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高中数学必修三主要内容


第一章 算法初步
1.1 算法与程序图框
1. 算法的含义:在数学中,主要研究计算机能实现的算法,即按照某种机械程序步骤一定 可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法, 等等。 2. 例子: 1 例 1 任意给定一个大于 1 的整数 n, 试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数 做出判定。 算法分析:根据质数的定义,很容易设计

出下面的步骤: 第一步:判断 n 是否等于 2,若 n=2,则 n 是质数;若 n>2,则执行第二步。 第二步:依次从 2 至(n-1)检验是不是 n 的因数,即整除 n 的数,若有这样的数,则 n 不是质数;若没有这样的数,则 n 是质数。 这是判断一个大于 1 的整数 n 是否为质数的最基本算法。 2 例 2 用二分法设计一个求议程 x –2=0 的近似根的算法。 算法分析:回顾二分法解方程的过程,并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超 过 0.005,则不难设计出以下步骤: 2 第一步:令 f(x)=x –2。因为 f(1)<0,f(2)>0,所以设 x1=1,x2=2。 第二步:令 m=(x1+x2)/2,判断 f(m)是否为 0,若则,则 m 为所长;若否,则继续判断 f(x1)·f(m)大于 0 还是小于 0。 第三步:若 f(x1)·f(m)>0,则令 x1=m;否则,令 x2=m。 第四步:判断|x1–x2|<0.005 是否成立?若是,则 x1、x2 之间的任意取值均为满足条件的近 似根;若否,则返回第二步。 例3 写出解二元一次方程组 的算法 2x+y=1② 解:第一步,②-①×2 得 5y=3;③ 第二步,解③得 y=3/5; 第三步,将 y=3/5 代入①,得 x=1/5 学生做一做:对于一般的二元一次方程组来说,上述步骤应该怎样进一步完善? 老师评一评:本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一次方 程组的解法。下面写出求方程组 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ( A1B2 ? B1 A2 ? 0) 的解的算法: ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

第一步:②×A1-①×A2,得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0;③ 第二步:解③,得 y ?

A2C1 ? A2C2 ; A1B2 ? A2 B1

第三步:将 y ?

A2C1 ? A2C2 ? B2C1 ? B1C2 代入①,得 x ? 。 A1B2 ? A2 B1 A1B2 ? A2 B1

此时我们得到了二元一次方程组的求解公式,利用此公司可得到倒 2 的另一个算法: 第一步:取 A1=1,B1=-2,C1=1,A2=2,B2=1,C2=-1;

第二步:计算 x ?

? B2C1 ? B1C2 A C ? A2C2 与y? 2 1 A1B2 ? A2 B1 A1B2 ? A2 B1

第三步:输出运算结果。 可见利用上述算法,更加有利于上机执行与操作。 基础知识应用题 例 4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。 解:算法如下。 S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值” 。 S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较,如果它大于此“最大值” ,这时你 就假定“最大值”是这个整数。 S3 如果序列中还有其他整数,重复 S2。 S4 在序列中一直到没有可比的数为止,这时假定的“最大值”就是这个序列中的 最大值。 学生做一做 写出对任意 3 个整数 a,b,c 求出最大值的算法。 老师评一评 在例 2 中我们是用自然语言来描述算法的,下面我们用数学语言来描述 本题的算法。 S1 max=a S2 如果 b>max, 则 max=b. S3 如果 C>max, 则 max=c. S4 max 就是 a,b,c 中的最大值。 综合应用题 例 5 写出求 1+2+3+4+5+6 的一个算法。 分析:可以按逐一相加的程序进行,也可以利用公式 1+2+?+n= 根据加法运算律简化运算过程。 解:算法 1: S1:计算 1+2 得到 3; S2:将第一步中的运算结果 3 与 3 相加得到 6; S3:将第二步中的运算结果 6 与 4 相加得到 10; S4:将第三步中的运算结果 10 与 5 相加得到 15; S5:将第四步中的运算结果 15 与 6 相加得到 21。 算法 2: S1:取 n=6; S2:计算

n( n ? 1) 进行,也可以 2

n( n ? 1) ; 2

S3:输出运算结果。 算法 3: S1:将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7; S2:计算 3×7; S3:输出运算结果。 小结:算法 1 是最原始的方法,最为繁琐,步骤较多,当加数较大时,比如 1+2+3+? +10000,再用这种方法是行不通的;算法 2 与算法 3 都是比较简单的算法,但比较而言,算

