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2010年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷(含答案)[1]


2010 年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建预赛试卷
一.填空题:(每小题 6 分,共 60 分)

1? x ? 1) 的定义域为__________________. x?3 1 2.在 ?ABC 中,若 sin A ? cos A ? ? ,则 cos 2 A ? _________________. 3 3.在数列 ?an ? 中,已

知 a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? 2n?1 (n ? N* ) ,则使 an ? 10 成立的最小正整数 n 的值为_____________. 4.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,对任意 x ? R 均有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? (0,1) 时, 3 P f ( x) ? x 2 ,则 f (? ) ? f (1) ? ________________. 2 5.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, ?PAB 为 A 等边三角形 , O 为 AB 边中点 , 且 PO ? 平面 ABCD , 则二面角 D P ? AC ? D 的余弦值为_____________. O 6.已知集合 A ? {x | x ? a0 ? a1 ? 7 ? a2 ? 7 2 ? a3 ? 7 3 } ,其中
1.用区间表示函数 f ( x) ? ln( B ai ?{0,1,2,3,4,5,6} , i ? 0,1,2,3 ,且 a3 ? 0 .若正整数 m, n ? A , 且 m ? n ? 2010 , m ? n ,则符合条件的正整数 m 有_____________个. 7.函数 f ( x) ? sin 2k x ? cos2k x (k ? N* ) 的最小值_________________. 8.将方程 x 3 ? 3[ x] ? 4 的实数解从小到大排列得 x1 , x2 ,?, xk ,
3 3 3 3

C

则 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xk 的值为____________.( [ x ] 表示不超过的最大整数) 9.若正整数 m 使得对任意一组满足 a1a2 a3 a4 ? 1的正数 a1 , a2 , a3 , a4 都有

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?

m

m

m

m

1 1 1 1 成立,则正整数 m 的最小值为_________. ? ? ? a1 a2 a3 a4

10.如图,记从“田字型”网格(由 4 个边长为 1 的正方形构成)的 9 个交点中任取 3 个点构成的三角形面积为 ? ( 当所取的三点共线时 , ? =0), 则 ? 的数学期望 E ? =____. 二.解答题:(每小题 20 分,满分 100 分) 11.当实数 a 为何值时,关于 x 的方程 ax ? ln x 无解、一解、两解?

12.已知函数 f ( x) ? x x ? 2a ,试求 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最大值 g (a ) .

1

13.如图,在锐角 ?ABC 中, AB ? AC , ?ACB 的平分线交 AB 于点 D ,过 ?ABC 的外心 O 作 CD 的垂线交 AC 于点 E ,过点 E 作 AB 的平行线交 CD 于点 F . (1)求证: C , E , O, F 四点共圆; (2)求证: A, O, F 三点共线; (3)求证: EA ? EF .
E D O F B C A

x2 y2 14.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,过点 P(0, m) (m ? 0) 斜率 a b 为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A, B 两点,且 AP ? 3PB , OA ? OB ? 3 .
(1)求双曲线 C 的方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴上是否存在定点

M 使得 ?QFM ? 2?QMF ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

15.数列 {an } 中,已知 a1 ? 2 ,且对一切正整数 n 都有 an?1 ? a1a2 a3 ?an ? 1 . 求证:

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? ? n 对一切正整数 n 均成立. a1 a2 a3 an 2 4 8 2

2

2010 年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建预赛 简易答案
1. (?3, ?1) 6.662 2.

17 9 1 7. k ?1 2

3.3 8.15

4.

1 4

5. ? 10.

7 7

9.3

5 6

11.当 a ?

1 1 1 时,无解;当 a ? 或 a ? 0 时,仅有一解;当 0 ? a ? 时,两解. e e e

?1 ? 2a, a ? 2 ? 1, ? ? 2 12. g (a ) ? ?a , 2 ? 1 ? a ? 1, ?2a ? 1, a ? 1. ? ?
13.(1) ?OEF ? ?OCF ? C, E, O, F 四点共圆; (2) ?AOE ? 180 ? ?EOF ? A, O, F 三点共线; (3) ?OFE ? ?OCE ? ?EAO ? EA ? EF . 14.(1) x ?
2

y2 ? 1 ;(2)存在定点为 (?1, 0) . 3

15.先证明

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 ;则原不等式等价于 a1a2 ? 1? an a1a2 an

an ? 2n .

又 an?1 ? an ? (an ? 1)2 ? 0 ,故 an?1 ? an ?

? a1 ? 2 ,证闭.

3


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