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物理竞赛精品课件:天体运动


?轨道定律 开普勒三定律 ?面积定律 ?周期定律
b

t3 B
太阳 t4

行星 A

t2 a t1

万有引力定律

牛顿运动定律
机械能守恒

GMm F? 2 r 2 2 GMm v ? 2? ? ? m ? m? r

? 2 r r ? T ?

a ? kT
3

2

极地轨道

其它轨道

赤道平面轨道

中心天体半径R0

轨道半径R
a?g? GM R2

与轨道半径关系

加速度 速度 周期

GM a0 ? g0 ? 2 R0
GM v0 ? R0 g0 ? R0

a?

1 R2

GM v ? Rg ? R

v?

1 R

3 R R3 R0 R0 T ? 2? ? 2? T ? 2? ? 2? g GM g0 GM

T ? R3

角速度 ? ?

g0 GM ? 3 R0 R0

??

g GM ? R R3

??

1 R3

GMm F引 ? 2 R0 2 ? 2? ? F向 ? m ? R0 ? ? T ? 2 GMm ? 2? ? G? ? m? R0 ? 2 T ? R0 ? 2 ? 2? ? F向 ? m ? R0 cos ? ? ? T ?

ω m

F向
F引 F引 F向 m

地面上物体随地球自转所需向心力只是地心引力极小一部分 天上卫星绕地球转动所需向心力由全部地心引力提供!

★模型特征:
两颗相近的天体绕它们连线上的某 vm 点(质心O)以共同的角速度做匀速 m 圆周运动 .

ω
Rm ORM M vM

★模型规律:
之一:两天体做圆周运动的向心力均为两天体间的万有引 力,大小相等,即 mR ? 2 ? MR ? 2
故有
Rm M ? RM m
M ? R ? L ? ? m M ?m ? ?R ? m L M ? M ?m ?

m

M

之二:∵角速度相同,即 vm ? v M , ? vm ? M Rm RM vM m a M m ? 之三:∵两天体做圆周运动的向心力大小相等, 之四: 之五:双星系统动量守恒
3 GMm M ? 2? ? L 由 ? m? ? M ? m L T ? 2? L2 T ? ? G ? M ? m?
2

aM

m

GM m ? 2? ? ? m? R? ? 2 R ? T ? 4 3 G? ? ? R 2 4? 3 ? R 2 2 T R

2

3? ?? 2 GT

如图所示为地球绕太阳运行示意图,图中椭圆表示地球公 转轨道,Ch、Q、X、D分别表示中国农历节气中的春分、秋分、夏至、冬至时 地球所在的位臵.试说明,一年之内秋冬两季比春夏两季要少几天的原因.

Q

由面积定律:

Q

1 1 va ? ?t ? a ? vb ? ?t ? b D 2 2

t3
b
D

行星 A

B
太阳 日



t2 a t1
X

va ? a ? vb ? b
?a ? b

t4

Ch

地球公转轨道平面

X

va ? vb

Ch

地球公转轨道平面

对北半球而言,在冬季过近日点,夏季过远日点

某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察 者,他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星,试问,春分那天 (太阳光直射赤道)在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此 卫星?已知地球半径为R,地球表面处的重力加速度为g,地球自转 周期为T,不考虑大气对光的折射. 同步轨道半径设为R1

R1 由T ? 2? g1

T 2 R2 g ? R1 ? 4? 2
3

R1

θ



R

同步卫星轨道在影区的弧所对圆心角2θ,有

? ? sin
3

?1

因卫星在影区、不反射阳光而看不到的时间为

? t? T ? ?

sin ?1

4? 2 R 2 gT

R R1

?

T

侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行, 它的运行轨道距地面高度为h,要使卫星在一天的时间内将地面上 赤道各处在日照条件下的全部情况全都拍摄下来,卫星在通过赤道 上空时,卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少? 设地球半径为R,地面重力加速度为g,地球自转的周期为 T. 3 R?h

极地卫星周期为

Th ? 2?

?

?

R2 g
n?

每昼夜卫星经日照下的赤道的次数为

T Th

每次应拍摄
2? R 4? l? ? n T
2

? R ? h?
g

3

电视转播用的“地球同步卫星”的轨道高度为h, 转动周期为T0;卫星定位系统用的某“移动卫星”沿通过地球的南 北两极的圆形轨道运行,离地面高度为H,地球半径为R0 .⑴该移 动卫星连续两次通过地球北极点上空的时间间隔是多少?⑵该移动 卫星某时刻恰位于经度为0度的赤道上空,那么它下一次通过赤道上 3 2 2 GMm 2 ? ? R ? h2 ? ? ? T ⑴ 由 空时,下方地面的经度是多少? ? mr 知 ?

⑵移动卫星经半周期又通过赤道上空,此间地 球自转了θ角,有 3

? R ? h2 ? 故T ? ? ? T0 ? R ? h1 ?

r

2

?T ? ? 3?

T

2 0

? ? ? R ? h1 ?

180

?

2? T ?? ? T0 2

? R ? h2 ? ? ?? ? ? ? R ? h1 ?

卫星下方地面处于东经

3 ? ? ? 1 ? ? R ? h2 ? ? ? 180? ? ? ? ? R ? h 1 ? ?

0

要使一颗人造地球通讯卫星(同步卫星)能覆盖 赤道上东经75.0°到东经135.0°之间的区域,则卫星应定位在哪个 经度范围内的上空?地球半径R = 6.37×106m.地球表面处的重力加 速度g = 9. 80m/s2.

R R T0 ? 2? ? 2? ? 2 g R0 g0
2 2 T 0 R0 g 3 R? 4? 2

3

?

3

10 24 ? 3600 ? 64 ? 10 ? 10 ? ? ? ? 2 2

? 4.2 ? 10 km
4

4? 2
解答

同步轨道半径设为R同步,其覆盖经度范围的几何关系如图:
R
?