法 2 最为简单,且易于在计算机上执行操作。 学生做一做 求 1×3×5×7×9×11 的值,写出其算法。 老师评一评 算法 1;第一步,先求 1×3,得到结果 3; 第二步,将第一步所得结果 3 再乘以 5,得到结果 15; 第三步,再将 15 乘以 7,得到结果 105; 第四步,再将 105 乘以 9,得到 945; 第五步,再将 945 乘以 11,得到 10395,即是最后结果。 算法 2:用 P 表示被乘数,i 表示乘数。 S1 使 P=1。 S2 使 i=3 S3 使 P=P×i S4 使 i=i+2 S5 若 i≤11,则返回到 S3 继续执行;否则算法结束。 1、写出解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的一个算法。 2、写出求 1 至 1000 的正数中的 3 倍数的一个算法(打印结果) 1、解:算法如下 2 S1 计算△=b -4ac S2 如果△〈0,则方程无解;否则 x1= S3 输出计算结果 x1,x2 或无解信息。 2、解:算法如下: S1 使 i=1 S2 i 被 3 除,得余数 r S3 如果 r=0,则打印 i,否则不打印 S4 使 i=i+1 S5 若 i≤1000,则返回到 S2 继续执行,否则算法结束。 1、写出解不等式 x -2x-3<0 的一个算法。 2 解:第一步:x -2x-3=0 的两根是 x1=3,x2=-1。 2 第二步:由 x -2x-3<0 可知不等式的解集为{x | -1<x<3}。 2 评注:该题的解法具有一般性,下面给出形如 ax +bx+c>0 的不等式的解的步骤(为方 便,我们设 a>0)如下: 第一步:计算△= b ? 4ac ;
2
2

第二步:若△>0,示出方程两根 x1, 2 ? {x | x>x1 或 x<x2};

? b ? b2 ? 4ac (设 x1>x2) ,则不等式解集为 2a
b }; 2a

第三步:若△= 0,则不等式解集为{x | x∈R 且 x ? ? 第四步:若△<0,则不等式的解集为 R。 2、求过 P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法: 第一步:取 x1= a1,y1= b1,x2= a2,y1= b2; 第二步:若 x1= x2;

第三步:输出斜率不存在; 第四步:若 x1≠x2; 第五步:计算 k ?

y2 ? y1 ; x2 ? x1

第六步:输出结果。 3、写出求过两点 M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。 解:算法:第一步:取 x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3; 第二步:计算

y ? y1 x ? x1 ; ? y2 ? y1 x2 ? x1

第三步:在第二步结果中令 x=0 得到 y 的值 m,得直线与 y 轴交点(0,m); 第四步:在第二步结果中令 y=0 得到 x 的值 n,得直线与 x 轴交点(n,0); 第五步:计算 S=

1 | m | ? | n |; 2

第六步:输出运算结果 3. 程序框图的概念:是一种用规定的图形,指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的 图形。 4. 基本概念: (1)起止框图: 起止框是任何流程图都不可缺少的,它表明程序的开始和结束,所

以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。 (2)输入、输出框: 表示数据的输入或结果的输出,它可用在算法中的任何需要输

入、输出的位置。图 1-1 中有三个输入、输出框。第一个出现在开始后的第一步,它的作用 是输入未知数的系数 a11,a12,a21,a22 和常数项 b1,b2,通过这一步,就可以把给定的数值写在 输入框内,它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机,另外两个是输出框, 它们分别位于由判断分出的两个分支中, 它们表示最后给出的运算结果, 左边分支中的输出 分框负责输出 D≠0 时未知数 x1,x2 的值,右边分支中的输出框负责输出 D=0 时的结果,即 输出无法求解信息。 (3)处理框: 它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。图 1-1

