当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 竞赛专题之平面几何

竞赛专题之平面几何


主讲:肖永昌

竞赛专题(一)平面几何证明
[竞赛知识点拨] 1. 线段或角相等的证明 (1)利用全等△或相似多边形; (2)利用等腰△; (3)利用平行四边形; (4)利用等量代换; (5)利用平行线的性质或利用比例关系 (6)利用圆中的等量关系等。 2. 线段或角的和差倍分的证明 (1)转化为相等问题。如要证明 a=b±c,可以先作出线段 p=b

±c,再去证明 a=p, 即所谓“截长补短”,角的问题仿此进行。 (2)直接用已知的定理。例如:中位线定理,Rt△斜边上的中线等于斜边的一半; △的外角等于不相邻的内角之和;圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。 3. 两线平行与垂直的证明 (1)利用两线平行与垂直的判定定理。 (2)利用平行四边形的性质可证明平行;利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。 (3)利用比例关系可证明平行;利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。 【竞赛例题剖析】 【例 1】从⊙O 外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB 和割线 PCD。从 A 点作弦 AE 平行于 CD,连结 BE 交 CD 于 F。求证:BE 平分 CD。

第 1 页 共 14 页

主讲:肖永昌

【例 2】△ABC 内接于⊙O,P 是弧 AB 上的一点,过 P 作 OA、OB 的垂线,与 AC、BC 分别交于 S、T,AB 交于 M、N。求证:PM=MS 充要条件是 PN=NT。

【例 3】已知 A 为平面上两半径不等的圆 O1 和 O2 的一个交点,两外公切线 P1P2、Q1Q2 分别切两圆于 P1、 P2、 Q1、 Q2, M1、 M2 分别为 P1Q1、 P2Q2 的中点。 求证: ∠O1AO2 =∠M1AM2。

第 2 页 共 14 页

主讲:肖永昌

【例 4】在△ABC 中,AB>AC,∠A 的外角平分线交△ABC 的外接圆于 D,DE⊥AB 于 E,

求证:AE=



【例 5】 ∠ABC 的顶点 B 在⊙O 外, BA、 BC 均与⊙O 相交, 过 BA 与圆的交点 K 引∠ABC 平分线的垂线,交⊙O 于 P,交 BC 于 M。 求证:线段 PM 为圆心到 ∠ABC 平分线距离的 2 倍。

第 3 页 共 14 页

主讲:肖永昌

【例 6】 在△ABC 中, AP 为∠A 的平分线, AM 为 BC 边上的中线, 过 B 作 BH⊥AP 于 H, AM 的延长线交 BH 于 Q,求证:PQ∥AB。 【分析】方法 1、结合中线和角平分线的性质,考虑用比例证明平行。 倍长中线:延长 AM 至 M’,使 AM=MA‘,连结 BA’,如图 6-1。 PQ∥AB←



← ←

∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ 方法 2、结合角平分线和 BH⊥AH 联想对称知识。 延长 BH 交 AC 的延长线于 B’, 如图 6-2。 则 H 为 BB‘的中点, 因为 M 为 BC 的中点, / 连结 HM, 则 HM∥B C。 延长 HM 交 AB 于 O, 则 O 为 AB 的中点。 延长 MO 至 M’, 使 OM‘=OM, 连结 M’A、M‘B,则 AM’BM 是平行四边形,

∴MP∥AM‘,QM∥BM’。于是,

,所以 PQ∥AB。

第 4 页 共 14 页

主讲:肖永昌

【例 7】菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别切于 E、F、G、H,在 EF 与 GH 上分别作⊙O 的切线交 AB 于 M,交 BC 于 N,交 CD 于 P,交 DA 于 Q。 求证:MQ∥NP。

【例 8】ABCD 是圆内接四边形,其对角线交于 P,M、N 分别是 AD、BC 的中点,过 M、 N 分别作 BD、AC 的垂线交于 K。求证:KP⊥AB。

第 5 页 共 14 页

主讲:肖永昌

【例 9】以△ABC 的边 BC 为直径作半圆,与 AB、AC 分别交于点 D、E。过 D、E 作 BC 的垂线,垂足分别是 F、G,线段 DG、EF 交于点 M。求证:AM⊥BC。 【分析】连结 BE、 CD 交于 H,则 H 为垂心,故 AH⊥BC。 (同一法) 设 AH⊥BC 于 O, DG、AH 交于 M1, EF、AH 交于 M2。 下面证 M1、M2 重 合。

OM1∥DF→

→OM1=



OM2∥EG→

→OM2=



只需证 OG· DF=EG· OF, 即 ←Rt△ OEG∽Rt△ ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。

第 6 页 共 14 页

主讲:肖永昌

竞赛专题(二)几何变换
【竞赛知识点拨】 一、 平移变换

1.

