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2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试(PDF版)


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第十四届“希望杯”全国数学邀请赛
高二 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、 已知函数 f ( x) = 2 x + 3, 则函数 f (A)y=
?1

第1试

( x + 1) 的反函数是
(C)y=2X+5 (D)y=2X+2

x?5 2

(B)y=

x+5 2

2、 设0 < x < 1, a = cos(arcsin x), b = arcsin(cos x) ,则 a 和 b 的大小关系是 (A)a < b. 3、 已知 X > 1. y > 1. 且 (A)最大值是 2. (B) a > b (C)a ≤ b (D)不确定的。

1 1 bx. ,lnx 成等比列,则 xy 的 2 2
(B)最大值是 e
2

(C)最小值是 2.

(D)最小值是 e

2

4、 如图 1、一个正方体的容器 ABCD- A ' B ' C ' D ' 中盛满了油后,在相邻两侧面的中心处 出现了两个小孔,若恰当地将容器放置。可使流出的油量达到最小,这个最小值是正方 体容器容量的。 (A) . 5、 函数 y= (A) 2 5

1 2

(B)

1 4

(C)

1 8

(D)

3 8

x 2 + 4 + x 2 + 2 x + 10 的最小值是
(B) 2 6 (C) 17 (D) 26

6、Ahyperbola(双曲线)wjthvertices(顶点)(-2,5)and(-2,-3),has an asynptote(渐近线)that passes the point(2.5) Then an equarionk of the hyperbola is

( x ? 2) 2 ( x + 2) (A) ? =1 25 4
2

( y ? 2) 2 ( x ? 2) (B) ? =1 9 16
2

( x + 2) 2 ( x ? 2) (C) ? =1 25 4
2

( x ? 2) 2 ( x + 2) (D) ? =1 9 16
2

7、等差数列 {an } 中有两项 an 和 ak ,满足 an = (A)

mk ?1 2

(B)

mk 2

1 1 、 ak = ,则该数列前 mk 项之和是 k m mk + 1 mk (C) (D) +1 2 2
x ?1 的取值范围是 y?2
(D) ? ? ? ?

8、当 x.yi 满足条件 x ? 1 + y + 1 < 1 时,变量 U=

(A) ? ?

? 1 1? ? ? ? 2 2?

(B) ? ?

? 1 1? ? ? ? 2 2?

(C) ? ?

? 1 1? ? ? ? 2 3?

? 1 1? ? 3 2?

9、设 Ρ 为椭圆上一点,且 ∠ pF1 F2 = 30° , ∠ pF1 F2 = 45° ,其中 F1 , F2 为椭圆的两个焦点,

则椭圆的离心率 e 的值等于 (A)

(2 + 2)(1 + 3) 2 (2 + 2)( 3 ? 1) 2

(B)

(2 ? 2)(1 + 3) 2 (2 ? 2)( 3 ? 1) 2
2

(C)

(D)

10、Suppose the y-axis is (A) ?

the least distance fron poinrs of the xurve(曲线) y + 2 xy + x + a = 0(a ? R ) to

3 16

1 , then the velue of a is 4 5 (B) ? 16

(C) ?

5 3 or 16 16

(D) ?

3 5 or 16 16

二、组填空题(每小题 5 分,共 50 分) 11、arccos ? ? ? -arctan7=________。

? 3? ? 5?

12、不等式 Log 1 ( x + 1) -Log 1 (
2 2

1 x ? 1) <- 的解集是_______。 2

13、图 2 是正方体的展开图,其中直线 AB 与 CD 在原正方体中的成角的大小是_______。 14、正四面体 ABCD 的棱长为 1,E 在 BC 上,F 在 AD 上,BE=2EC,DF=2FA,则 EF 的 长度是_________。 15、Let a and

2a be the length of two sides of a rectangle (矩形),rotate(旋转)the rectangle
obtained is equal

about its diagonal(对角线),then the volume(体积) of the revolution(旋转休) to________。
2 2

16、方程 x 1 ? y + y 1 ? x = 1 表示的曲线是___________________。 17、曲线 x +y + y + m = 0 和它关于直线 x + 2 y ? 1 = 0 的对称曲线总有交点,那么 m 的
2 2

取值范围是__________。 18、等比数行{ an }的首项为 a1 = a. 公比为 q,则

1 1 1 + + …+ = __________。 an an +1 a1a2 a2 a3

19、在平面四边形 ABCD 内,占 E 和 F 分别在 AD 和 BC 上,且

DE = λ EA, CF = λ FB (λ ∈ R, λ ≠ ?1) ,用 λ , DC , AB 表示 EF =_______________。
20、延长平行四边形 ABCD 的边 BC 到 F,AF 依次交 DB、DC 于 E、G,AE 比 EG 大 2, GF=5,则 EG=________________。 三、B 组填空题(每小题 10 分,共 50 分)

21、Given BC=1, ∠A = α in a triangle(三角形)ABC, then the range of length of the side AB (or AC) is_____________________。 22、方程 a ? a + x = x 的实数解最多有__________个,若方程有实数解,则 a 的取值范 围是_____________________。 23、圆 x + y = 1 和 4 x + 4 y ? 16 x ? 8 y + 11 = 0 的公切线的斜率是
2 2 2 2

_____________________。 24、数列 {2 } 和 {3n + 2} 的公共项由小到大排列成数列 {cn } ,则 {cn } 的通项公式
n

cn =____________,前 n 项和 Sn =_______________。
25、函数 y = sin x + cos x + _____________。

1 的最大值等于__________,最小值等于 1+ | sin 2 x |


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