中出现了两个处理框。第一个处理框的作用是计算 D=a11a22-a21a12 的值,第二个处理框的 作用是计算 x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D 的值。 (4)判断框: 判断框一般有一个入口和两个出口,有时也有多个出口,它是惟一的

具有两个或两个以上出口的符号,在只有两个出口的情形中,通常都分成“是”与“否” (也 可用“Y”与“N” )两个分支,在图 1-1 中,通过判断框对 D 的值进行判断,若判断框中的 式子是 D=0,则说明 D=0 时由标有“是”的分支处理数据;若 D≠0,则由标有“否”的分 支处理数据。例如,我们要打印 x 的绝对值,可以设计如下框图。

5. 三种基本结构: 1)顺序结构:顺序结构描述的是是最简单的算法结构,语句与语句之 间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的。 例 2:已知一个三角形的三边分别为 2、3、4,利用海伦公式设计一个算 法,求出它的面积,并画出算法的程序框图。 p=(2+3+4)/ 算法分析:这是一个简单的问题,只需先算出 p 的值,再将它 2 代入公式,最后输出结果,只用顺序结构就能够表达出算法。 s=√p(p-2)(p-3)(p-4) 程序框图:

开始

输出 s

结束

2)条件结构:一些简单的算法可以用顺序结构来表示,但是这种结构无法对描述对象进行 逻辑判断,并根据判断结果进行不同的处理。因此,需要有另一种逻辑结构来处理这类问 题,这种结构叫做条件结构。它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。 例 3:任意给定 3 个正实数,设计一个算法,判断分别以这 3 个数为三边边长的三角形 是否存在,画出这个算法的程序框图。 算法分析: 判断分别以这 3 个数为三边边长的三角形是否存在, 只需要验收这 3 个数当 中任意两个数的和是否大于第 3 个数,这就需要用到条件结构。 程序框图:

3)循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理 步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包 含条件结构。 循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类: (1)一类是当型循环结构,如图 1-5(1)所示,它的功能是当给定的条件 P1 成立时, 执行 A 框,A 框执行完毕后,再判断条件 P1 是否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反 复执行 A 框,直到某一次条件 P1 不成立为止,此时不再执行 A 框,从 b 离开循环结构。 (2)另一类是直到型循环结构,如下图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条 件 P2 是否成立,如果 P2 仍然不成立,则继续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P2 成立为止, 此时不再执行 A 框,从 b 点离开循环结构。

例 4:设计一个计算 1+2+?+100 的值的算法,并画出程序框图。 算法分析:只需要一个累加变量和一个计数变量,将累加变量的初始值为 0,计数变量 的值可以从 1 到 100。 程序框图:

1.2 算法的基本语句
输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句

INPUT “x=”;x y=x^3+3*x^2-24*x+30 PRINT x PRINT y END (一)输入语句 在该程序中的第 1 行中的 INPUT 语句就是输入语句。这个语句的一般格式是: INPUT “提示内容” ;变量 其中, “提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。如每次运行上述程序时, 依次输入-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,计算机每次都把新输入的值赋给变 量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。 INPUT 语句不但可以给单个变量赋值,还可以给多个变量赋值,其格式为: INPUT “提示内容 1,提示内容 2,提示内容 3,?” ;变量 1,变量 2,变量 3,? 例如,输入一个学生数学,语文,英语三门课的成绩,可以写成: INPUT “数学,语文,英语” ;a,b,c 注:①“提示内容”与变量之间必须用分号“; ”隔开。 ②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“, ”隔开。但最后的变量的后 面不需要。 (二)输出语句 在该程序中,第 3 行和第 4 行中的 PRINT 语句是输出语句。它的一般格式是: PRINT “提示内容” ;表达式 同输入语句一样,表达式前也可以有“提示内容” 。例如下面的语句可以输出斐波 那契数列: PRINT “The Fibonacci Progression is: ” ; 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “?”

