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湖北省襄阳市四校(襄州一中、枣阳一中、)2014-2015学年高二下学期期中联考数学(理)试题


曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中

2014—2015 学年下学期高二期中考试

数学试题(理)
时间:120 分钟 命题教师: 学 校:曾都一中 分值:150 分 枣阳一中 命题牵头学校: 曾都一中 襄州一中 宜城一中

★祝考试顺利★ 一 、选择题 (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50

分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.命题“存在实数 x ,使 x >1”的否定是( ) A.对任意实数 x ,都有 x >1 B.不存在实数 x ,使 x ≤1 C.对任意实数 x ,都有 x ≤1 D.存在实数 x ,使 x ≤1 2.已知向量 a=(1,0,-1),则下列向量中与 a 成 60°夹角的是( ) A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 3. x ? 1或y ? 2 是 x ? y ? 3 的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4.已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ? ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 上一动点 P( x, y ) ,则 y ? | PQ | 的最小值是( 4
C.4 D. 2 2



A. 2

B.3

5.已知 a ? ?1 ? t , 2t ?1,0? , b ? ? 2, t, 2t ? ,则 A. 6 B. 5

?

?

? ? a ? b 的最小值为(
C. 3 D. 2



6. 在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中,∠BCA=90° ,点E、F 分别是 A1B1、A1C1 的中点,BC=CA =CC1,则 BE与 AF 所成的角的余弦值是( ) E B1 A1 30 A. 10 1 B. 2 30 C. 15 15 D. 10 B C 7.已知 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点 P(x,-1,3)在平面 ABC 内,则 x 的值 为( ) A.-4 B.1 C.10 D.11 F C1



8.已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2=1,C1 与 C2 的离心率 之积为 3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 B.
2

x2 y 2 a b

x2 y2 a b

) C. x±2y=0 D. 2x±y=0

A. x± 2y=0

2x±y=0

9.已知椭圆 E: 2+ 2=1 (a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点, 若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( x y A. + =1 45 36 10.双曲线 C:
2 2

x a

y b

2

)
2

x y B. + =1 36 27

2

2

x y C. + =1 27 18

2

x2 y2 D. + =1 18 9

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值 5 3
) D. ?

范围是,那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A. ? ?1, ?

? ?

3? 10 ? ?

B. ? , ? ?8 4 ?

?3 3?

C. ? ?

3? ? 3 ,? ? ? 10 20 ?

?3 3? , ? 20 10 ? ?

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 。 11.在空间中, (1)若四点不共面,则这四点中任三个点都不共线; (2)若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中,逆命题为真命题的是_____________(只填序号) 12.已知空间四边形 OABC,如图所示,其对角线为 OB,AC.M,N 分别为 OA,BC 的中点, 点 G 在线段 MN 上,且 MG ? 2GN ,现用基向量 OA, OB, OC 表示向量 OG ,并设

OG ? xOA ? yOB ? zOC ,则 x ? y ? z ? ______.

2 13.已知 P 是抛物线 C: y ? x 上一点,则点 P 到直线 y ? x ? 3 的最短距离为______.

14.已知直二面角 α-l-β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足.点 B∈β,BD⊥l,D 为垂足.若 AB =2,AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于 ________. 15. 已知椭圆 E:

x2 y 2 x2 y2 a2 l ? ? 1 ? ? 1 x ? 与双曲线 D: ( a >0 , b >0) , 直线 : a ? b ? 0 ? ? a 2 b2 4a 2 b 2 c

与双曲线 D 的两条渐近线分别交于点 A,B.若椭圆 E 的右焦点 F 在以线段 AB 为直径的圆 内,则椭圆的离心率 e 的取值范围是________.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明证明过程或演算步骤) .

16. (本小题满分 12 分)

x2 y2 1? m ? t ? 1? m ? ? 1表示双曲线; 已知命题 P: 方程 命题 q: (m ? 0) ,若 ? p t ? 2 t ? 10 是 ? q 的充分非必要条件,试求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,E,F,G 分别是 DD1,BD,BB1 的中点. (1)求证:EF⊥CF; (2)求 EF 与 CG 所成角的余弦值.

