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2008数学分析(1)B


云南大学 2008 至 2009 学年上学期

数统学院

2008 级

《数学分析(1) 》期末考试(闭卷)试卷 B 满分 100 分 学院: 考试时间:120 分钟 专业: 学号: 任课教师: 姓名:

题 号 得 分











总 分

一、 (15 分)判断题(共 5 小题,每小题 3 分,正确的打 √ ,错误的打 × )
1. 如果对任意 ε > 0 , 存在 N ,当 n > N 时,有 xn < ε , 则数列{xn } 是无穷小量.( 2. 对数列{xn } ,若 x2 k → a(k → ∞) , x2 k → a(k → ∞) ,则 xn → a(n → ∞) .( 3. 如果函数 f ( x ) 在 x 0 点连续,则 f ( x ) 在 x 0 点可导.( ) ) ) )

4. 若 f ( x ) 在 x = g ( x 0 ) 可导,而 g ( x ) 在 x 0 不可导,则 f ( g ( x )) 在 x 0 必不可导。 ( 5. 若 f ( x ) 在 x 0 不可导,则 f (x ) 在 x 0 必不取极值。 ( )

二、 (15 分)填空题(共 5 小题,每小题 3 分)
1. 若 函 数 f ( x + 2. lim sin x sin
x→ ∞

1 1 ) = x2 + 2 , 则 f ( x) = x x



1 = x
1? n

。 。 , 主要部分

3. lim (
n → +∞

n ) n ?1

=

4. 当 x → 0 时 , 无 穷 小 量 1 ? 2 x 3 ? 1 + 2 x 3 的 阶 为 是 5.当 k = 。
1 ? ?(1 + x) x , x > 0 为连续的 。 时, 函数 f ( x) = ? ? k + x, x ≤ 0 ?

1

三、 (40 分)计算题(共 4 小题,每小题 10 分)
1. 求下列极限 (1) lim
n→ ∞

(

n +1 ? n + n )

(2)

x→ +0

lim x sin x

2. 计算下列不定积分 (1)



1 + ln x dx ( x ln x ) 4

(2)

∫ sin (ln x) dx

x 3.设函数 y = y(x) 由方程 y e + ln y = 1 确定,求 y ′ ( 0 ), y ′′ ( 0 ) 。

2

? sin x , x≠0 1 ? ?1 + e x 4. 设 f ( x) = ? ? ? 0, x = 0 ? (1) 讨论f ( x )的连续性; (2) 试求 f ( x) 在 x = 0 处的左、右导数, 并讨论 f ′( x) 的连续性.

四、 分)欲做一个容积为 300 立方米的无盖圆柱形蓄水池,已知池底单位造价为周围 (9
单位造价的两倍。问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低。

3

五、 (21 分)证明题(共 3 小题,每小题 7 分)
x 1.证明:函数 f ( x ) = 2 sin

1 在 ( 0 , 1) 内非一致连续。 x

2.证明: 当0 < x < 1, 1 + ln x < x < sin

π
2

x.

3.若函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 连续,在 ( a , b ) 可导,且 f ( a ) = f (b ) ,试证:在 ( a , b ) 内至少存 在一点ξ,使得 f ′ (ξ ) = f (ξ ).

4


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