此时屏幕上显示: The Fibonacci Progression is:1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ? 输出语句的用途: (1)输出常量,变量的值和系统信息。 (2)输出数值计算的结果。 〖思考〗 :在 1.1.2 中程序框图中的输入框,输出框的内容怎样用输入语句、输出语句来 表达?(学生讨论、交流想法,然后请学生作答)

参考答案: 输入框:INPUT “请输入需判断的整数 n=”;n 输出框:PRINT n; “是质数。 ” PRINT n; “不是质数。 ” (三)赋值语句 用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。 除了输入语句, 在该程序中第 2 行的赋值语句也可以给变量提供初值。 它的一般格 式是: 变量=表达式 赋值语句中的“=”叫做赋值号。 赋值语句的作用: 先计算出赋值号右边表达式的值, 然后把这个值赋给赋值号左边 的变量,使该变量的值等于表达式的值。 注:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。 ②赋值号左右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。 ③不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等) ④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 〖思考〗 :在 1.1.2 中程序框图中的输入框,哪些语句可以用赋值语句表达?并写出相应 的赋值语句。 (学生思考讨论、交流想法。 ) 【例题精析】 〖例 1〗 :编写程序,计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。 分析:先写出算法,画出程序框图,再进行编程。 算法: 程序: 开始

输入 a,b,c

y?

a?b?c 3

INPUT “数学=”;a INPUT “语文=”;b INPUT “英语=”;c y=(a+b+c)/3 PRINT “The average=”;y END

输出 y

结束 〖例 2〗 :给一个变量重复赋值。 程序: A=10 A=A+10 PRINT A END

[变式引申]:在此程序的基础上,设计一个程序,要求最后 A 的输出值是 30。 (该变式的设计意图是学生加深对重复赋值的理解) 程序: A=10 A=A+15 PRINT A A=A+5 PRINT A END 〖例 3〗 :交换两个变量 A 和 B 的值,并输出交换前后的值。 分析: 引入一个中间变量 X,将 A 的值赋予 X,又将 B 的值赋予 A, 再将 X 的值赋予 B, 从而达到交换 A, B 的值。 (比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空 桶) 程序: INPUT A INPUT B PRINT A,B X=A A=B B=X PRINT A,B END 〖补例〗 :编写一个程序,要求输入一个圆的半径,便能输出该圆的周长和面积。 (? 取 3.14)
2 分析:设圆的半径为 R,则圆的周长为 C ? 2? R ,面积为 S ? ? R ,可以利用顺

序结构中的 INPUT 语句,PRINT 语句和赋值语句设计程序。 程序: INPUT “半径为 R=” ;R C=2*3.14*R S=3.14*R^2 PRINT “该圆的周长为:”;C PRINT “该圆的面积为:”;S END

(四)条件语句 条件语句的作用: 在程序执行过程中, 根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转 换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断,并按判断后的不同情况进行不同的 处理。

算法中的条件结构是由条件语句来表达的,是处理条件分支逻辑结构的算法语 句。它的一般格式是: (IF-THEN-ELSE 格式)

IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF

满足条件? 是 语句 1



语句 2

当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执 行 THEN 后的语句 1,否则执行 ELSE 后的语句 2。其对应的程序框图为: (如上右 图) 在某些情况下,也可以只使用 IF-THEN 语句: (即 IF-THEN 格式)

是 IF 条件 THEN 语句 END IF 满足条件? 否 语句

〖例 2〗 :编写程序,使得任意输入的 3 个 整数按从大到小的顺序输出。 算法分析:用 a,b,c 表示输入的 3 个 整数;为了节约变量,把它们重新排列 后,仍用 a,b,c 表示,并使 a≥b≥c. 具体操作步骤如下。 第一步:输入 3 个整数 a,b,c. 第二步:将 a 与 b 比较,并把小者赋给 b,大者赋给 a. 第三步:将 a 与 c 比较. 并把小者赋给 c,大者赋给 a,此时 a 已是三者中 最大的。 第四步:将 b 与 c 比较,并把小者赋给 c,大者赋给 b,此时 a,b,c 已按 从大到小的顺序排列好。 第五步:按顺序输出 a,b,c. INPUT “a,b,c =”;a,b,c IF b>a THEN t=a a=b b=t END IF IF c>a THEN t=a a=c c=t END IF IF c>b THEN t=b b=c c=t END IF PRINT a,b,c END

