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01第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算


第 四章

平面 向量 、 数系 的扩 充与 复数 的引 入

第 一 节 平面 向量 的概 念及 其线 性运 算

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1.了解向量的实际背景.

/>2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义,理 解向量的几何表示. 3.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.掌 握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线

的含义.
4.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

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? ??? ??? ? ??? ? ??? ? 1.在四边形ABCD中, AB = DC ,且 AC · =0,则四边 BD

形ABCD是 A.矩形 B.菱形

(

)

C.直角梯形 D.等腰梯形 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 解析:∵ AC · =0,∴ AC ⊥ BD ,即AC⊥BD. BD ? ??? ??? ? 又 AB = DC ,∴四边形ABCD是菱形.

答案:B

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2.(2011· 四川高考)如图,正六边形 ? ??? ??? ??? ? ? ABCDEF 中, BA + CD + EF = ( ) ??? ? A.0 B. BE ??? ? ??? ? C. AD D. CF ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? 解析:由于 BA = DE ,故 BA + CD + EF = CD + DE + ? ??? ??? ? EF = CF .

答案:D

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3.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则

向量a-b可表示为
A.3e2-e1 B.-2e1-4e2

(

)

C.e1-3e2

D.3e1-e2

解析:连接a,b的终点,并指向a的向量是a-b.

答案:C

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4.已知|a|=3,|b|=5,且 a=λb,则实数 λ 的值是____ __. 3 解析:∵a=λb,∴a 与 b 共线,λ=± . 5 3 答案:± 5

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5.已知 3x+4y=a,2x-3y=b,其中 a,b 为已知向量,则向 量 x=________,y=________.

3 4 ? ?3x+4y=a ?x=17a+17b ? 解析:由? 得? ?2x-3y=b ? ?y= 2 a- 3 b 17 ? 17 3 4 2 3 答案:17a+17b 17a-17b

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1.向量的有关概念 名称 向量 定义 既有 大小 又有 方向 的量叫做向量,向量的大小 叫做向量的 长度 (或称 模 ) 长度为零 的向量叫做零向量,其方向是 任意 的, 零向量记作 0

零向量 单位向 量

长度等于 1 个单位的向量

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名称

定义

方向相同或 相反 的 非零 向量叫做平行向量,平 平行向量 行向量又叫 共线 向量.规定:0与任一向量 平行 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 相反向量 长度 相等 且方向 相反 的向量

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2.向量的线性运算 向量 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律:

运算

加法

求两个向量
和的运算

a+b= b+a . (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c).

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向量 运算

定义 求a与b的相反

法则(或几何意义)

运算律

减法

向量-b的和 的运算叫做a 与b的差

a-b=a+(-b)

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向量 运算

定义

法则(或几何意义) (1)|λa|=|λ||a| .

运算律 λ(μ a)= (λ μ) a ;

求实数λ与
数乘 向量a的积 的运算

(2)当λ>0时,λa与a

的方向 相同 ;当λ< (λ+μ)a= 0时,λa与a的方 λa= 0 .

λa+μ a ;

向 相反 ;当λ=0时, λ(a+b)=
- λa+λb .

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3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的 充要 条件是存在唯一一个实
数λ,使得 b=λa .

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[做一题] [例1] 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a=b;
??? ? ??? ? ②若A,B,C,D是不共线的四点,则 AB = DC 是四边形

ABCD为平行四边形的充要条件; ③若a=b,b=c,则a=c;

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④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b; ⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.

其中正确命题的序号是
A.②③ C.③④ B.①② D.④⑤

(

)

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[自主解答]

①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方

向不一定相同. ? ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? ②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC , 又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边 ??? ? ??? ? 形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则 AB ∥ DC 且 ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? | AB |=| DC |,因此, AB = DC .

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③正确,∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同;
又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同, ∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c. ④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能 得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是

必要不充分条件.
⑤不正确.考虑b=0这种特殊情况. [答案] A

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[悟一法] 1.着重理解向量以下几个方面: (1)向量的模;(2)向量的方向;(3)向量的几何表示;

(4)向量的起点和终点.
2.判定两个向量的关系时,特别注意以下两种特殊情况: (1)零向量的方向及与其他向量的关系; (2)单位向量的长度及方向.

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[通一类] 1.判断下列命题是否正确,不正确的说明理由. (1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b; (2)若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或

相反;
(3)由于0方向不确定,故0不能与任意向量平行; (4)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等 向量.

