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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第九章 第2讲 排列与组合


第 2 讲 排列与组合

1.排列与排列数公式 (1)排列与排列数 从n个不同元 素中取出 m(m≤n)个元素 (2)排列数公式 n! Am . n =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= (n-m)! (3)排列数的性质 ①An ;②0!=1. n=n! 2.组合与组合数公式 (1)组合与组合数 从n个不同元 合成一组 组 所有不同 素中取出 ― ― → ― ― → 组合数 合 组合的个数 m(m≤n)个元素 (2)组合数公式 Cm n= = n(n-1)(n-2)?(n-m+1) Am n = Am m! m
按照一定的顺序 排成一列

― ― →

排 所有不同 ― ― → 排列数 列 排列的个数

n! . m!(n-m)!
n-m


(3)组合数的性质
m m 1 ①C0 ;③Cm =Cm n=1;②Cn =Cn n +Cn n+1. [做一做] 1.某校一年级有 5 个班,二年级有 7 个班,三年级有 4 个班,分年级举行班与班之间 的篮球单循环赛,共需进行比赛的场数是( ) 2 2 2 2 2 A.C5+C7+C4 B.C2 5C7C4 2 2 C.A2 D.C2 5+A7+A4 16 答案:A 2.用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) A.8 B.24 C.48 D.120 答案:C

1.辨明两个易误点

(1)易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题与 顺序有关,组合问题与顺序无关. (2)计算 Am n 时易错算为 n(n-1)(n-2)?(n-m). 2.排列与组合问题的识别方法 识别方法 排列 若交换某两个元素的位置对结果产生影 响,则是排列问题,即排列问题与选取 元素顺序有关 若交换某两个元素的位置对结果没有影 响,则是组合问题,即组合问题与选取 元素顺序无关

组合

[做一做] 3.(2014· 高考大纲全国卷)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医 生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种 1 解析:选 C.由题意知,选 2 名男医生、1 名女医生的方法有 C2 6C5=75(种). 4.在一展览会上,要展出 5 件艺术作品,其中不同书法作品 2 件、不同绘画作品 2 件、 标志性建筑设计 1 件,在展台上将这 5 件作品排成一排,要求 2 件书法作品必须相邻,2 件 绘画作品不能相邻,则该次展出这 5 件作品不同的摆放方案共有________种.(用数字作答) 解析:将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体,同 1 件建筑设计展品全排列,再将 2 2 2 件不能相邻的绘画作品插空,故共有 A2 2A2A3=24(种)不同的展出方案. 答案:24

考点一__排列应用题__________________________ 3 名男生,4 名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数. (1)选其中 5 人排成一排; (2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人; (3)全体站成一排,男、女各站在一起; (4)全体站成一排,男生不能站在一起; (5)全体站成一排,甲不站排头也不站排尾. [解] (1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排列,有 A5 7=2 520(种)排法. 7 (2)前排 3 人,后排 4 人,相当于排成一排,共有 A7=5 040(种)排法. 3 (3)相邻问题(捆绑法):男生必须站在一起,是男生的全排列,有 A3 种排法;女生必须 4 站在一起,是女生的全排列,有 A4种排法;全体男生、女生各视为一个元素,有 A2 2种排法, 3 4 2 由分步乘法计数原理知,共有 N=A3·A4·A2=288(种). 4 (4)不相邻问题(插空法):先安排女生共有 A4 种排法,男生在 4 个女生隔成的五个空中 3 4 3 安排共有 A5种排法,故 N=A4·A5=1 440(种). (5)先安排甲,从除去排头和排尾的 5 个位中安排甲,有 A1 再安排其他人, 5=5(种)排法; 6 1 6 有 A6=720(种)排法.所以共有 A5·A6=3 600(种)排法.