(四)循环语句 算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构, 一般程序设计语言中也有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。 即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 (1)WHILE 语句的一般格式是: 循环体 满足条件? 否 其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE 后面的“条件”是 用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。 当计算机遇到 WHILE 语句时, 先判断条件的真假, 如果条件符合, 就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体, 这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直 接跳到 WEND 语句后, 接着执行 WEND 之后的语句。 因此, 当型循环有时也称为 “前 测试型”循环。其对应的程序结构框图为: (如上右图) 〖思考〗 :直到型循环又称为“后测试型”循环,参照其直到型循环结构对应的程序框 图,说说计算机是按怎样的顺序执行 UNTIL 语句的?(让学生模仿执行 WHILE 语句的表述) 从 UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语句时,先执行一次循环体,然后 进行条件的判断, 如果条件不满足, 继续返回执行循环体, 然后再进行条件的判断, 这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环体,跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 〖提问〗 : 通过对照, 大家觉得 WHILE 型语句与 UNTIL 型语句之间有什么区别呢? (让 学生表达自己的感受) 区别:在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,而在 UNTIL 语句中,是 当条件不满足时执行循环体。 【例题精析】 〖例 3〗 :编写程序,计算自然数 1+2+3+??+99+100 的和。 分析:这是一个累加问题。我们可以用 WHILE 型语句,也可以用 UNTIL 型语句。由 此看来,解决问题的方法不是惟一的,当然程序的设计也是有多种的,只是程序简 单与复杂的问题。 程序: WHILE 型 : i=1 i=1 UNTIL 型: sum=0 sum=0 WHLIE i<=100 DO sum=sum+i sum=sum+i i=i+1 i=i+1 WEND LOOP UNTIL i>100 PRINT sum PRINT sum END END

WHILE 条件 循环体 WEND



1.3 算法案例
辗转相除法: 1.辗转相除法 例 1 求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数。 (分析: 8251 与 6105 两数都比较大, 而且没有明显的公约数, 如能把它们都变小一点, 根据已有的知识即可求出最大公约数) 解:8251=6105×1+2146 显然 8251 的最大公约数也必是 2146 的约数,同样 6105 与 2146 的公约数也必是 8251 的约数,所以 8251 与 6105 的最大公约数也是 6105 与 2146 的最大公约数。 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 则 37 为 8251 与 6105 的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法,它是由欧几里德在 公元前 300 年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: 第一步:用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 q0 和一个余数 r0; 第二步:若 r0=0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 r0≠0,则用除数 n 除以余数 r0 得到 一个商 q1 和一个余数 r1; 第三步:若 r1=0,则 r1 为 m,n 的最大公约数;若 r1≠0,则用除数 r0 除以余数 r1 得到 一个商 q2 和一个余数 r2; ?? 依次计算直至 rn=0,此时所得到的 rn-1 即为所求的最大公约数。 练习:利用辗转相除法求两数 4081 与 20723 的最大公约数(答案:53) 2.更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下:可半者半之,不可半者,副置分母·子之数,以 少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译出来为: 第一步:任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行 第二步。 第二步: 以较大的数减去较小的数, 接着把较小的数与所得的差比较, 并以大数减小数。 继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 解:由于 63 不是偶数,把 98 和 63 以大数减小数,并辗转相减,即:98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以,98 与 63 的最大公约数是 7。 练习:用更相减损术求两个正数 84 与 72 的最大公约数。 (答案:12)

3.比较辗转相除法与更相减损术的区别 (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为 主, 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少, 特别当两个数字大小区别较大时计算次数的 区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减 损术则以减数与差相等而得到 4. 辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序 利用辗转相除法与更相减损术的计算算法, 我们可以设计出程序框图以及 BSAIC 程序来 在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数, 下面由同学们设计相应框图并相互 之间检查框图与程序的正确性,并在计算机上验证自己的结果。 (1)辗转相除法的程序框图及程序 程序框图:
开始

