无穷数列 ?an ? 称为 T 数列.
2
*

an ? an ? 2 ? an ?1 且 an ? M ( M 是与 n 无关的常数) 2

(1)若 an ? ?n ? 9n ( n ? N ),证明:数列 ?an ? 是 T 数列;

?3? (2) 设数列 ?bn ? 的通项为 bn ? 50n ? ? ? , 且数列 ?bn ? 是 T 数列, 求常数 M 的取值范围; ?2? p ﹡(3)设数列 cn ? ? 1 ( n ? N* , p ? 1 ),问数列 ?cn ? 是否是 T 数列?请说明理由. n 解: (1) 由 an ? ?n2 ? 9n ,得:

n

an ? an?2 ? 2an?1 ? ?n 2 ? 9n ? (n ? 2) 2 ? 9(n ? 2) ? 2(n ? 1) 2 ? 18(n ? 1) ? ?2 a ? an ? 2 ? an ?1 . 所以数列 ?an ? 满足 n 2
9 ? 81 ? ? ,当 n=4 或 5 时, an 取得最大值 20,即 an ≤20. 2? 4 综上,数列 ?an ? 是 T 数列.
又 an ? ? ? n ?

? ?

2

?3? (2)因为 bn?1 ? bn ? 50(n ? 1) ? ? ? ?2?
n

n ?1

1?3? ? 3? ? 50n ? ? ? ? 50 ? ? ? , 2? 2? ? 2?

n

n

1?3? 所以当 50 ? ? ? ? 0 即 n ? 11 时, bn?1 ? bn ? 0 ,此时数列 ?bn ? 单调递增. 2? 2? 当 n ? 12 时, bn?1 ? bn ? 0 ,此时数列 ?bn ? 单调递减;故数列 ?bn ? 的最大项是 b12 ,

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12

所以, M 的取值范围是 M ? 600 ? ? ? .

?3? ?2?

p p , c3 ? 1 ? , 2 3 c ? cn?2 5p 6 6 ? 2 ? 0 得 p ? ,即当 1 ? p ? 时符合 n ? c n ?1 条件. 由 c1 ? c3 ? 2c2 ? 3 5 5 2 p p 若 n ? 2 ,则 ? 1 ,此时 cn ? 1 ? , n n p p p ?2 p ) ? 2(1 ? )? ?0, 于是 cn ? cn ? 2 ? 2cn ?1 ? (1 ? ) ? (1 ? n n?2 n ? 1 n(n ? 1)(n ? 2) 6 p * 又对于 n ? N 有 cn ? ? 1 ? 1 ,所以当 1 ? p ? 时数列 ?cn ? 是 T 数列; 5 n p p ②当 2 ? p ? 3 时, 取 n ? 1 则: c1 ? p ? 1, c2 ? ? 1, c3 ? 1 ? , 2 3 p 由 c1 ? c3 ? 2c 2 ? 2 ? ? 0 ,所以 2 ? p ? 3 时数列 ?cn ? 不是 T 数列. 3 p p ③当 p ? 3 时, 取 n ? 1 则 c1 ? p ? 1, c2 ? ? 1, c3 ? ? 1, 2 3 5p ? 0 ,所以 p ? 3 时数列 ?cn ? 不是 T 数列. 由 c1 ? c3 ? 2c2 ? 6 6 6 综上:当 1 ? p ? 时数列 ?cn ? 是 T 数列;当 p ? 时数列 ?cn ? 不是 T 数列. 5 5
(3)①当 1 ? p ? 2 时, 当 n ? 1 时 c1 ? p ? 1, c2 ? 1 ? 类型之二 定义一种新的法则 所谓定义新法则是指在原有运算法则和运算律的基础上,规定一种新的运算法则,提出新 的问题,并要求运用新的法则解决所提出的问题。解题的关键是正确理解新法则的涵义。 例 5 定义新运算“⊕”如下:当 a≥b 时,a⊕b=ab+b,当 a<b 时,a⊕b=ab-a;若(2x-1) ⊕(x+2)=0,则 x= . 【分析】根据新运算要求代入转化为方程问题。 解 当 2x-1> x+2,即 x>3 时, (2x-1)·(x+2)+ (x+2)=0,解得 x=-2 或 x=1,不题意,均舍去. 当 2x-1<x+2,即 x<3 时, (2x-1)·(x+2)- (2x-1)=0, 解得 x=-1 或 x= x=-1 或 x=

1 ,均合题意.所以 2

1 . 2

例 6 已知函数 f(x) =2x+1,x∈R.规定:给定一个实数 x0,赋值 x1= f(x0),若 x1≤255,则 继续赋值 x2= f(x1) …,以此类推,若 x n-1≤255,则 xn= f(xn-1),否则停止赋值,如果得到 xn 后停止,则称赋值了 n 次(n∈N *).已知赋值 k 次后该过程停止,则 x0 的取值范围是 ( ) (A) (2k-9 ,2 k-8] (B) (2 k-8 -1, 2k-9-1] (C) (28-k -1, 29-k-1] (D) (27-k -1, 28-k-1] 答案:C.

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例 7 对于任意实数 x , x 表示不小于 x 的最小整数,如 1.2 ? 2, ?0.2 ? 0 .定义在 R 上的函数 f ( x) ? x ? 2x ,若集合 A ? y y ? f ( x ), ?1 ? x ? 0 ,则集合 A 中所有元素 的和为 ▲ 答案:—4 例 8 对于数列 { An } : A 1 , A2 , A 3,

?

?