在本例条件下,求不同的排队方案的方法种数: (1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端. 解:(1)先排甲有 4 种,其余有 A6 6种, 6 故共有 4· A6=2 880(种)排法. (2)先排甲、乙,再排其余 5 人, 5 共有 A2 2·A5=240(种)排法. [规律方法] 求解排列应用题的主要方法 直接法 优先法 捆绑法 插空法 先整体后局 部 定序问题除 法处理 间接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先安排特殊元素或特殊位置 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同 时注意捆绑元素的内部排列 对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再 将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 “小集团”排列问题中先整体后局部 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再 除以定序元素的全排列 正难则反,等价转化的方法

考点二__组合应用题__________________________ 要从 5 名女生,7 名男生中选出 5 名代表,按下列要求,分别有多少种不同的 选法? (1)至少有 1 名女生入选; (2)男生甲和女生乙入选; (3)男生甲、女生乙至少有一个人入选. [解] (1)法一:至少有 1 名女生入选包括以下几种情况: 1 女 4 男,2 女 3 男,3 女 2 男,4 女 1 男,5 女. 由分类加法计数原理知总选法数为 1 4 3 3 2 4 1 5 C5 C7+C2 5C7+C5C7+C5C7+C5=771(种). 法二:“至少有 1 名女生入选”的反面是“全是男代表”可用间接法求解.从 12 名人 5 中任选 5 人有 C5 12种选法,其中全是男代表的选法有 C7种. 5 所以“至少有 1 名女生入选”的选法有 C5 12-C7=771(种). (2)男生甲和女生乙入选,即只要再从除男生甲和女生乙外的 10 人中任选 3 名即可,共 2 3 有 C2C10=120(种)选法. (3)间接法:“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”,即从 其余 10 人中任选 5 人有 C5 10种选法,所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数 5 5 为 C12-C10=540(种). 在本例条件下,求至多有 2 名女生入选的选法种数. 解:至多有 2 名女生入选包括以下几种情况: 0 女 5 男,1 女 4 男,2 女 3 男, 由分类加法计数原理知总选法数为 5 1 4 3 C7 +C5 C7+C2 5C7=546(种). [规律方法] 解决组合类问题的方法:

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由 另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最 多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解.通常用直接法 分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理. 考点三__排列、组合的综合应用(高频考点)______ 排列与组合是高考命题的一个热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大, 多为容易题或中档题. 高考对排列与组合综合应用题的考查主要有以下四个命题角度: (1)分配问题; (2)排列问题; (3)定位问题; (4)选派问题. (1)(2014· 高考四川卷)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右 端不能排甲,则不同的排法共有( ) A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 (2)(2015· 兰州市、张掖市联合诊断)某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地 区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 ( ) A.150 种 B.300 种 C.600 种 D.900 种 (3)(2014· 高考北京卷)把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与 产品 C 不相邻,则不同的摆法有________种. 5 [解析] (1)第一类:甲在最左端,有 A5 =5×4×3×2×1=120(种)方法; 4 第二类:乙在最左端,有 4A4=4×4×3×2×1=96(种)方法. 所以共有 120+96=216(种)方法. 4 (2)若甲去,则乙不去,丙去,再从剩余的 5 名教师中选 2 名,有 C2 5×A4=240 种方法; 4 若甲不去,则丙不去,乙可去可不去,从 6 名教师中选 4 名,共有 C4 6×A4=360 种方法.因 此共有 600 种不同的选派方案. 4 (3)将产品 A 与 B 捆绑在一起,然后与其他三种产品进行全排列,共有 A2 2A4种方法,将 3 产品 A,B,C 捆绑在一起,且 A 在中间,然后与其他两种产品进行全排列,共有 A2 2A3种方 4 2 3 法.于是符合题意的排法共有 A2 2A4-A2A3=36(种). [答案] (1)B (2)C (3)36 [规律方法] 解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素(或位置)的性质进行分类; 二是按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即 先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置). (1)(2014· 高考辽宁卷)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不 相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24 (2)(2015· 东北三校联合模拟)一个五位自然数 a1a2a3a4a5,ai∈{0,1,2,3,4,5},i=1, 2,3,4,5,当且仅当 a1>a2>a3,a3<a4<a5 时称为“凹数”(如 32 014,53 134 等),则