18.(本小题满分 12 分)
2 2 设命题 p: “直线 x+y-m=0 与圆 ? x ? 1? ? y ? 1 不相交” ,命题 q: “ mx ? x ? 4 ? 0 有一 2

正根和一负根。 ”如果 p ? q 为真且 p ? q 为假,求 m 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)

已知抛物线 C: y 2 ? 4 x ,过点 K( ?2 ,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D,且直线 BD 与 x 轴相交于点 P(m,0),求 m 的值.

20. (本小题满分 13 分) 已知多面体 ABCDE 中, AB⊥平面 ACD, DE⊥平面 ACD, AC = AD = CD = DE = 2, = 1,F 为 CD 的中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 CDE; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 CBE 所成角正弦值; (Ⅲ)求面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小.

AB

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三 a 2 b2

角形,直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相 切. (1)求椭圆的方程; (2)设 P 为椭圆上一点,若过点 M (2,0) 的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 S 和 T ,且满 足 OS ? OT ? t OP (O 为坐标原点),求实数 t 的取值范围.

曾都一中 2014 枣阳一中 —2015 学年下学期高二期中考试数学(理) 宜城一中 襄州一中 参考答案
一、选择题 1、C 2、B 3、B 4、A 5、D 6、A 7、D 8、A 9、D 10、C 二、填空题 11、 (2) 12、

5 6

13、

11 2 8

14、

? 3 ? 6 15. ? ? 2 ,1? ? 3 ? ?

三、解答题(若不同于参考答案,可根据步骤酌情给分) 16. 解:由命题 P 得 (t ? 2)(t ? 10) ? 0 由命题 q 得∴ t ? (1 ? m,1 ? m) ∴ ?2 ? t ? 10 5分 7分 11 分 12 分 4分

由题意及逆否命题的等价性可知 q ? p ,即 (1 ? m,1 ? m) ? (?2,10) ∴由 1 ? m ? 2,1 ? m ? 10 (不同时取等号)及 m ? 0 得 0 ? m ? 3 ∴所求 m 的取值范围为 0 ? m ? 3

17.(1)证明:建立如图所示的空间直有坐标系 D-xyz, 则 D(0,0,0),E(0,0,

1分

1 1 1 1 ),C(0,1,0),F( , ,0),G(1,1, ) 3分 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 所以 EF =( , ,- ), CF =( ,- ,0), CG =(1,0, ), 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 CE =(0,-1, ).4 分 因为 EF ? CF ? ? ? ? (? ) ? (? ) ? 0 ? 0 ,5 分 2 2 2 2 2 2
所以 EF ? CF ,即 EF⊥CF. 6分

(2)解:因为 EF ? CF (?

1 1 1 1 1 ?1 ? ? 0 ? (? ) ? ? , 2 2 2 2 4

8分

1 1 1 3 , | EF |? ( )2 ? ( )2 ? (? )2 ? 2 2 2 2 1 5 . | CG |? 12 ? 02 ? ( )2 ? 2 2
所以 cos ? EF , CG ?? 10 分

EF ? CG | EF || CG |

?

1 4 3 5 . 2 2

?

15 15

12 分

18.解:对命题 P: 由 x+y-m=0 和

( x ?1)2 ? y 2 ? 1 得 2x2 ? 2(1 ? m) x ? m2 ? 0

则 ? ? 4(1 ? m)2 ? 4 ? 2m2 ? 0 ,∴ ∴P 为真时 m m ? 1 ? 2或m?1 ? 2 对命题 q:则有题意得 ∴q 为真时 m m ? 0

m ? 1 ? 2或m?1 ? 2

?

?

3分

m ? 0,

?4 ?0, ? ? 1 ? 4m(?4)? 0 得 m ? 0 m
6分 7分 9分 11 分 12 分

?

?