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解:(1)不正确.因为向量是不同于数量的一种量,它由

两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比
较大小,故(1)不正确. (2)不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,不能判 断方向. (3)不正确.由零向量性质可知零向量与任一向量平行.

(4)正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向,是可
以任意平行移动的.

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[做一题] [例2] 如图,在△OAB中,延长BA到C,

1 使AC=BA,在OB上取点D,使DB= 3 OB. ??? ? ??? ? 设 OA =a,OB=b,用a,b表示向量 OC , ??? ? DC .

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? ? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? OC = OB + BC = OB +2 BA = OB +2( OA - [自主解答] ??? ? ? ??? ??? ? OB )=2 OA - OB =2a-b ??? ? ??? ??? ??? 2 ??? ? ? ? ? DC = OC - OD = OC - OB 3

2 =(2a-b)-3b 5 =2a-3b.

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[悟一法] 在向量化简或求向量时要尽可能将涉及的向量转化

到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角
形法则求解.有时还应充分利用平面几何的一些性质定 理,如三角形中的中位线定理,相似三角形对应边成比 例等平面几何的知识.

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[通一类]

??? 2.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足 PA+ ? ??? ??? ??? ? ? ( ) PB + PC = AB ,则点P与△ABC的关系为
A.P在△ABC内部 B.P在△ABC外部 C.P在AB边所在直线上 D.P是AC边的一个三等分点

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? ??? ??? ??? ??? ? ? 解析:∵ PA+ PB + PC = AB , ? ??? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ∴ PA+ PB + PC = PB - PA,∴ PC =-2 PA=2 AP ,

∴P 是 AC 边的一个三等分点. 答案: D

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[做一题] [例3] 设两个非零向量a与b不共线, ??? ? ??? ? ??? ? (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),求证:A、 B、D三点共线. (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

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[自主解答] ??? ? CD =3(a-b), ? ? ??? ??? ??? ? ∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b), =2a+8b+3a-3b ??? ? =5(a+b)=5 AB . ??? ??? ? ? ∴ AB 、 BD 共线, 又∵它们有公共点B, ∴A、B、D三点共线.

??? ? ??? ? (1)∵ AB =a+b, BC =2a+8b,

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(2)∵ka+b与a+kb共线,

∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.
∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a、b是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.

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本例(1)中,条件不变,试判断 A、C、D 三点是否共线,并说 明理由.

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解:A、C、D 三点不共线. ??? ? ∵ AB =a+b,BC=2a+8b, ??? ??? ??? ? ? ? ∴ AC = AB + BC =a+b+2a+8b=3a+9b. ??? ? 而 CD =3a-3b, ??? ? ??? ? 假设存在 λ∈R,使得 AC =λ CD , 即 3a+9b=3λa-3λb.
?3=3λ, ? 则? ?9=-3λ ?

显然满足上述条件的实数 λ 不存在,故 A、C、D

三点不共线.

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[悟一法] 1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向

量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有
公共点时,才能得出三点共线. 2.向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a +λ2b=0成立,若向量a,b不共线,则当且仅当λ1=λ2 =0时λ1a+λ2b=0成立.

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[通一类] 3.设两个非零向量e1和e2不共线. ??? ? ??? ? ??? ? (1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2, 求证:A、C、D三点共线; ??? ? ??? ? ??? ? (2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, CD =2e1-ke2,且 A、C、D三点共线,求k的值.

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??? ? ??? ? ??? ? 解:(1)证明:∵ AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1

-2e2, ??? ??? ??? ? ? ? ∴ AC = AB + BC =4e1+e2
? 1 1 ??? =-2(-8e1-2e2)=-2 CD , ? ??? ??? ? ∴ AC 与 CD 共线. ? ??? ??? ? 又∵ AC 与 CD 有公共点 C,

∴A、C、D 三点共线.

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??? ??? ??? ? ? ? (2) AC = AB + BC =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, ? ??? ??? ? ∵A、C、D三点共线,∴ AC 与 CD 共线,从而存在实数λ使
?3=2λ, ??? ? ??? ? ? 得 AC =λ CD ,即3e1-2e2=λ(2e1-ke2),得? ?-2=-λk, ?

3 4 解得λ=2,k=3.