读题

156 ?

R同步

54?

? ? cos
? ?

?1

R R同步
?

? cos

?1

6.37 ? ? 81 42.0
? ?

恰能覆盖东经75°的卫星定位:

恰能覆盖东经135°的卫星定位:

75 ? 81 ? 156

135 ? 81 ? 54

?

地球质量为M,半径为R,自转角速度为ω,万有引力恒量 为G,如果规定物体在离地球无穷远处势能为0,则质量为m的物体离地心距离为r 时,具有的万有引力势能可表示为.可供航天员居住与进行科学实验的空间航天 站离地面高度为h,若在该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星,使其能到达 3 地球同步轨道并能在轨道上正常运行,则该卫星在离开空间站时必须具有多大的 GM

? ? R0 得 R0 ? 动能? 2 R0 GMm 卫星在同步轨道的引力势能为 E p同 ? ? 2 R0 GMm GMm v 动能: 由 Ek同 2 ? ?m R0 2 R0 R0 GMm 卫星在空间站的引力势能为 E p空 ? ? R?h GMm GMm GMm 由机械能守恒: Ek 空 ? ? ? R?h 2 R0 R0
同步轨道半径设为R0: 由
2

GM

?2

Ek 空

? 1 ? ? GMm ? ? ? R?h

3

? ? ? 8GM ? ?
2

根据对某一双星系统的光学测量确定,该双星系统中每个 星体的质量都是M,两者间相距L,它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.⑴试 计算该双星系统的运动周期;⑵若实验上观测到运动周期为,且T ? :T ? 1: N,为了 解释两者的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在暗物质.作为 一种简化的模型,我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗 物质,而不考虑其它暗物质的影响,试根据这一模型和上述观察结果确定该星系

(1) 间这种暗物质的密度. 2



GM L2

? 2? ? L ? M? ? 2 T ? ?
M
3

2

L3 ? T ? 2? 2GM
G M2 L
2

F星 F暗
L
? L N? ? 2
2

M

?G

4 ? L? M? ? ? ? 3 ? 2? ? L? ? 2? ? ?
2

? 2? ? M? ? T

? ? ? N ? 1?

3M 2? L
3

天文学家根据观察宣布了下列研究成果,银河系 中可能存在一个大“黑洞”,距黑洞60亿千米的星体以2000km/s的 速度绕其旋转,接近“黑洞”的所有物质即使速度等于光速也被 “黑洞”吸入,试计算“黑洞”的质量和最大半径.

(1)由

GM 黑 m L
2

v ?m L

2

Rmax

可得 M黑 ? 3.6 ? 10 kg 2 GM 黑 (2) v ? c ? 逃 R 2GM 黑 2 ? 6.67 ? 10?11 ? 3.6 ? 1035 ? ? 2 16 C 9 ? 10
35

? 5.3 ? 10 m
8

“大爆炸学说”认为:宇宙是很久以前发生的一 次大爆炸使聚集于某处的物质分离开来而成的,直到现在,这大爆 炸的“碎片”──宇宙中的各星系仍在以不同的相对速率相互远 离.观察表明:离我们越远的星系远离我们飞去的速度越大.例如, 牧夫座内一星云离我们银河系的距离为2.74×109 Ly(Ly为“光年”, 而1 Ly=9.46×1015 m),它正以3.93×107 m/s的速率飞离银河系.若 大爆炸后形成的各星系分别是以不同的速率从大爆炸前物质的聚集 处沿各个方向匀速飞离,则在下列两种情况下求宇宙的年龄 T. ⑴ 8 s s 2.74 ? 109 ? 9.46 ? 1015 ? 210 ? 10 a (1) t ? ? ? s 假设大爆炸后银河系与牧夫座的那个星云分别以速率 V 和 V 沿相反 1 2 v1 ? v2 v相 3.93 ? 107 方向飞离大爆炸前物质的聚集处;⑵假设大爆炸后银河系与牧夫座 θ ⑵两天体分离速度成角度时, 的那个星云分别以速率 V1和V2沿夹角为θ的两个方向飞离在大爆炸前 v1 相对速度情况如图所示 物质的聚集处. v2 v相对 9 15

s 2.74 ? 10 ? 9.46 ? 10 t? ? s 7 v相 3.93 ? 10

? 210 ? 10 a
8

地、月在相互间的万有引力作用下,绕它们的连 线上的一点C做等角速度的转动.太空城的首选位臵在月球轨道上与 月球及地球等距的地方,如图所示.这里,太空城在地、月引力共 同作用下,相对于地、月均处于平衡.试证明,太空城在这里所受 地、月引力的合力作用线指向C. 设地球质量为M1,月球质量为M2 , 地球与月球间距离为R,如图 地球 C 设太空城所受合力作用线与地、月连 月球 线的中垂线夹角为α,太空城所在位臵和C 点的连线与中垂线夹角为β,则 ? GM1 GM 2 ? ? ? cos 60 太空城 ? R2 2 ? M ? M R ? 1 2 tan ? ? ? ? ? GM1 GM 2 ? M2 3( M1 ? M 2 ) M1 ? C ? sin 60 ? R2 2 ? R ? M2 R? ? R ? F ? R M1 ? M 2 2 M1 ? M 2 ? tan ? ? F1 ? F2 3( M1 ? M 2 ) 3 R 60° 60° 2

估算空间太阳能电站一昼夜间由于被 地球遮挡而不能发电的最长时间.取地球本影长为地 球半径的216倍,同步轨道高度为地球半径的5.5倍.
cos
?1

R0 ?1 R0 ? cos nR0 R

?

t ? T0

1 ?1 1 cos ? cos 216 6.5 ? 24 ? 60min t?
?1

?

