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空间角的计算(2)


空间角的计算(2) (理)
一、知识梳理 1.二面角的概念: 2. 二面角的平面角: 3.求二面角平面角大小的常用方法有 ,求二面角的大小须先指出哪一个角是_ 再进行计算。 4.找出二面角平面角的一般方法: (1) (2) (3) (4) 5.三种空间角的向量法计算公式: (1)异面直线 a , b 所成的角 ? : ; ? (2)直线 a 与平面 ? (法向量 n )

所成的角 ? : ; (3)锐二面角 ? : 。
。 。



。 。 。



二、基础练习 1.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,平面 A1 BD 与平面 C1 BD 所成角的余弦值等于__ __。 2.已知 E , F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 BC, CC1 的中点,则截面 AEFD1 与底面 ABCD 所成二面角的正弦值是_____。 3 .设锐二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? , m 是 ? 内异于 l 的一条直线,则 m 与 ? 所成角的范围是 ______。 4.若两条异面直线分别垂直于一个大小为 72 ? 的二面角的两个半平面,则这两条异面直线所成的 角为 。 5. 设 S 为 ?ABC 所在平面外一点, 平面 SAB、SBC、SCA 与 ?ABC 所在平面所成的二面角都相等, 问点 S 在平面 ABC 内的射影是 ?ABC 的___ ___心。 6.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60 0 ,面 ? 内的一点 A 到棱 l 的距离为 2 3 ,则 A 到面 ? 的距离 是_ ___。 7.山坡与水平面成 30 0 角,坡面上有一条与坡角水平线成 30 0 角的直线小路,某人沿小路上坡走 了一段路程后升高了 100 米,则此人行走的路程为__ ___米。 8.在四面体 ABCD 中、已知棱 CD 的长为 2 ,其余各棱长都为 1,则二面角 A—CD—B 的大小 为 。 9.设平面 N 外一点 A 到平面 N 的距离是 a ,自点 A 向平面 N 引斜线 AB 、AC 与平面 N 所成的 C 间的距离是 角分别为 45? 、30? , ?BAC ? 90? ,则两斜足 B 、 。 10. 有两块三角板, 一块三角板的两条直角边长分别为 1 和 3 , 另一块的两条直角边的长均为 3 , ? 这两块三角板有两对顶点重合、且成 90 的二面角,则不重合的两个顶点的距离是 。 a ? A b ? B c ? C C ? A ? B B、 C , A ? { 直线 } , B ? { 平面 } , 11.已知集合 A 、 。若 , , , 下面给出四个命题: ?a ? b ?a ? b ?a // b ? a // b ①? ? a // c ;② ? ? a ? c ;③ ? ? a // c ;④ ? ?a ?c。 ?c ? b ? c // b ? c // b ?c ? b 其中正确命题的序号为 (注:把你认为正确的序号都填上) 。 12.平行四边形的一个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,已知其中有两个顶点到 ? 的距 离分别为 1 和 2 ,那么剩下的一个顶点到平面 ? 的距离可能是:①1; ②2; ③3; ④4。 以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号 ) 。 .. 13.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ( 若 AB 与 CD 所成的角为 ? ,则

?
2

CD ? ? ,且 AB ? l , CD ? l , ? ? ? ? ) , AB ? ? ?, ?





1

(D) ? ? ? ? ? 2 2 14.已知直二面角 ? ? l ? ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,且 a 与 l 不垂直,b 与 l 不垂直, (A) ? ? ? (B) ? ? ? ? (C) ? ? ? ? 那么 ( ) (A) a 与 b 可能垂直,但不可能平行 (B) a 与 b 可能垂直,也可能平行 (C) a 与 b 不可能垂直,但可能平行 (D) a 与 b 不可能垂直,也不可能平行 15.已知直线 a 平行于平面 ? ,且它们的距离为 d ,则到直线 a 与到平面 ? 的距离都等于 d 的 点的集合是 ( ) (A)空集 (B)两条平行直线 (C)一条直线 (D)一个平面 16.空间三条射线 PA,PB,PC 满足∠APC=∠APB=60°,∠BPC=90°,则二面角 B-PA-C 的度 数 ( ) (A)等于 90° (B)是小于 120°的钝角 (C)是大于等于 120°小于等于 135°的钝角 (D)是大于 135°小于等于 150°的钝角 17.已知 PC 垂直 Rt ?ABC 所在平面, AC ? BC , CD ? PB 于 D 。 (1)求证: AD ? PB ;
? (2)若 PB 与平面 ABC 成 60 角, PC ? AC ,求 AD 与平面 ABC 所成角的大小。

?

?

AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 是 AB 上的动点。 18.如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(1)若直线 D1E与EC垂直 ,请你确定点 E 的位置,并求出此时异面直线 AD1 与 EC 所成的角; (2)在(1)的条件下求二面角 D1 ? EC ? D 的大小。
A1
D1 B1 C1

D A
E

C

B

D1 19.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为棱 BC 的中点。 (1)在棱 BB1 上是否存在点 M ,使 D1 M ? 平面 B1 AE ?请说明理由; (2) 在正方体表面 ABB1 A1 上是否存在点 N , 使 D1 N? 平面 B1 AE ?请说明 理由。 A A1 B1

C1

D E B

C

2

空间角的计算(2)
一、知识梳理 1.二面角的概念:当两个平面相交时,它们的交线 l 将各平面分割成两个半平面,由两个半平面 ?、? 及交线
l 所组成的空间图形叫做二面角,记作 ? ? l ? ? ,交线 l 叫做二面角的棱,两个半平面 ?、? 叫做二面角的面。

2.二面角的平面角:在二面角的棱 AB 上任取一点 O ,过 O 分别在面 ? 和 ? 内作棱 l 的垂线 OM 和 ON ,则射
线 OM 和 ON 所成的角叫做二面角 ? ? l ? ? 的平面角。

3.求二面角平面角大小的常用方法有几何法、向量法;求二面角的大小须先指出哪一个角是二面角的 平面角,再进行计算。 4.找出二面角平面角的一般方法: (1)以二面角棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,则这两条射线所成角是二面
角的平面角;

(2)三垂线法:过 P 作 PA ? ? ,过 A 作 AB ? l 于点 B ,连接 PB ,则 PB ?l ,所以 ?PBA 为二面角 ? ? l ? ? 的
平面角;

(3)过二面角内一点作垂直于棱的平面,该平面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是所求的角。
(4)面积射影法: S? ? S ? cos? ( S 为原斜面面积, S ? 为射影面积, ? 为斜面与射影所成二面角的平面角)。

5.三种空间角的向量法计算公式: ? ? (1)异面直线 a , b 所成的角 ? : cos? ? cos ? a, b ? ; (2)直线 a 与平面 ? (法向量 n )所成的角 ? : sin ? ? cos ? a, n ? ;
? ?

?

(3)锐二面角 ? : cos? ? cos ? m, n ? ,其中 m , n 为两个面的法向量。 二、基础练习 1.在正方体 ABCD ? A 1 BD 与平面 C1 BD 所成角的余弦值等于_ ___。 1B 1C1D 1 中,平面 A 2 .已知 E , F 分别是正方体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1的棱 BC, CC 1 的中点,则截面 AEFD1 与底面
5 ____。 3
1 3

? ?

? ?

ABCD所成二面角的正弦值是_

3.设锐二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? , m 是 ? 内异于 l 的一条直线,则 m 与 ? 所成角的范围是 ____ [0,? ] __。 4.若两条异面直线分别垂直于一个大小为 72 ? 的二面角的两个半平面,则这两条异面直线所成的 角为 72 ? 。 5.设 S 为 ?ABC 所在平面外一点,平面 SAB 、SBC 、SCA 与 ?ABC 所在平面所成的二面角都 相等,问点 S 在平面 ABC 内的射影是 ?ABC 的___内____心。 6.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60 ,面 ? 内的一点 A 到棱 l 的距离为 2 3 ,则 A 到面 ? 的距 离是 _3___。
0

7.山坡与水平面成 30 角,坡面上有一条与坡角水平线成 30 角的直线小路,某人沿小路上坡走 了一段路程后升高了 100 米,则此人行走的路程为___400__米。 8.在四面体 ABCD 中、已知棱 CD 的长为 2 ,其余各棱长都为 1,则二面角 A—CD—B 的大小 为 90 ? 。 9.设平面 N 外一点 A 到平面 N 的距离是 a ,自点 A 向平面 N 引斜线 AB 、AC 与平面 N 所成的

0

0

C 间的距离是 6a 。 角分别为 45? 、30? , ?BAC ? 90? ,则两斜足 B 、
10.有两块三角板,一块三角板的两条直角边长分别为 1 和 3 ,另一块的两条直角边的长均为

3 ,这两块三角板有两对顶点重合、且成 90? 的二面角,则不重合的两个顶点的距离是
2或 7 。
B、 C , A ? { 直线 }, B ? { 平面} , C ? A ? B 。若 a ? A , b ? B , c ? C , 11.已知集合 A 、 下面给出四个命题:
3

?a ? b ?a ? b ?a // b ? a // b ①? ? a // c ;② ? ? a ? c ;③ ? ? a // c ;④ ? ?a?c。 ?c ? b ? c // b ?c // b ?c ? b
其中正确命题的序号为 ② (注:把你认为正确的序号都填上) 。 12.平行四边形的一个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,已知其中有两个顶点到 ? 的距 离分别为 1 和 2 ,那么剩下的一个顶点到平面 ? 的距离可能是:①1; ②2; ③3; ④4。 以上结论正确的为 ①③ (写出所有正确结论的编号 ) 。 .. 13.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ( 若 AB 与 CD 所成的角为 ? ,则 (A) ? ? ? (B) ? ? ? ?

?