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[热点分析] 向量的概念、线性运算及共线问题是本节经常考查的 内容,且多以选择题、填空题的形式考查,属于中低档题 目.2011年山东高考将对向量共线的理解及应用与新定义问

题相结合,考查了考生分析解决问题的能力以及推理论证
能力,是高考命题的一个新方向.

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[考题印证] (2011· 山东高考)设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两 ????? ????? ????? ????? 不同的四点, A1 A3 =λ A1 A2 (λ∈R),A1 A4 =μ A1 A2 (μ∈R), 若 1 1 且 λ +μ=2,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2.已知平面上的点 C(c,0),D(d,0)(c,d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说 法正确的是 ( )

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A.C可能是线段AB的中点 B.D可能是线段AB的中点 C.C,D可能同时在线段AB上 D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上

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[考题巧解]————————(一样的结果,更简洁的过程) [巧思] 答案. 解决本题, 很难根据已知条件直接推出正确结论, 因此 可考虑排除法及反证法,逐项分析,排除错误选项,得到正确
??? ? ??? ? [妙解] 依题意,若 C,D 调和分割点 A,B,则有 AC =λ AB , ??? ? ??? ? 1 1 =μ AB ,且 λ +μ=2. AD ??? 1 ??? ? ? 若 C 是线段 AB 的中点,则有 AC =2 AB , 1 1 1 1 此时 λ=2.又μ+ λ=2,∴μ=0,不可能成立.

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因此选项A不正确,同理B也不正确. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 若C,D同时在线段AB上,由 AC =λ AB , AD =μ AB 知0<λ< 1 1 1 1 1,0<μ<1,此时 λ + μ >2,与已知 λ + μ =2矛盾,因此选项C不 正确.
??? ? ??? ? 若C,D同时在线段AB的延长线上,则 AC =λ AB 时,λ>1,

??? ? ??? ? 1 1 1 1 AD =μ AB 时,μ>1,此时 λ + μ <2,与已知 λ + μ =2矛盾,故
C,D不可能同时在线段AB的延长线上.

[答案] D

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1.平面向量a,b共线的充要条件是 A.a,b方向相同 B.a,b两向量中至少有一个为0 C.存在λ∈R,使b=λa D.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0

(

)

解析:a,b共线时,a,b方向相同或相反,故A错.a, b共线时,a,b不一定是零向量,故B错.当b=λa时,a,

b一定共线,若b≠0,a=0,则b=λa不成立,故C错.排
除A、B、C. 答案:D

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a b 2.已知向量 p=|a|+|b|,其中 a、b 均为非零向量,则|p| 的取值范围是 A.[0, 2] C.(0,2] B.[0,1] D.[0,2] ( )

a b 解析:|a|与|b|均为单位向量,当它们同向时,|p|取得最值 2, 当它们反向时,|p|取得最小值 0.故|p|∈[0,2].

答案:D

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? ??? ? ??? ??? ? 3.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若 AD =2 DB , CD

??? ? 1 ??? =3 CA +λ CB ,则λ等于

( 1 B.3 2 D.-3

)

2 A.3 1 C.-3

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解析:如图所示. ??? ??? ??? ? ? ? ∵ CD = CB + BD
??? 1 ??? ? ? = CB +3 BA ??? 1 ??? ??? ? ? = CB +3( CA - CB ) ? 1 ??? 2 ??? =3 CA +3 CB

2 ∴λ=3 答案:A

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???? ???? ???? ??? ? 4.已知△ABC和点M满足 MA + MB + MC =0.若存在实数m使得 AB ??? ? ???? ? + AC =m AM 成立,则m=________.

???? ???? ???? ???? 解析:设D为BC中点,由 MA + MB + MC =0得 MA + ???? 2 MD =0,∴D、M、A三点共线且M为AD的靠近D的三等

? 1 ??? ??? ? ???? 2 ??? 2 1 ??? ??? ? ? ? ? 分点,∴ AM =3 AD =3×2( AB + AC )=3( AB + AC ),∴

m=3.

答案:3

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??? ? ??? ? 5.已知 a,b 是不共线的向量,若 AB =λ1a+b,AC =a+λ2b(λ1,

λ2∈R),则 A、B、C 三点共线的充要条件为_____.
? ??? ??? ? 解析:A、B、C 三点共线? AB ∥ AC ?λ1λ2-1×1=0?

λ1λ2=1.

答案:λ1λ2=1

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