? 61 min
nR0

R0 日

卫星





R

和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动,火星轨道半径约为地球 轨道半径R0的1.5倍,简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步 进行:第一步,在地球表面用火箭对探测器进行加速,使之获得足 够动能,从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造行 星;第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机,在 短时间内对探测器沿原方向加速,使其速度增加到适当值,从而使 得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半 个椭圆轨道正好射到火星上,如图甲.当探测器脱离地球引力并沿 地球公转轨道稳定运行后,在某年3月1日零时测得探测器与火星之 间的角距离为60°,如图乙所示.已知地球半径为:Rr=6.4×106 m; 3 3 地球公转周期为:Te=365天, (时间计算仅需精确到 ?1.5? ? 1.840; ?1.25 ? ? 1.400 日)⑴求出火星的公转周期和探测器沿半个椭圆轨道运动的时间; ⑵通过计算说明在何年何月何日点燃探测器上火箭发动机方能使探 测器恰好落在火星表面?
火星 飞船 太阳 探测器
60 o

估算从地球表面向火星发射火星控测器.设地球

地球

地球




解答

则探测器沿半椭圆运动时间为

Te2 Re3 3 ? ? T ? 1.25 Te ? 511 日 探 3 2 T探 ? R火 ? Re ? ? ? 2 ? ?

⑴由开三律: 2 3 Te Re 3 ? 3 ? T火 ? 1.5 Te ? 671 日 2 T火 R火

读题

t ? 255日

⑵探测器沿半椭圆运动时间内火星通过的角度为

则探测器开始进入椭圆轨道的位置应与火星的角距离成43°!

360? ? ?? ? 255 ? 137 671

从3月1日探测器与火星的角距离成60°经38天到4月8日时

? 360? 360? ? ? 由? ? ? ? ?t ? 17 ? 365 671 ?

?t ? 38日

成 43°

1 GMm 2 E ? mv0 ? 2 r

v0 a e d

E?0
vd ?

E?0

2GM r

b

c

GM vb ? r E ? 0 v ? 2GM e r

轨道与 能量

引力势 能

1 2 GMm E ? mv0 ? ? 恒量 2 r 示例

轨道与 能量

两个天体相互作用过程中,如果其它星系离它们很遥远,对它们的作 用可以忽略的话,这两个天体的总动量守恒,两个天体从相距很远到相互 作用直到远离,它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组,那么在它们相互 作用的前后相对速度遵守“反射定律”,如果是一维方向上的“弹性碰 撞”,则相对速度等值反向.若一个飞船向外喷气或抛射物体,则系统的 动量守恒而机械能不守恒. 角动量

若作用在质点上的力对某定点的力矩为零,则质点对该定点的角动量保 持不变,这就是质点的角动量守恒定律.物体在受有心力作用而绕着中心天 体运动,或几个天体互相绕其系统质心运动时,由于有心力必过力心,对力 模型与 心的力矩为零,故系统的角动量守恒.即 mvr sin? ? 恒量 . 方法

?

返回

物体只在引力作用下绕中心天体运行,其机械能守 恒.引力是保守力,引力场是势场,在平方反比力场 中,质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置.
在中心引力场中,m从 A1移至无穷远处,引力
做负功为:
n

rn

M

r1

m A1 A2 A3

An

n n ?1 1 ? GMm ri ? 1 ? ri ? ? ? GMm lim ? ? ? W ? lim ? 2 ? ri ? 1 ? ri ? ? GMm lim ? ? n ?? n ?? ?ri ? 1 ? n ?? i ? 1 ? ri ri ri ? ri ? 1 i ?1 i ?1 ?1 1 1 1 1 1? 1 1? ? GMm lim ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? GMm ? ? ? ? n ?? r r r r r r n ?1 n ? ? 1 2 2 3 ? r1 rn ?

以无穷远处为零引力势 能位置,物体在距中心 天体r远处的引力势能为

GMm Ep ? ? r

返回

矢量r称位置矢量,或称矢径
绕定点圆运动质点的(线)动量为
O

r

m p

p ? mv 方向总是与矢径r垂直

定义: 质点动量大小mv与矢径大小r的乘积为质点对
定点(圆心)O的角动量:L=pr 当p与r方向不垂直而成角度θ:

角动量大小L ? pr sin? 等于动量大小与O点到动量矢 量p的垂直距离的乘积 ;方向 遵守右手定则,矢量定义式为

θ p

A r O

L ? r ?p

两面元质量各为 M M ? ? ?S1 ? ? ? S ? ? ? S ? ? ?S2 1 2 2 2 4? r 4? r r1 ?S1 ?1 两面元对壳内质点m的引力各为
F1 ? G

??

r2
?2

?S2

m r O

? ? ?S1 ? m ? ? ?S2 ? m , F ? G 2 r12 r22

由几何关系:?S1 ? cos ?1 ? r12 ? ??
?S2 ? cos ? 2 ? r22 ? ??

F1 ? F2

整个球壳对球壳内物 质的万有引力为零!

M

返回

对于一个质量均匀半径为R 的实心球,在距球心r(<R) 处质点只受半径为r的球内质量 的万有引力,而r以外球壳(即 R为外径r为内径的球壳)则对 质点无引力的作用. 距球心r处所臵质点受到引力大小

m R r

? r3 ? ? 3 M ?m Mm R ? ? ?G 3 r F ?G 2 R r
距球心r处所臵质点的引力势能

M

Mm R ? r GMm 由G 3 ? ??R ? r? ? ? ? E p E ? G Mm r 2 ? 3 R 2 R 2 R p 3

2R

?

?

? ? ?