定义 设

是一条给定的有向线段,T 是平面上的一个变换,它把平面图形 F = ,则 T 叫做沿有向线段 的平移变换。记为

上任一点 X 变到 X‘,使得 X X’,图形 F

F‘ 。

2. 主要性质 在平移变换下,对应线段平行且相等,直线变为直线,三角形变为 三角形,圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等。

二、 轴对称变换 1. 定义 设 l 是一条给定的直线,S 是平面上的一个变换,它把平面图形 F 上任 一点 X 变到 X’,使得 X 与 X‘关于直线 l 对称,则 S 叫做以 l 为对称轴的轴对称变 换。记为 X X’,图形 F F‘ 。

2. 主要性质 在轴对称变换下,对应线段相等,对应直线(段)或者平行,或者 交于对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分。

三、 旋转变换 1. 定义 设 α 是一个定角,O 是一个定点,R 是平面上的一个变换,它把点 O 仍变到 O(不动点),而把平面图形 F 上任一点 X 变到 X’,使得 OX‘=OX,且 ∠XOX’=α ,则 R 叫做绕中心 O,旋转角为 α 的旋转变换。记为 X 图形 F F’ 。 X‘,

其中 α <0 时,表示∠XOX‘的始边 OX 到终边 OX’的旋转方向为顺时针方向;α >0 时,为逆时针方向。 2. 主要性质 在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角。

第 7 页 共 14 页

主讲:肖永昌

四、 位似变换 1. 定义 设 O 是一个定点,H 是平面上的一个变换,它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X‘,使得 =k? , 则 H 叫做以 O 为

位似中心, k 为位似比的位 似变换。记为 X X’, 图形 F F‘ 。

其中 k>0 时,X’在射线 OX 上,此时的位似变换叫做外位似;k<0 时, X‘在射线 OX 的反向延长线上,此时的位似变换叫做内位似。 2. 主要性质 在位似变换下,一对位似对应点与位似中心共线;一条线上的点变 到一条线上,且保持顺序,即共线点变为共线点,共点线变为共点线;对应 线段的比等于位似比的绝对值,对应图形面积的比等于位似比的平方;不经 过位似中心的对应线段平行,即一直线变为与它平行的直线;任何两条直线 的平行、相交位置关系保持不变;圆变为圆,且两圆心为对应点;两对应圆 相切时切点为位似中心。

【竞赛例题剖析】 【例 1】P 是平行四边形 ABCD 内一点,且∠PAB=∠PCB。 求证:∠PBA=∠PDA。

【分析】作变换△ABP

△DCP’,

则△ABP≌△DCP‘,∠1=∠5,∠3=∠6。由 PP’ AD BC,ADPP‘、PP’CB 都是平 行四边形,知∠2=∠8,∠4=∠7。由已知∠1=∠2,得∠5=∠8。 ∴P、D、P‘、C 四点共圆。故∠6=∠7,即∠3=∠4。

第 8 页 共 14 页

主讲:肖永昌

【例 2】“风平三角形”中,AA’=BB‘=CC’=2,∠AOB‘=∠BOC’=60°。

求证:S△AOB‘+S△BOC’+S△COA‘<



【分析】作变换△A’OC

△AQR‘,△BOC’

△B‘PR’‘,则 R’、

R‘’重合,记为 R。P、R、Q 共线,O、A、Q 共线,O、B‘、P 共线,△OPQ 为等边 三角形。 ∴S△AOB’+S△BOC‘+S△COA’<S△OPQ= 【例 3】

在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中,试求周长最小的四边形。

第 9 页 共 14 页

主讲:肖永昌

【例 4】P 是⊙O 的弦 AB 的中点,过 P 点引⊙O 的两弦 CD、EF,连结 DE 交 AB 于 M, 连结 CF 交 AB 于 N。求证:MP=NP。(蝴蝶定理)