, An ,若不改变 A1 ,仅改变 A2 , A3 ,

, An 中部分项的符

号,得到的新数列 {an } 称为数列 { An } 的一个生成数列.如仅改变数列 1, 2,3, 4,5 的第二、三 项的符号可以得到一个生成数列 1, ?2, ?3, 4,5 . 已知数列 {an } 为数列 { ⑴写出 S3 的所有可能值; ⑵若生成数列 {an } 满足: S3n ?
?

1 }(n ? N ? ) 的生成数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和. 2n 1 1 (1 ? n ) ,求 {an } 的通项公式; 7 8

﹡⑶证明:对于给定的 n ? N , Sn 的所有可能值组成的集合为:

2m ? 1 , m ? N ? , m ? 2n ?1} 2n 1 1 ? 解: (1)由已知, a1 ? , | an |? n (n ? N , n ? 2) , 2 2 1 1 ∴ a2 ? ? , a3 ? ? ??????????????2 分 4 8 1 1 1 7 1 1 1 5 1 1 1 3 1 1 1 1 由于 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 1 3 5 7 ∴ S3 可能值为 , , , . ???????4 分 8 8 8 8 {x | x ?
(2)∵ S3n ?

1 1 (1 ? n ) , 7 8

1 1 1 (1 ? ) ? , ???????5 分 7 8 8 1 1 1 1 1 当 n ? 2 时, a3n ? 2 ? a3n ?1 ? a3n ? S3n ? S3n ?3 ? (1 ? n ) ? (1 ? n ?1 ) ? n ??6 分 7 8 7 8 8
当 n ? 1 时, a1 ? a2 ? a3 ? S3 ? ∵ {an } 是 ?

?1? (n ? N ? ) 的生成数列 n ? 2 ? ?
1
3n ? 2

1 ; 2 2 23n 1 1 1 1 1 ? ∴ a3n ? 2 ? a3n ?1 ? a3n ? ? 3n ? 2 ? 3n ?1 ? 3n ? n (?4 ? 2 ? 1) ? n (n ? N ), ??8 分 2 2 2 8 8
∴ a3 n ? 2 ? ? ; a3 n ?1 ? ?
3 n ?1

1

; a3n ? ?

在以上各种组合中, 当且仅当 a3n ? 2 ?

4 2 1 , a3n ?1 ? ? n , a3n ? ? n (n ? N ? ) 时,才成立。?????9 分 n 8 8 8

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? 1 , n ? 3k ? 2 ? ? 2n ,k ? N? ∴ an ? ? 1 ?? , n ? 3k ? 2 ? ? 2n
(3)证法一:用数学归纳法证明:

??????10 分

1 ,命题成立。 ????????????11 分 2 ②假设 n ? k (k ? 1) 时命题成立,即 Sk 所有可能值集合为: 2m ? 1 {x | x ? , m ? N ? , m ? 2k ?1} 2k 2m ? 1 (m ? N ? , m ? 2k ?1 ) 由假设, Sk = ????????????13 分 k 2 2k ?1 Sk ? 1 1 1 1 1 1 1 则当 n ? k ? 1 , Sk ?1 ? ? 2 ? 3 ? ? k ? k ?1 ? Sk ? k ?1 ? 2 2 2 2 2 2 2k ?1 2k ?1 Sk ? 1 2(2m ? 1) ? 1 Sk ?1 ? ? (m ? N ? , m ? 2k ?1 ) ????????????15 分 2k ?1 2k ?1 2 ? (2m ? 1) ? 1 2 ? (2m) ? 1 即 S k ?1 ? 或 Sk ?1 ? (m ? N ? , m ? 2k ?1 ) k ?1 2 2k ?1 2m ? 1 即 S k ?1 ? k ?1 ??17 分 (m ? N ? , m ? 2k ) ∴ n ? k ? 1 时,命题成立 2 2m ? 1 ? , m ? N ? , m ? 2n ?1} 。??18 分 由①②, n ? N , Sn 所有可能值集合为 {x | x ? n 2
① n ? 1 时, S1 ?

证法二:

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? n 共有 2 n ?1 种情形。 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? Sn ? ? 2 ? 3 ? ? n 2 2 2 2 2 2 2 2 n 1 2 ?1 即 n ? Sn ? ????????????12 分 2 2n 2n?1 ? 2n?1 ? 2n?3 ? ? 1 1 x 2n ? 1 ? ? n 的奇数 x 共有 又 Sn ? , 分子必是奇数, 满足条件 2n 2n 2n 2 n ?1 2 个。 ????????????14 分 设数列 {an } 与数列 {bn } 为两个生成数列,数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ?

Tn ,从第二项开始比较两个数列,设第一个不相等的项为第 k 项。 1 由于 | ak |?| bk |? k ,不妨设 ak ? 0, bk ? 0 ,则 2 1 1 1 Sn ? Tn ? (ak ? ak ?1 ? ? an ) ? (bk ? bk ?1 ? ? bn ) ? 2 ? k ? 2 ? ( k ?1 ? k ? 2 ? 2 2 2 1 1 1 1 ? 2 ? k ? 2 ? ( k ? n ) ? n ?1 ? 0 2 2 2 2

?

1 ) 2n

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所以,只有当数列 {an } 与数列 {bn } 的前 n 项完全相同时,才有 Sn ? Tn 。?????16 分

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? n 共有 2 n ?1 种情形,其值各不相同。 2 2 2 2 1 3 5 2n ? 1 n ?1 ∴ Sn 可能值必恰为 n , n , n , , ,共 2 个。 2 2 2 2n 2k ? 1 , k ? N ? , k ? 2n ?1} ??????????18 分 即 Sn 所有可能值集合为 {x | x ? n 2
∴ Sn ?


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