理想化方法
轨道极限模型

矢量法与微元法

专题11-例1 试推导地球上的第三宇宙速度v3.
地球质量M 太阳质量MS 地球半径R 日地距离r 物体质量m 2 v GMm GM 第一宇宙速度v1: 由 1 ? m v1 ? ? 7.9 km/s 2 R R (地球环绕速度) R GMm 1 2 第二宇宙速度v2: 由能量守恒 ? mv2 R 2 2GM (地球逃逸速度) v2 ? ? 11.2 km/s R 第三宇宙速度v3: 原处于太阳系中地球轨道位臵的物体离 (太阳逃逸速度) 开太阳系所需“逃逸速度”
2GM s ? 42.1km/s r 这是以日为参照物之速度,而地球对太阳的公转速度 =29.8 km/s;则以地球为参照物,这个速度为 v ? ? v 2 地日 2 GMm 1 2 由能量守恒: 1 mv3 ? ? v地日 ? ? ? m ? v2 2 R 2 2 2GM ? ? v地日 ? ? 16.5km/s v3 ? ? ? v2 R ?? v2

?

?

要发射一台探测太阳的探测器,使其与地球具有相同的绕日运 动周期,以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料.由地球发射这样一台 探测器,应使其具有多大的绕日速度?

专题11-例2

b R 取发射时的一小段时间Δt R vp

1 ?s圆 ? ? ?t ? v0 ? ?t ? R v 0 T 2 1 ? Rb ?s 橢 ? ? ?t ? vP ? ?t ? b T 2
2

?R

v p ? v0

时落回离发射场不远处.空气阻力不计,试估算火箭飞行的时间, 地球半径取R0=6400 km.

专题11-例3 火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射,返回
火箭矢径的“面积速度”为:

V?

? bR0
T

?

? bR0

火箭飞行期间矢径扫过的面积:

R0 2? g

v1

S?

? bR0
2

R0 S 则 ?t ? ? ? ? ? 2 ? V g

2bR0 ? 2

? 4.1 ? 10 s

?3

H表示最高点离地球表面的距离,R表示地球半径,M表示地球质量, G为万有引力恒量,不计空气阻力,从考虑万有引力是“平方反比 力”出发,确定时间T的数学表达式. 从考虑万有引力出发,物体在 平方反比力作用下所做的“竖 直上抛运动”,其轨迹应是以 地心为焦点的一个狭长的椭圆 上的一部分,该椭圆的长轴可 取作R+H,该椭圆是许多绕地 卫星可能的开普勒轨道中的一 个,如图示: v1

专题11-例4 竖直上抛运动中,以T表示到达最高点所用时间,以

H

R

设在这样的轨道上运动的 物体的运行周期为T′,
物体的“面积速度”为:

地心

? b? R ? H ? V? T?

续解

物体运动的周期与“贴地”卫星周 3 期关系由开三律:

读题

T ? ? H ? R ?2 ?? T0 ? 2 R ? ?

T? ? ? ?R ? H ?

R? H 2GM

物体的“面积速度”为V : ? b 2GM R? H 物体飞行期间矢径扫过的面积: 读图

S ? S? ? S
2 2 x y 由椭圆方程 ? ?1 2 2 b ? R? H ? ? 2 ? 2 RH ? ? x? b R? H

y
? R? H ? ? x, 2 ? ? ?

? b, 0 ?

x

1 2 RH S? ? 2 xR ? bR 2 R? H

? R? H ? ?? ? S R? H 2 ? ? ? ? R? H S 2b ? b 2 其中
1 R? H ? R? H ? ?1 R ? H S ?? ? cos ? RH ? ? R? H 2 2 ? 2 ?
2

2

R? H cos R? H
?1

R? H R? H ?1 R ? H S ?b ? cos ? b RH ? 2 R? H R? H

R? H ?1 R ? H R ? H ?? R? ?H H ?? R? H bR cos b ?RH ? ?1 H 1 R S cos R ? ? b RH ? RH ? T? ? b 2 ?? cos ? H T ? 2GM 2 R? H R? H ? 2V ?

设想宇宙中有一由质量分别为m1、m2……mN的星体1、2…N构 成的孤立星团,各星体空间位臵间距离均为a,系统总质量为M.由于万有引力的 作用,N个星体将同时由静止开始运动.试问经过多长时间各星体将会相遇? 1

专题11-例5

设系统质心为O 星体1与i位矢如图

质点1在这个平方反比力作用下,在以O 为一个焦点,以ka/2为长半轴而短半轴逼近 于零的“椭圆轨道”运动.

Gm1 ? F1 ? a3 ??m1r1 ? m2r2 ? ?? mN rN ? ? m1 ? m2 ? ?? mN ? r1 ?? ?0 ?M 系统的角动量守恒 Gm1 M 3 Gm1mN F1 ? ? r1 ? ka ? ? 3 FN 1 ? r ? r ? ? N 1 a ? 2 ? 3 a3 T Gm1 ? k M ? ? ? t ? ? ? 设矢量r1大小r1=ka,F1 ? 3 2 2 G k ? M? r1
a3 Gm1 m3 F31 ? ? r3 ? r1 ? 3 a

Gm m 1 i 星体1与i的万有引力大小为 F ? i1 2 Gm1 mi a Fi 1 ? r ? r ? ? i 1 3 同理 a Gm1 m2
F21 ?

r1

a
i

质心
ri

? r2 ? r1 ?

a3 ?? 8GM

远点在木星轨道而绕日运行的彗星称为木星彗星,它的形成可 看成是从无限远处落向太阳的天体经木星吸引偏转而成为太阳的彗星,求其近日

专题11-例6

点.(已知木星的公转轨道半径为R)

理想化模型:从无限远处落向太阳的天体在木星轨道经与木
星发生“弹性碰撞”改变运动方向进入绕日轨道,如图.
2 v0 由G ?M 2 R R M日 得木星“碰撞”前速度为 v0 ? G R 由机械能守恒,从无限远处被 太阳吸引到木星轨道附近时速 度v满足1 mv 2 ? G M日m ? 0 2 R

M日M

木星轨道

v1
r
太阳

v0

v V

v? G

2 M日 R

? 2v0

与木星 “完全弹性碰撞” 过程速度矢量关系如图: 续解

“完全弹性碰撞”接近速 度与分离速度大小相等!
V接近 ? V分离 ? ? ? ? 而V分离 ? V ? v0

V接近

v0

?