满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为( ) A.110 B.137 C.145 D.146 (3)将 6 名教师分到 3 所中学任教,一所 1 名,一所 2 名,一所 3 名,则有________种 不同的分法. (4)(2015· 保定市调研考试)已知集合 M={1,2,3,4,5,6},集合 A、B、C 为 M 的非 空子集,若?x∈A、y∈B、z∈C,x<y<z 恒成立,则称“A—B—C”为集合 M 的一个“子 集串”,则集合 M 的“子集串”共有________个. 解析:(1)插空法.在已排好的三把椅子产生的 4 个空档中选出 3 个插入 3 人即可.故 排法种数为 A3 4=24.故选 D. (2)分四种情况进行讨论: 2 2 ①a3 是 0,a1 和 a2 有 C2 a4 和 a5 有 C2 5种排法, 5种排法,则五位自然数中“凹数”有 C5C5 2 2 2 =100 个; ②a3 是 1, 有 C2 ③a3 是 2, 有 C2 ④a3 是 3, 有 C2 由 4C4=36 个; 3C3=9 个; 2C2=1 个. 分类加法计数原理知五位自然数中“凹数”共有 100+36+9+1=146 个. (3)将 6 名教师分组,分三步完成: 第一步,在 6 名教师中任取 1 名作为一组,有 C1 6种取法; 第二步,在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组,有 C2 5种取法; 3 第三步,余下的 3 名教师作为一组,有 C3种取法. 2 3 根据分步乘法计数原理,共有 C1 6C5C3=60 种取法. 再将这 3 组教师分配到 3 所中学,有 A3 3=6 种分法. 故共有 60×6=360 种不同的分法. (4)由题意可先分类,再分步: 第一类,将 6 个元素全部取出来,可分两步进行:第一步,取出元素,有 C6 6种取法, 2 6 2 第二步,分成三组,共 C5种分法,所以共有 C6C5个子集串; 第二类, 从 6 个元素中取出 5 个元素, 共 C5 然后将这 5 个元素分成三组共 C2 6种取法, 4种 5 2 4 2 分法,所以共有 C6C4个子集串;同理含 4 个元素的子集串数为 C6C3;含 3 个元素的子集串 2 6 2 5 2 4 2 3 2 数为 C3 6C2.集合 M 的子集串共 C6C5+C6C4+C6C3+C6C2=111 个. 答案:(1)D (2)D (3)360 (4)111

方法思想——分类讨论思想求解排列、组合问题 (2014· 高考重庆卷)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目, 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ) A.72 B.120 C.144 D.168 [解析] 解决该问题分为两类:第一类分两步,先排歌舞类 A3 3,然后利用插空法将剩余 3 3 3 个节目排入左边或右边 3 个空,故不同排法有 A3·2A3=72.第二类也分两步,先排歌舞类 1 2 2 3 2 2 1 A3 3,然后将剩余 3 个节目放入中间两空排法有 C2A2A2,故不同的排法有 A3A2A2C2=48,故 共有 120 种不同排法,故选 B. [答案] B [名师点评] 对于有附加条件的排列组合问题应遵循两个原则:一是按元素的性质分 类,二是按事件发生的过程分类.本题在排歌舞类节目后再进行分类,把剩余 3 个节目插入 两个空还是三个空. 1.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架歼-15 飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而甲、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着 舰方法有( ) A.12 种 B.16 种 C.24 种 D.36 种 3 解析:选 D.当甲排在边上时,有 2A3=12 种方法;当甲不排在边上时,有 12A2 2=24 种 方法,这样一共有 12+24=36 种不同的着舰方法. 2.(2014· 高考浙江卷)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有________种(用数字作答). 解析:把 8 张奖券分 4 组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三 等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给 4 人有 A4 4种分法;另一种是一组两个奖,一组只有 2 2 一个奖,另两组无奖,共有 C3种分法,再分给 4 人有 C2 3A4种分法,所以不同获奖情况种数 2 2 为 A4 4+C3A4=24+36=60. 答案:60

1.数列{an}共有六项,其中四项为 1,其余两项各不相同,则满足上述条件的数列{an} 共有( ) A.30 个 B.31 个 C.60 个 D.61 个 解析: 选 A.在数列的六项中, 只要考虑两个非 1 的项的位置, 即得不同数列, 共有 A2 6= 30 个不同的数列. 2.(2015· 昆明市第一次摸底)从 4 部甲型和 5 部乙型手机中任意取出 3 部,其中至少要