2

? ? ? ? ? ) , AB ? ? ? ,CD ? ? ,且 AB ? l ,CD ? l , ( D )
(C) ? ? ? ?

(D) ? ? ? ? ? 2 2 14.已知直二面角 ? ? l ? ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,且 a 与 l 不垂直, b 与 l 不垂 直, 那么 ( C ) (A) a 与 b 可能垂直,但不可能平行 (B) a 与 b 可能垂直,也可能平行 (C) a 与 b 不可能垂直,但可能平行 (D) a 与 b 不可能垂直,也不可能平行 15.已知直线 a 平行于平面 ? ,且它们的距离为 d ,则到直线 a 与到平面 ? 的距离都等于 d 的 点的集合是 ( B ) (A)空集 (B)两条平行直线 (C)一条直线 (D)一个平面 16.空间三条射线 PA,PB,PC 满足∠APC=∠APB=60°,∠BPC=90°,则二面角 B-PA-C 的度 数 ( B ) (A)等于 90° (B)是小于 120°的钝角 (C)是大于等于 120°小于等于 135°的钝角 (D)是大于 135°小于等于 150°的钝角 17.已知 PC 垂直 Rt ?ABC 所在平面, AC ? BC , CD ? PB 于 D 。 (1)求证: AD ? PB ;
? (2)若 PB 与平面 ABC 成 60 角, PC ? AC ,求 AD 与平面 ABC 所成角的大小。

?

?

解: (1)? AC ? BC , AC ? PC , ? AC ? 平面PBC , ? AC ? PB ,又 CD ? PB , ? PB ? 平面ACD , AD ? PB 。 (2)? PC ? 平面ABC ,??PBC 是 PB 与平面 ABC 所成角, 即 ?PBC ? 60? , 在 ?PBC 中, 过 D 作 DG // PC , 则 ? PG ? 平面ABC ,连接 AG ,所以 ?DAG 是 AD 与平面 ABC 所成角,解得 ?DAG ? arctan

19 19

AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 是 AB 上的动点。 18.如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(1)若直线 D1E与EC垂直 ,请你确定点 E 的位置,并求出此时异面直线 AD1 与 EC 所成的角; (2)在(1)的条件下求二面角 D1 ? EC ? D 的大小。
解: (1)由 D1E与EC垂直 ? DE 与 CE 垂直,设 AE ? x ,在直角三角形

D1

C1

A1 DEC 中求得 x ? 1 ,所以点 E 是 AB 的中点, 取 CD 的中点 Q ,则 AQ 平行与 EC ,所以 ?D1 AQ 是所求的角, ? ? D 求解 ?D1 AQ 得 ?D1 AQ = ,所以,异面直线 AD1 与 EC 所成的角为 。 (7 分) 3 3 (2)由 D1E与EC垂直 ? DE 与 CE 垂直,所以 ?D1EC 是所求 D1 ? EC ? D 的 A
2 2 平面角, 求解直角D1DE得 tan?D1ED ? ,所以二面角 D1 ? EC ? D 是 arctan 。 z 2 2

B1

C

E

B

19.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为棱 BC 的中点。

D1

C1 B1

(1)在棱 BB1 上是否存在点 M ,使 D1 M ? 平面 B1 AE ?请说明理由; A1 (2)在正方体表面 ABB1 A1 上是否存在点 N ,使 D1 N? 平面 B1 AE ?请说明理由。
解: (1)如图所示建立空间直角坐标系,令 M ( 2 , 2 , z ) ( 0 ? z ? 2) , ????? ? ???? ???? ? 则 D1M ? ( 2 , 2 , z ? 2) , B1 A ? (0 , ? 2 , ? 2) , B1E ? ( ? 1, 0 , ? 2) 。

D A x E B

C y

4

????? ? ???? ????? ? ???? ? ? D1M ? B1 A ? ? D1M ? B1 A ? ?2 z ? 0 若 D1M ? 平面 B1 AE ? ? ????? 。 ? ???? ? ? ? ????? ? ???? ? ? D1M ? B1E ? ? D1M ? B1E ? ?2 z ? 2 ? 0 ?

∵方程组无解,∴在 BB1 上不存在点 M ,使 D1M ? 平面 B1 AE 。 (2)设正方体表面 ABB1 A1 上的点 N ( 2 , y , z ) (0 ? y ? 2 , 0 ? z ? 2) , ????? 则 D1N ? ( 2 , y , z ? 2) 。若 D1 N ? 平面 B1 AE , ????? ???? ????? ???? ? ? D1 N ? B1 A ? ? D1 N ? B1 A ? ?2 y ? 2 z ? 4 ? 0 ? y ? 1 则 ?????? ,∴ N ( 2 , 1 , 1) 。 ? ?? ???? ? ?????? ???? ? ?z ?1 ? D1 N ? B1E ? ? D1 N ? B1E ? 2 ? 2 z ? 0 ? 所以当且仅当点 N 位于正方形 ABB1 A1 的中心时, D1 N ? 平面 B1 AE 。

5


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