2v0

?

2

2 ? v0

? 3v0

v
V V分离

?V ?

?

3 ? 1 v0

?

天体进入太阳彗星轨道,设其绕日轨道近日点距太阳r,过近日 点时速度为v1 读图

M m M m 由机械能守恒有 1 mV 2 ? G 日 ? 1 mv 2 ? G 日 1 2
由角动量守恒有

R mVR ? mv1 r ? v1 ? V r
3 ?1 r? R 2

R

2

r

如图所示,地球沿半径为R0的圆轨道绕太阳运动,彗星绕太阳 沿抛物线轨道运动.已知此抛物线与地球圆轨道一直径的两端相交,不计地球与 彗星之间的引力,试求彗星在地球轨道内的运行时间.

专题11-例7

y

y

解题方向

v0

C0

? 0, R0 ?
B
R0 ? ? 0, ? 2 ? ? ?

C0 C S O

准线
A

比较两天体 矢径扫过的 面积,比较 两天体“面 积速度”, 可得两天体 运行时间关 B 系!

y=R0 x

S0

v

C

S
A

O

? R0 ,0?

x

太阳、彗星、地球质量依次为M、m、m0

续解

彗星轨迹为抛物线,由机械能守恒,有关系式

而地球绕日运行有关系式

1 Mm 2 由 mv ? G ?0 2 R0 / 2

GM v?2 R0
2 v0 ? m0 R0

? 2v 0
GM R0

由G

Mm0
2 R0

v0 ?

设彗星以速率v通过其轨道顶点C历时Δt( Δt →0) 读图

地球以速率v0通过其轨道顶点C0历时Δt 0( Δt0 →0)

R0 1 ?S ? v ? ?t ? 2 2

?S R0 v R0 v0 ? ? ?t 4 2

1 ? S 0 R0 v 0 ?S0 ? v0 ? ?t0 ? R0 ? 2 ?t0 2 R0 2 2 2 S ? ? 2 R0 ? ? R0 3 2 3 S 4 1 于是有t ? t0 ? t0 ? 2 S0 ? ? R0 S0 3? 2

两者的“面积 速度”相同!

2 a 3?

一卫星在半径为r的圆形轨道上运动,旋转周期为T,如果给卫 星一个附加的径向速度un或一个附加的切向速度ut,卫星都将沿一个椭圆轨道运 动.⑴ 确定在上述二种情况中卫星的旋转周期.⑵ 所附加的径向速度un和切向速 度ut必须满足什么关系,才能使两种情况下,卫星旋转周期相等?

专题11-例8

中心天体质量为M、“远(近)地点”速度为V、矢径为rn(t) ⑴卫星在半径r轨道圆运动速度为v ? 2? r ? GM T r 卫星附加速度u为径向时 读图 v ? ? 1 1 1 1 r ? r 机械能守恒 ? v 2 ? u2 ? ? V 2 ? GM ? ? ? n v?u ? v v ? 2 2 r r 角动量守恒

v ? r ? V ? rn

?

n

?

对同一环绕中心,两轨道周期满足T

2 2 ? ? 4 ? r ? ? v n T ?T ? 2 2 ? ? 2 2 2 ? 2 ? n 4 ? r ? u T ? T v ? u ? 卫星附加速度u为切向时 ? ? v2 ?1 1 1 2 1 ? at ? 2 r ? v ? u ? ? V1 ? GM ? ? 2 ? v ? 2vu ? u 2 2 ? r 2at ? r ? 3 v ? r ? V ? rn ? ? 4? 2 r 2 2 2 2 2 ? ⑵要使Tn=T,根据开普勒第三定律,必有 Tt ? ? 4 ? r ? 4 ? ruT ? u T ? ?

2a ?? ? ?r 2n v ? u v ? u ? ? v an ? 2 r v ? u2
3

2

3

an=at,即有

2 v 2 ? un ? v 2 ? 2vut ? ut2

4? r u ?u ? ut T
2 n 2 t

小试

续解 卫星附加速度u为径向时 v u r
原轨道

卫星附加速度u为切向时 v u
原轨道

rn

2an rt 2at

变轨道

V
变轨道

V

设有两个地球人造卫星M和N沿同一椭圆 轨道运动,地球中心在这椭圆的一个焦点F上,又设M和 N 相距不远,因此可将椭圆弧看作直线.已知 MN 的中点 经近地点时MN=a,近地点到地心的距离为r,远地点到地 心的距离为 R ,求 M 、 N 的中点经远地点时两颗卫星间的 距离.

设在远地点时两卫星距离l

在同一轨道上,卫星面积速度相同

a? r ? l ? R
r l? a R

N r a
M

F

R

M N l

空间两质点的质量分别为m1和m2,彼此以万有引 力相互作用.开始时两质点静止,相距r0,在引力作用下彼此接近并 相碰,试求两质点从开始运动到相碰所经历的时间.

Gm1 m 2 r0 质心O 质点1与2的万有引力大小为 F21 ? 2 r 0 Gm1 Gm1 m 2 F21 ? ? r2 ? r1 ? ? r03 ? ? m1 r1 ? m2 r2 ? ? m1 ? m2 ? r1 ? ? 3 r0
令矢量r1大小r1=kr0,

设系统质心为O 质点1与2位矢如图 m 1

r1

r2

m2

? r1 ? 3 kr ? ? ?k? 0 ? T ? ? 2 ? ? ? 等效于中心质量k3 (m1+m2 ),两质点 t ? ?? 2 Gk 3 ? m1 ? m2 ? 各在以中心为焦点、到中心距离为 长轴的退化为直线的扁椭圆上向中 r0 3 ? ? 心运动,经半周期相遇,故 2 2G ? m1 ? m2 ?