有甲型与乙型手机各 1 部,则不同取法共有( ) A.35 种 B.70 种 C.84 种 D.140 种 1 2 1 解析:选 B.由题知不同取法有 C4C5+C2 4C5=70 种. 3.(2015· 陕西西安检测)某市拟从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本 年度要启动的项目,则重点项目 A 和一般项目 B 至少有一个被选中的不同选法的种数是 ( ) A.15 B.45 C.60 D.75 解析:选 C.从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度启动的项目, 2 所有的选法种数是 C2 4×C6=90. 2 重点项目 A 和一般项目 B 都没有被选中的选法种数是 C2 3×C5=30,故重点项目 A 和一 般项目 B 至少有一个被选中的不同选法种数是 90-30=60. 4.(2015· 福建三明调研)将 A,B,C,D,E 排成一列,要求 A,B,C 在排列中顺序为 “A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),这样的排列数有( ) A.12 种 B.20 种 C.40 种 D.60 种 5 解析:选 C.(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为 A5 ,由于要求 A,B,C 的 A5 5 次序一定(按 A,B,C 或 C,B,A),故除以这三个元素的全排列 A3 3,可得 3×2=40. A3 5.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一 行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数为( ) A.24 B.28 C.36 D.48 2 3 解析:选 D.穿红色衣服的人相邻的排法有 C1 4A2A3=48 种,同理穿黄色衣服的人相邻的 2 3 排法也有 48 种.而红色、黄色同时相邻的有 A2 2·A2·A3=24 种.故穿相同颜色衣服的不 相邻的排法有 A5 5-2×48+24=48 种. -n 5-n 6.Cn +C9 n+1=________.
? ?0≤5-n≤n 解析:由组合数的定义得? , ?0≤9-n≤n+1 ?

解之得 4≤n≤5, ∵n∈N*,∴n=4 或 n=5. 5 当 n=4 时,原式=C1 4+C5=5, 4 当 n=5 时,原式=C0 5+C6=16. 答案:5 或 16 7.(2015· 潍坊检测)张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次 入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这 6 人的 入园顺序排法种数为________.(用数字作答) 解析:第一步:将两位爸爸排在两端有 2 种排法;第二步:将两个小孩视作一人与两位 妈妈任意排在中间的三个位置上有 A3 3种排法;第三步:将两个小孩排序有 2 种排法.故总 3 的排法有 2×2×A3=24(种). 答案:24 8.(2015· 江苏扬州中学检测)在三位正整数中,若十位数字小于个位和百位数字,则该

数为“驼峰数” .比如:“102”“546”为“驼峰数”,由数字 1,2,3,4,5 这五个数字构成 的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为________. 解析: 三位“驼峰数”中 1 在十位的有 A2 2 在十位的有 A2 3 在十位上的有 A2 4个, 3个, 2个, 所以所有三位“驼峰数”的十位上的数字之和为 12×1+6×2+2×3=30. 答案:30 9.男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 名,选派 5 人外出比赛,在下列 情形中各有多少种选派方法? (1)男运动员 3 名,女运动员 2 名; (2)至少有 1 名女运动员. 解: (1)任选 3 名男运动员, 方法数为 C3 再选 2 名女运动员, 方法数为 C2 共有 C3 C2 6, 4, 6· 4 =120(种)方法. (2)法一:至少 1 名女运动员包括以下几种情况: 1 女 4 男,2 女 3 男,3 女 2 男,4 女 1 男, 由分类加法计数原理可得总选法数为 1 4 3 3 2 4 1 C4 C6+C2 4C6+C4C6+C4C6=246(种). 法二:“至少有 1 名女运动员”的反面是“全是男运动员”,因此用间接法求解,不同 5 选法有 C5 10-C6=246(种). 10.从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有几个? (3)(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个? 解:(1)分三步完成:第一步,在 4 个偶数中取 3 个,有 C3 4种情况;第二步,在 5 个奇 4 数中取 4 个,有 C5种情况;第三步,3 个偶数,4 个奇数进行排列,有 A7 7种情况.所以符 3 4 7 合题意的七位数有 C4C5A7=100 800(个). 4 5 3 (2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的有 C3 4C5A5A3=14 400(个). 4 3 4 2 (3)上述七位数中, 3 个偶数排在一起, 4 个奇数也排在一起的有 C3 4C5A3A4A2=5 760(个). 1.5 名志愿者分到 3 所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共 有( ) A.150 种 B.180 种 C.200 种 D.280 种 解析:选 A.依题意 5 个人分配到 3 个学校且每校至少去一个人,因此可将 5 人按人数
2 2 C1 5C4C2 分成 1,2,2 与 1,1,3 两种,当人数是 1,2,2 时,有 ×A3 3=90(种). A2 2