输入两个正 整数m,n

m>n? 否 是 x=n n=m m=x

r=m MOD n

n=r

m=n r=0? 否



输出n

结束

程序: INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF m<n THEN x=m m=n

n=x END IF r=m MOD n WHILE r<>0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END 3. 秦九韶计算多项式的方法

f ( x) ? a n x n ? a n ?1 x n ?1 ? a n ?2 x n?2 ? ? ? a1 x ? a0 ? (a n x n ?1 ? a n ?1 x n?2 ? a n?2 x n ?3 ? ? ? a1 ) x ? a0 ? ((a n x n ?2 ? a n ?1 x n?3 ? ? ? a 2 ) x ? a1 ) x ? a0 ? ?? ? (? ((a n x ? a n ?1 ) x ? a n?2 ) x ? ? ? a1 ) ? a0
例 设计利用秦九韶算法计算 5 次多项式

f ( x) ? a5 x 5 ? a4 x 4 ? a3 x 3 ? a2 x 2 ? a1 x ? a0 当 x ? x0 时的值的程序框图。
解:程序框图如下:
开始

输入

f(x)的系数: a1,a2,a3,a4,a5
输入

x0

n=1

v=a5
n=n+1

v=v x0+a5-n
n≤ 5 是

否 输出v

结束

4. 排序 直接插入排序:

冒泡排序:

进位制互相转化:

把余数从下往上排列即可。

第二章 统计
2.1 随机抽样
简单随机抽样的概念: 一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N), 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 就把这种抽样方法叫做简单随机抽 样,这样抽取的样本,叫做简单随机样本。 【说明】简单随机抽样必须具备下列特点: (1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 N 是有限的。 (2)简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N。 (3)简单随机样本是从总体中逐个抽取的。 (4)简单随机抽样是一种不放回的抽样。 (5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 n/N。 最常用的简单随机抽样法: 抽签法的定义。 一般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个 容器中, 搅拌均匀后, 每次从中抽取一个号签, 连续抽取 n 次, 就得到一个容量为 n 的样本。 抽签法的一般步骤: (1)将总体的个体编号。 (2)连续抽签获取样本号码。 随机数法的定义: 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数表法,这里仅 介绍随机数表法。 怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明,假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验,利用随机数表抽 取样本时,可以按照下面的步骤进行。 第一步,先将 800 袋牛奶编号,可以编为 000,001,?,799。 第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第 8 行第 7 列的数 7(为了便于说明, 下面摘取了附表 1 的第 6 行至第 10 行) 。 16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 60 86 32 44 87 35 20 96 43 21 76 33 50 25 12 86 73 58 07 49 54 43 54 82 57 24 55 06 88 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 09 47 27 96 54 84 26 34 91 64 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 17 37 93 23 78 77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38 49 17 46 09 62

15 51 00 13 42 90 52 84 77 27

99 66 02 79 54 08 02 73 43 28

第三步,从选定的数 7 开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等) ,得 到一个三位数 785,由于 785<799,说明号码 785 在总体内,将它取出;继续向右读,得到 916,由于 916>799,将它去掉,按照这种方法继续向右读,又取出 567,199,507,?, 依次下去,直到样本的 60 个号码全部取出,这样我们就得到一个容量为 60 的样本。 【说明】随机数表法的步骤: (1)将总体的个体编号。 (2)在随机数表中选择开始数字。 (3)读数获取样本号码。

系统抽样
系统抽样的定义: 一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干部分, 然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法 叫做系统抽样。 【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证: (1)当总体容量 N 较大时,采用系统抽样。 (2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因此, 系统抽样又称等距抽样,这时间隔一般为 k=[
N n

].

(3)预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在 此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。 1、在抽样过程中,当总体中个体较多时,可采用系统抽样的方法进行抽样,系统抽样 的步骤为: (1)采用随机的方法将总体中个体编号; (2)将整体编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N); (3)在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号 L; (4)按照事先预定的规则抽取样本。 2、在确定分段间隔 k 时应注意:分段间隔 k 为整数,当 n 不是整数时,应采用等可 能剔除的方剔除部分个体,以获得整数间隔 k。
N

分层抽样
一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独 立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫 分层抽样。

【说明】分层抽样又称类型抽样,应用分层抽样应遵循以下要求: (1)分层:将相似的个体归人一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉, 即遵循不重复、不遗漏的原则。 (2)分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层 样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。 二、分层抽样的步骤: (1)分层:按某种特征将总体分成若干部分。 (2)按比例确定每层抽取个体的个数。 (3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取。 (4)综合每层抽样,组成样本。 【说明】 (1)分层需遵循不重复、不遗漏的原则。 (2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定。 (3)各层抽样按简单随机抽样进行。