F21 ?

Gm1 ? m1 ? m2 ? kr0 r0
3

?

r Gm1 ? m1 ? m2 ? k
2

??

Gm1 ? m1 ? m2 ?
3 0

r1
r12

?

Gm1 ? m1 ? m 2 ? k 3

一质点受一与距离3/2次反比引力作用而在一直线 上运动.试证此质点自无穷远处到达距力心a处时的速率与从a处由 静止出发,到达a/4处时的速率相同. k r A Fi ? 3 导出此力场中的势能公式: ri 2 在引力作用下质点从A点 M B A 向力心移到B点 r -r i i+1 rB 引力做元功为:W ? k ? r ? r ? i i i ?1 3 n ? 1 2 k 1 ? ri W ? lim r ? ri ?1 ? ? k ? ? ? 3 ? i 由从A移至B,引力做功为: AB n?? ? ? r ? i ?1 2 r A ? ? B ri ? 1 ? 1 k ri ? 1 ? 1 1 由机械能守恒, a 处时 2 ? 质点从无穷远处到达距力心 2 Ep ? ? 2 ? ri ? ri ? 1 ? 2 r ? ri ? ri ? 1 ? 1 1 r 22 ? 2k ? n n n 1 1 k ? ? mv ? v1 ? i 1 ? ? ? ? k lim ? a 12 ?k lim ? ? 1 m a 1 1 ?k lim ? 1 n ?? n ?? n ?? i ?1 i ?1 i ?1 2 2 2 v 2 2 ? v r ? r r ? r r r ? ? a处由静止出发,到达 / 4 处时 1 2 i ?1 i ?1 i i ?1 i i 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2 1 ? 1 1 ?? 1 2 k ? k lim ? ? ? ?? ? ? 2 1 1 ? k?? ? ? 1 mv2 1? v21 ? 1 n ?? ? 2 2 2 2 a 2 2 ? a2 r a2 ? r2 m ?? r r r r r r A 3 2 4 3 B n ?1 ? ? 2

有一个质量大而体积小的星球,一个物体离这个 星球的距离为r,物体从静止出发自由落向此星球,求物体落到这个 星球上经历多少时间?(已知星球的质量为M)

T 若周期为T,则自由下落到星球历时 t ? 2 设想同一环绕系统另有一物体在半径为r
的圆轨道运动,其周期

将此星球视作质点,落向此星球的物体的轨 道视作退化为直线的椭圆,其半长轴为 a ? r

2

根据开普勒第三定律
1 r3 T ? T? ? ? 8 2GM

r T ? ? 2? GM
t?

3

圆轨道

?
2

r 2GM

3

星球

根据某种假设,星球是由星际物质(宇宙尘埃) 在万有引力的作用下经压缩而成的.试估算由密度ρ=2×10-20g/cm3 的宇宙尘埃组成的巨大的云团到生成一颗星球需要多长时间?

取理想化模型:认为尘埃组成的巨大 云团是密度均匀分布的质点,每个质点自 由落向云团中心,最后密集成一颗星球, 星球形成所需时间即是最外层尘埃落至中 心的时间即 3

? r 3? t? ? 2 2GM 32G ?

3? ? s ?11 ?17 32 ? 6.67 ? 10 ? 2.0 ? 10

? 1.5 ? 10 s ? 48万年
13

如行星突然在其轨道上某处停止运动(假 定轨道为圆形)则将被吸引而至太阳,试求其所需时间, 设太阳的高斯常数(GM)为k,行星质量为m.

km 作用下绕日做半径为r F? 2 r 2 3 匀速圆周运动,则有 r k ? 2? ? T ? 2 ? ? r ? T ? 2 k r ? ?
设行星原在力

从距日为r处突然停止而被吸引向太阳的行星,其轨 道可视作退化为直线的椭圆,出发于远日点,经半个 r 周期(T′/2)到近日点,其半长轴为

a?

根据开普勒第三定律

T? ?

3 1 T? ? r T? ? t? ? 8 2 2 2k

2

r3 2k

某彗星的轨道为抛物线,其近日点距离为地球轨 道(假定为圆轨道)半径的1/n,求此彗星运行时,在地球轨道内停 留的时间.

解题方向比较两天体矢径扫过的面积,比较两天体“面 积速度”,可得两天体运行时间关系!

太阳、彗星、地球质量依次为M、m、m0
地球绕日运行有关系式

读图

GM v0 ? G 2 R0 R0 彗星轨迹为抛物线,由机械能守恒,有关系式 2GMn 1 Mm 2 v ? mv ? G ?0 ? 2nv0 R 2 R0 / n 0 设彗星、地球各以速率v和v0通过其轨道顶点历时各Δt( Δt →0)和 Δt 0( Δt0 →0)

Mm0

2 v0 ? m0 R0

?S R0v R0v0 R0 1 ? ? ?S ? v ? ?t ? ?t 2n 2 n 2n 1 ? S 0 R0 v 0 ?S0 ? v0 ? ?t0 ? R0 ? 2 ?t0 2

两者的“面积 速度”之比为

2 n

续解

y

返回

v0

C0

? 0, R0 ?
2 y ? R0 n

S0
v
C
R0 ? ? ? 0, n ? ? ?

S
B

O
2? ? ??1? ? R n? ?

x

A ? x, ? y ? 2 x? n ? 1R0 , n

y?