当人数是 1,1,3 时,则有

1 3 C1 5C4C3 ×A3 3=60(种), A2 2

因此共有 90+60=150(种). 2.(2015· 浙江温州十校联考)任取三个互不相等的正整数,其和小于 100,则由这三个 数构成的不同的等差数列共有( ) A.528 个 B.1 056 个 C.1 584 个 D.4 851 个 解析:选 B.先确定等差数列的中间项,再确定第一、三项. 设这三个成等差数列的数分别为 a,b,c. 由题意得 a+b+c≤100,即 3b≤100,得 b 可以取 2,3,?,33,共 32 个数.

第一类,b=2 时,a,c 的取值共有 2 个(a=1,c=3 和 a=3,c=1,对应的是两个数 列); 第二类,b=3 时,a,c 的取值共有 4 个; ? 第三十二类,b=33 时,a,c 的取值共有 64 个. 根据分类加法计数原理,可得满足题意的数列共有 2+4+?+64=1 056 个. 3.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的 人不区分站的位置,则不同的站法种数是__________.(用数字作答) 解析:3 个人各站一级台阶有 A3 3 个人中有 2 个人站在一级,另一人站 7=210(种)站法; 2 2 在另一级,有 C3A7=126(种)站法,共有 210+126=336(种)站法. 答案:336 4.(2015· 山东潍坊五校联考)数字 1,2,3,4,5,6 按如图形式随机排列,设第一行的 数为 N1,其中 N2,N3 分别表示第二、三行中的最大数,则满足 N1<N2<N3 的所有排列的 个数是________.

解析:(元素优先法)由题意知 6 必在第三行,安排 6 有 C1 3=3 种方法,第三行中剩下的 2 两个空位安排数字有 A5=20 种方法,在留下的三个数字中,必有一个最大数,把这个最大 2 数安排在第二行,有 C1 2=2 种方法,剩下的两个数字有 A2=2 种排法,按分步乘法计数原 2 1 2 理,所有排列的个数是 C1 3A5C2A2=240. 答案:240 5.按照下列要求,求分别有多少种不同的方法? (1)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子; (2)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子,每个盒子至少有一个小球. 解:(1)每个小球都有 4 种方法,根据分步乘法计数原理共有 46=4 096(种)不同方法. (2)分两类:第 1 类,6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中;第 2 类,6 个小球分 2,2,1, 3 1 2 2 2 1 放入盒中,共有 C6 ·C4 ·A3 3+C6·C4·A4=1 560(种)不同放法. 6.(选做题) 某区有 7 条南北向街道,5 条东西向街道(如图所示).

(1)图中共有多少个矩形? (2)从 A 点到 B 点最近的走法有多少种? 解:(1)在 7 条竖线中任选 2 条,5 条横线中任选 2 条,这样 4 条线可组成 1 个矩形,故 2 可组成矩形 C2 7·C5=210(个). (2)每条东西向的街道被分成 6 段,每条南北向的街道被分成 4 段,从 A 到 B 最短的走 法,无论怎样走,一定包括 10 段,其中 6 段方向相同,另外 4 段方向相同,每种走法,即 6 是从 10 段中选出 6 段,这 6 段是走东西方向的,共有 C10 =C4 10=210(种)走法(同样可从 10 段中选 4 段走南北方向,每种选法即是 1 种走法).所以共有 210 种走法.


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