用样本的频率分布估计总体分布
频率分布的概念: 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。 一般用频率分布 直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为: (1) 计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差 (2) 决定组距与组数 (3) 将数据分组 (4) 列频率分布表 (5) 画频率分布直方图 频率分布折线图的定义: 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图。 总体密度曲线的定义: 在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中 称这条光滑曲线为总体密度曲线。 它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比, 它 能给我们提供更加精细的信息。 茎叶图的概念: 当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边 的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物 茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图。 (见课本 P61例子) 茎叶图的特征: (1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有 数据信息都可以从茎叶图中得到; 二是茎叶图中的数据可以随时记录, 随时添加, 方便记录与表示。 (2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据, 两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰。

〖例 1〗 :下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高 (单位cm)

区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5
(1)列出样本频率分布表﹔ (2)一画出频率分布直方图; (3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的百分比.。 分析:根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。 解: (1)样本频率分布表如下:

分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计
(2)其频率分布直方图如下:
频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 o

频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120

频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1

122

126

130

134

138 频率 142 146 /组距 0.0 36 0.0 0.0 32 28 0.0 0.0 24 20 0.0 0.0 16 12 0.0 08 0.0 04 o 90 10 0

150

154

158

身高(cm)

(3)由样本频率分布表可知身高小 于 134cm 的 男 孩 出 现 的 频 率 为 0.04+0.07+0.08=0.19,所以我们估计 身高小于 134cm 的人数占总人数的 19%. 〖例 2〗 :为了了解高一学生的体 能情况,某校抽取部分学生进行一分 钟跳绳次数次测试, 将所得数据整理

11 0

12 0

13 0

14 0

15 0

次数

后,画出频率分布直方图(如图),图中从左到右各小长方形面积之比为 2:4:17:15:9: 3,第二小组频数为 12. (1) 第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2) 若次数在 110 以上(含 110 次)为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是多少? (3) 在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?请说明理由。 分析:在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,小长方形的高与频数 成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于 1。 解: (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二小组的频率为:

4 ? 0.08 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3

又因为频率=

第二小组频数 样本容量 第二小组频数 12 ? ? 150 第二小组频率 0.08

所以

样本容量 ?

(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为

17 ? 15 ? 9 ? 3 ?100% ? 88% 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3
(3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之 和为 69,前四组的频数之和为 114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。

用样本的数字特征估计总体的数字特征
众数:一组数据中出现次数最多的数据; 中位数:一组数据中处于最中间的一个数据; 样本数据 x1, x2,

, xn 的标准差的算法:

(1) 、算出样本数据的平均数 x 。 (2) 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差: xi ? x(i ? 1, 2, (3) 、算出(2)中 xi

n)

? x(i ? 1,2,

n) 的平方。

(4) 、算出(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差。 (5) 、算出(4)中平均数的算术平方根, ,即为样本标准差。 其计算公式为:

s?
方差:

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? n

? ( xn ? x)2 ]

显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。

s2 ?

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? n

? ( xn ? x ) 2 ]

2.3 变量间的相关关系
散点图:

第三章 概率
3.1 随机事件的概率
基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试 验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)=

nA 为事件 A n

出现的频率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A) 稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值

nA ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多, n

这种摆动幅度越来越小。 我们把这个常数叫做随机事件的概率, 概率从数量上反映了随机事 件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。

概率的几个基本性质:1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1;2) 当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件 A 与 B 为对立事件, 则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) (3)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系.