R0 n 2 ? x n 4 R0

续解

2 4 n?1 ? n? 2 1 ? 2 1 4 n?1 n? 2 2 S? ? ?? ? ? R0 ? ? ? R0 3 n n? 2 n n ? n
2 n ? 1 ? n ? 2? 2 ? ? R0 2 3 n 2 ? R0 ?S S t0 地球矢径扫过面积 S0 ? t t T0 S t ? 0 2 t ? t ? ? 2 ? 慧星从A到B时间由

读图

?S 0 S 0 n t 0 t0 n ?t 0 2 n ? 1 ? n ? 2 ? 2 n S0 ? ? R0 ? ? T0 2 2 3 2 ? R0 n S0 S0

t?

? n ? 2?

2n ? n ? 1 ?
2

3? n

a

如图,从地球发射火箭到火星去进行探测,发射后火箭绕太 阳椭圆轨道运行.为了节省能源,火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转的 速度方向一致,并且选择适当的发射时机,使火箭椭圆轨道的远日点为火星,轨 道近日点为地球.假定地球和火星均绕太阳做圆周运动,圆轨道半径分别为r与R, 忽略其它行星对火箭的作用,求火箭应以多大的对地速度离开地球?火箭到达火 星要用多长时间?

设太阳、火箭质量依次为M、m 由机械能守恒有

v1

地球轨道

1 Mm 1 Mm r R 2 2 mv1 ? G ? mv2 ? G 2 r 2 R 日 rv1 ? Rv2 由角动量守恒有 v2 GM 2GMR 火星轨道 v ? 对日速度 ! 地 v1 ? r ? r ?R ? r? GM ? 2 R ? 1 ? ? 火箭离地速度应为 v ? v1 ? v地 ? ? ? r ? R?r ? 3 到达火星的时间是 3 ? R?r ? 1 ? R?r ? T0 火箭运动半个周期T ? T ? ? ? t? ? 2r ? ? ?

2 ? 2r ?

假设地球是一个均匀球体,现在地球的东半球北纬30°的a 处开一个穿过地轴的直线隧道直通西半球北纬30°的b处,如图所示.已知地球的 半径是6370 km,地面的重力加速度g=9.8 m/s2,第一宇宙速度v1=7.9 km/s,假设 隧道光滑.现将一个物体以v=v1/3的初速度从a处抛入隧道,问物体从b处出来后能 飞离地面的最大高度是多少?

解题方向 考虑对称性,物体从b处飞出的速度大小为v1/3, 此后在地心引力作用下沿一椭圆轨道的远地椭圆弧运动; 由守恒定律求最大高度.
由机械能守恒有

v1 由角动量守恒有 R sin 30? ? V ? R ? h? V 3
注意到 v1
2

1 ? v1 ? GMm 1 GMm 2 m? ? ? ? mV ? 2 ? 3? R 2 R?h

2

v1 3

b h R R+h 30°

a

GM ? R

h ? 285km

有一航天器(不带动力装臵)自远方以速度v0射 向某一行星,计划在行星上着陆,如图示.如以b表示v0与行星的垂 直距离(称为瞄准距离),求b最大值为多少时,航天器可以在行星 上着陆.已知航天器质量为m,行星的质量为M,半径为R. 由机械能守恒有
m v0 b b R O

1 1 GMm 2 2 mv0 ? mV ? 2 2 R
2GM 2 ? V ? v0 ? R
由角动量守恒有

r

V

V

V V mv0 b ? mVr ? b ? r ? R v0 v0 2GM bmax ? 1 ? 2 R v0 R

如图,一质量为m=12 t的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋 转,其高度h=100 km.为使飞船降落到月球表面,喷气发动机在X点做一次短时 间发动.从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10 km/s.月球半径R=1700 km,月球表面上自由落体的重力加速度为g月=1.7 m/s2.飞船可用两种不同方式到 达月球:⑴到达月球上的 A点,该点正好与X点相对;⑵在 X点给一指向月球中心 ⑴按此方式,飞船椭圆轨道 X为远月点, A为近月点,XA 的动量后,与月球表面相切于B点.试计算上述两种情况下所需的燃料量.

为长轴,月心为焦点, 由牛顿草图可知,飞船在X点是向运动方向喷气减速而成 B
2

1 2 GM ? m ? ?m ? 1 2 GM ? m ? ?m ? ⑴ ? ? m ? ?m ? v A ? ? m ? ?m ? v X ? A 2 R? h 2 R

R g月 设飞船做圆运动时速率为v0 v0 ? R?h 由机械能守恒有

A

X A

X

v0
u

O



vX

X

由角动量守恒有

? m ? ?m ? v X ? R ? h? ? ? m ?2?m ? v A R
而GM月 ? R g月
v0 ? v X ? ? ?m ? m u

vA
vX ?

飞船喷气过程动量守恒:

mv0 ? ? m ? ?m ? v X ? ?m ? u ? v X ?

? R ? h?? 2 R ? h?
续解

2 g月R3

代入题给数据得:

?m ? 29kg

⑵按此方式,飞船向背离月球方向喷气后获得的指向月心 的速度vR,飞船在X点的速度变为 由机械能守恒有
2 2 vX ? v0 ? vR

读题

vB O

B

vX

v0
u

1 2 GM ? m ? ?m ? 1 2 GM ? m ? ?m ? ? ? m ? ?m ? vB ? ? m ? ?m ? v X ? 2 R? h 2 R

由角动量守恒有

vR

X

? m ? ?m ? v X ? R ? h?

v0
2 2 v0 ? vR

? ? m ? ?m ? v B R

而GM月 ? R 2 g月

vR ?

h2 g月 R?h

飞船喷气过程沿径向动量守恒:
2 h g月 m ?m ? u R?h

0 ? ? m ? ?m ? vR ? ?m ? vR ? u ?