【例 5】⊙O 是给定锐角∠ACB 内一个定圆,试在⊙O 及射线 CA、CB 上各求一点 P、Q、R,使得△PQR 的周长为最小。

第 10 页 共 14 页

主讲:肖永昌

【例 6】△ABC 中,∠A≥90°,AD⊥BC 于 D,△PQR 是它的任一内接三角形。求证: PQ+QR+RP>2AD。

【例 7】以△ABC 的边 AB、AC 为斜边分别向外作等腰直角三角形 APB、AQC,M 是 BC 的中点。求证:MP=MQ,MP⊥MQ。

第 11 页 共 14 页

主讲:肖永昌

【例 8】已知 O 是△ABC 内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°;P 是△ABC 内任一点, 求证:PA+PB+PC≥OA+OB+OC。(O 为费马点)

【例 9】⊙O 与△ABC 的三边 BC、CA、AB 分别交于点 A1、A2、B1、B2、C1、C2,过上述 六点分别作所在边的垂线 a1、a2、b1、b2、,设 a1、b2、c1 三线相交于一点 D。求证: a2、b1、c2 三线也相交于一点。 【分析】∵a1、a2 关于圆心 O 成中心对称, ∴a1 a2。

同理,b1

b2,c1

c2。

∴a1、b2、c1 的公共点 D 在变换 R(O,180°)下的像 D’也是 像 a2、b1、c2 的公共点,即 a2、b1、c2 三线也相交于一点。

第 12 页 共 14 页

主讲:肖永昌

2013 年北约自主招生几何题和数论题

第 13 页 共 14 页

主讲:肖永昌

2012 年北约自主招生几何题和数论题

第 14 页 共 14 页


更多相关文档:

竞赛专题之平面几何

竞赛专题之平面几何_学科竞赛_高中教育_教育专区。平面几何 主讲:肖永昌 竞赛专题(一)平面几何证明 [竞赛知识点拨] 1. 线段或角相等的证明 (1)利用全等△或相似...

高中竞赛专题:平面几何证明

竞赛专题讲座 -平面几何证明 [竞赛知识点拨] 竞赛知识点拨] 1. 线段或角相等的证明 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 利用全等△或相似多边形; 利用等腰△;...

2015全国高中数学联赛挑战极限【平面几何试题】

2015全国高中数学联赛挑战极限【平面几何试题】_学科竞赛_高中教育_教育专区。全国高中数学联赛平面几何2012 全国高中数学联赛挑战极限---[平面几何试题](2012.09....

全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读

全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读_专业资料。全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读阅读时必须考虑的几个问题: 1.步步皆要考虑“知其然之其所以然” 。 2...

2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题10 平面几何

2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题10 平面几何_学科竞赛_高中教育_教育专区。1、 (2000 二试 1)如图,在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠...

数学竞赛中的平面几何全 罗增儒

数学竞赛中的平面几何全 罗增儒专著,精品word版,请勿随意外流数学竞赛中的平面...专题推荐 2014年临床执业医师考前... 2014口腔执业医师考试经... 2014年中医...

高中数学竞赛题之平面几何

高中数学竞赛之平面几何_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学竞赛之平面几何 选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 ...

平面几何试题精选

平面几何试题精选_学科竞赛_高中教育_教育专区。01 凸四边形 ABCD 的对角线交...E⊥BC = E.求证 NiE∥ AD. 证:以△ABC 外接圆圆心为原点建立复平面,设其...

全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读

全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读_专业资料。全国高中数学联赛平面几何国外竞赛题阅读阅读时必须考虑的几个问题: 1.步步皆要考虑“知其然之其所以然” 。 2...

竞赛数之平面几何题1

竞赛之平面几何题1 隐藏>> 平面几何题 2010 如图,已经圆上的弧 (Ⅰ)∠ACE=∠BCD; (Ⅱ) BC ? BE ? CD 2 ,过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 ...
更多相关标签:
高中数学竞赛平面几何 | 数学竞赛平面几何定理 | 平面解析几何专题 | 平面几何竞赛题 | 平面几何专题研究 | 数学竞赛平面几何 | 初中平面几何竞赛题 | 初中数学竞赛平面几何 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com