3.2 古典概率
基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念; 古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 总的基本事件个数 ;

例 1 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。 分析:掷骰子有 6 个基本事件,具有有限性和等可能性,因此是古典概型。 解:这个试验的基本事件共有 6 个,即(出现 1 点) 、 (出现 2 点)??、 (出现 6 点) 所以基本事件数 n=6, 事件 A=(掷得奇数点)=(出现 1 点,出现 3 点,出现 5 点) , 其包含的基本事件数 m=3 所以,P(A)=

m 3 1 = = =0.5 n 6 2

小结:利用古典概型的计算公式时应注意两点: (1)所有的基本事件必须是互斥的; (2)m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏。 例 2 从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放 回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个, 即(a1,a2)和, (a1,b2) , (a2,a1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b2,a2) 。其中小括号内左边的 字母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的两种中, 恰好有一件次品”这一事件,则 A=[(a1,b1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b1,a2)]

事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)=

4 2 = 6 3

例 3 现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 分析: (1)为返回抽样; (2)为不返回抽样. 解: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所 以试验结果有 10×10×10=10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含的基本事件共
3

83 有 8×8×8=8 种,因此,P(A)= =0.512. 103
3

(2) 解法 1: 可以看作不放回抽样 3 次, 顺序不同, 基本事件不同, 按抽取顺序记录 (x,y,z) , 则 x 有 10 种可能, y 有 9 种可能, z 有 8 种可能, 所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种. 设 事件 B 为 “3 件都是正品” , 则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, 所以 P(B)=

336 720

≈0.467. 解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种 可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,但(x,y,z) , (x,z,y) , (y,x,z) , (y,z,x) , (z,x,y) , (z,y,x) ,是相同的,所以试验的所有结果有 10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件 B 包 含的基本事件个数为 8×7×6÷6=56,因此 P(B)=

56 ≈0.467. 120

小结:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺 序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误.

3.3 几何概型
(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个 基本事件出现的可能性相等. 3、 例题分析: 课本例题略 例 1 判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型, 还是几何概型。 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本 P132 图 3.3-1 中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当 指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率。 分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而几何概

型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于 古典概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分” ,概 率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型. 例 2 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间 不多于 10 分钟的概率. 分析: 假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间 有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率 .可以通过几何概型的求概 率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站 等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关 ,而与该时 间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于 [50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)= 间不多于 10 分钟的概率为

60 ? 50 1 = ,即此人等车时 60 6

1 . 6

小结:在本例中,到站等车的时刻 X 是随机的,可以是 0 到 60 之间的任何一刻,并且是等 可能的,我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. 练习:1.已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率。 2.两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2m 的 概率.

1 ; 11 2 1 2.记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A,则 P(A)= = . 6 3
解:1.由几何概型知,所求事件 A 的概率为 P(A)= 例 3 在 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点 钻探,钻到油层面的概率是多少? 分析:石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而 40 平方千米可看作构 成事件的区域面积,有几何概型公式可以求得概率。 解:记“钻到油层面”为事件 A,则 P(A)=

储藏石油的大陆架面积 40 = =0.004. 所有海域的大陆架面积 10000

答:钻到油层面的概率是 0.004. 例 4 在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子,从中随机取出 10 毫升,则取出的 种子中含有麦诱病的种子的概率是多少? 分析:病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的,取得的 10 毫克种子可视作构成事件的 区域,1 升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率。 解:取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则 P(A)=

取出的种子体积 10 = =0.01. 所有种子的体积 1000

答:取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是 0.01. 例 5 取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m 的

概率有多大? 分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且每一 个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3] 上的均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内,也 就是剪得两段长都不小于 1m。这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是 事件 A 发生的概率。 解法 1: (1)利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*3. (3)统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3] 内随机数的个数 N. (4)计算频率 fn(A)=

N1 即为概率 P(A)的近似值. N

解法 2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里 3 和 0 重合) .转 动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N, 则 fn(A)=

N1 即为概率 P(A)的近似值. N

小结:用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随机 数的范围。解法 2 用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数 不可能很大;解法 1 用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的 结果, 同时可以在短时间内多次重复试验, 可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认 识. 例 6 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,求这个正方形 的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率. 分析:正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M, 求使得 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率. 解: (1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数 a1=RAND. (2)经过伸缩变换,a=a1*12 得到[0,12]内的均匀随机数. (3)统计试验总次数 N 和[6,9]内随机数个数 N1 (4)计算频率

N1 . N

记事件 A={面积介于 36cm2 与 81cm2 之间}={长度介于 6cm 与 9cm 之间},则 P(A)的近似 值为 fn(A)=

N1 . N


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