由题意可知 P 与 q 有且只有一个命题为真命题 若 P 假 q 真时, m m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2

? ? ∩ ?m m ? 0? = ?m m ? 1? 2? 若 P 真 q 假时, ?m 1 ? 2 ? m ? 1 ? 2? ∩ ?m m ? 0? = ?m 0 ? m ? 1 ? 2? 综述: ?m m ? 1 ? 2或0 ? m ? 1 ? 2?
19. 设 A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ? D ? x1 , ? y1 ? , l 的方程为 x ? my ? 2 ? m ? 0? 将 x ? my ?1? m ? 0? 代入 y 2 ? 4 x 中整理得 y 2 ? 4my ? 8 ? 0 从而 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? 8 ∴直线 BD 方程为 y ? y2 ? 令 y=0,得 x ?

4分 5分

y1 ? y2 y2 4 ( x ? x2 ) 即 y ? y2 ? (x ? 2 ) x2 ? x1 y2 ? y1 4
即 P(2,0) ∴m=2

8分

y1 y2 =2,10 分 4

12 分

20. 解:(Ⅰ)∵DE⊥平面 ACD,AF ? 平面 ACD,∴DE⊥AF. 又∵AC=AD,F 为 CD 中点,∴AF⊥CD, 因 CD∩DE=D,∴AF⊥平面 CDE. ……………… 4 分 (Ⅱ)取 CE 的中点 Q,连接 FQ,因为 F 为 CD 的中点,则 FQ∥DE,故 DE⊥平面 ACD ∴FQ⊥平面 ACD,又由(Ⅰ)可知 FD,FQ,FA 两两垂直,以 O 为坐标原点, 如图建立空间直角坐标系 F—xyz,
则B (0,1, 3), C ( ?1, 0, 0), E (1, 2, 0), A (0,, 0 3) , ??? ? ??? ? ??? ? CB ? (1,1, 3), CE ? (2, 2, 0), CA ? (1, 0, 3) ? 设平面CBE的法向量为n ? ( x, y , z ), ? ??? ? ? ? n ? CB ? x ? y ? 3 z ? 0 则 ? ? ??? ? ? ? n ? CE ? 2 x ? 2 y ? 0 ? 设x ? 1, 则n ? (1, ?1, 0)

??? ? ? ??? ? ? CA ? n 2 ? ? ? cos ? CA, n ?? ??? 4 | CA | ? | n |
∴直线 AC 与平面 CBE 所成角的正弦值为

2 ????9分 4

(Ⅲ)平面 ACD 的一个法向量为 FQ ? (0,1,0) ,则
???? ? ???? ? FQ ? n 0 ?1 ? 0 2 cos ? FQ, n ? ? ???? ? ? ? 2 | FQ || n | 2

??? ?

∴面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小为 45°.………………13 分 21. 解:(1)由题意:以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为

( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 ,
∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 2

?a

∵椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角 a2 b2

形, b=c, a ?

2b ? 2c 代入*式得 b=c=1 ∴ a ? 2b ? 2
5分

x2 ? y 2 ? 1. 故所求椭圆方程为 2

(Ⅱ)由题意知直线 L 的斜率存在,设直线 L 方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 p?x0 , y0 ? 将直线方程代入椭圆方程得: 1 ? 2k 2 x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ???? 6 分 ∴ ? ? 64k 4 ? 4 1 ? 2k 2 8k 2 ? 2 ? ?16k 2 ? 8 ? 0 ∴k ?
2

?

?

?

??

?

1 2
2

7分

8k 8k 2 ? 2 设 S ?x1 , y1 ? , T ?x2 , y2 ? 则 x1 ? x2 ? ??????8 分 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
当 t=0 时,直线 l 的方程为 y=0,此时 t=0, OS ? OT ? t OP 成立,故,t=0 符合题意。 当t ? 0时

8k ? ? tx0 ? x1 ? x2 ?1? 2 k 2 ? ty ? y ? y ? k ( x ? x ? 4 ) ? ? 4 k 得 0 1 2 1 2 ? 1? 2 k 2 ?
2



1 ?4k 1 8k 2 x0 ? ? , y0 ? ? ????? 2 t 1 ? 2k 2 t 1 ? 2k

10 分

将上式代入椭圆方程得:

32k 4 16k 2 ? ?1 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2
12 分

整理得: t ?
2

16k 2 1 ? 2k 2

由k ?
2

1 2 知0 ? t ? 4 2
14 分

综上所以 t∈(-2,2)?????


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