? 116kg

质量为M的宇航站和与其对接上的质量为m的飞船一起沿圆 形轨道围绕地球运动着,其轨道半径为地球半径R的n倍(n=1.25).某一瞬间, 飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动,其最远点到地心的距离为 8nR.质量比m/M为何值时,飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇?(一般认 为M>m)

在半径为5R/4绕地圆轨道时宇航站及飞船速度 v0 ? 4GM 0 5R 飞船与宇航站分离时,飞船速度vm,宇航站速度vM 4GM0 m 1 GM0 m 1 2 2 8 GM 0 飞 2 mvm ? 5 R ? 2 mVm ? 10 R vm ? 3 5R 5 船 mvm R ? mVm 10 R 4 8 RM ? 5 R ? GM0 ? 4 GM M GM M 1 1 2 2 vM ? 0 0 Mv ? ? MV 宇 2 M M ? 5 RRM vm 5R 2 2 R ? 1.25 R

航 5 MvM R ? MVM ? 2RM ? 1.25R ? 站 4
分离时两者动量守恒:

M

2RM

vM

? M ? m ? v0 ? mvm ? MvM

地心 Vm VM

续解

8 RM ? 5 R 8 RM ? 5 R ?2 6?3 5 RRM m RM RM >0 ? ? ? M 8 4 8 1 2 2? ? 3 5R 3 5R 3 TM ? 8 RM ? 1 飞船绕地球运行一周后正好 ? ? ? ? k ? 1,2,?? ? 与宇航站相遇,两者周期满足: T ? 45 R ? k m 45 R 45 R RM ? 3 8 ? 5R 3 2 3 2 2 8 k ? 9? 8 k < 2 k > ? ? ? 9.5 45 R ? 2? 3 2 8 k 45 R 又 2 RM ? ? n ? 1? R 即 ? 2.25 R k ? 5 5 ? 11.2 2 3 4 k m m k ? 11时 ? 0.048 ? 0.153 k可取10,11 k ? 10时 M M

? 8 RM ? 5 R ? ?

4 5R

读题

质量为m的人造卫星沿半径为r0的圆轨道飞行,地 球质量为M.若卫星运动中受到微弱的摩擦阻力f(大小恒定),则 将缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球.将每周的旋转近似处理成半径 为ri的圆轨道.试求每旋转一周,轨道半径的改变量Δr及卫星轨道减 少一半时减少的机械能.

在第i圈运动时,摩擦力的功

W fi ? ? f ? 2? ri

引力的功 由动能定理

? 1 1? WGi ? GMm ? ? ? ? ri ? ?r ri ?

ri M

? 1 ? 1 1? 1 1? ? f ? 2? ri ? GMm ? ? ? ? GMm ? ? ? ? ri ? ?ri ri ? 2 ? ri ? ?ri ri ? 3 4? fri3 4 ? fr i ?ri ? 2 ? ? ? GMm ? 2? fri GMm ? 1 1 ? ? 卫星轨道减少一半 ?E ? GMm ? r ? 2r0 ? 0 ? 时减少的机械能 ?2 ? ? 2 ?

GMm ? 2r0

如图,宇宙飞船沿圆轨道运行,运动速度为v0.已知火星半 径为R,飞船圆轨道离火星表面的高度为H.今飞船在极短时间内,沿圆轨道径向 向外侧点火喷气,使飞船获得指向火星的径向速度av0,a是远小于1的常数.因喷 气量很小,喷气后飞船的质量可视作不变.喷气后,飞船绕火星沿新的轨道运 行.试求飞船椭圆轨道近火星点距火星表面的高度 hA以及远火星点距火星表面的 飞船进入椭圆轨道的初速度 高度hB,以及飞船绕椭圆轨道的运行周期. 2 2 2

由机械能守恒有

V0 ? v0 ? ?? v0 ? ? v0 1 ? ?

1 GM 1 2 GM 1 2 GM 2 2 1 ? ? v0 ? ? VA ? ? VB ? 2 R? H 2 R ? hA 2 R ? hB

?

?

V0 A
hA R VA

v0 vR
H

VB hB

B

由角动量守恒有
1 ? ? v0 ? ? R ? H ? ?
2

v0 1 ? ? 2 v0
而 v0 ?

? VA ? R ? hA ? ? VB ? R ? hB ?
GM R? H
2

H ??R H ??R hB ? hA ? 1?? 1?? 2? ? R ? H ?
而T0 ? v0
3

3 由开三律, ? 2? R ? H ? ? T 0 飞船前后周 ? ? ? ? ? ? ? 2 R ? hA ? hB ? 期之比为 T

?1 ? ? ?

2? ? R ? H ? ? 1 ? 3 则T ? ? 2 ? v0 ? 1?? ?

一宇宙飞船环绕一行星做匀速圆周运动,轨道半 径为R,飞船速率为v0.飞船上发动机突然点火,使飞船速率从v0变 到 3 v0,加速度方向与速度方向相同,飞船沿新轨道运动.设φ为发 动机点火时飞船速度方向与飞船在最远离行星时速度方向之间的夹 角,求角φ ,并画出飞船运动轨迹的图示. 计算加速后飞船的总机械能E 2 1 GMm 1 E ? m ? ? v0 ? ? ? m 3v0 2 R 2

?

?

2

2 ? mv0

>0
图示

飞船将沿双曲线轨道远离行星
由机械能守恒有
1 m 2

?

3v0

?

2

2 ? mv0

1 ? mV 2? V 2

? v0

由角动量守恒有

cos ? ? 3 1 ? sin ?

R sin? 由双曲线解析性质得? a ? R ? sin ? ? a, a ? 1 ? sin?

3v0 ? R ? V ? ? a ? R ? cos ?

? ? 30

?

V

续解

y

?
O
a

3v0
F

R

x


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