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【优教通,备课参考】2014年高中数学同步教案:第2章 圆锥曲线 抛物线第一课时1(北师大版选修1-1)


抛物线及其标准方程
1. 教学目标 知识与技能: ①理解抛物线的定义,明确 p 的几何意义; ②掌握抛物线的四种标准方程的形式与图形; ③会运用抛物线的定义及其标准方程等知识解决抛物线的基本问题。 过程与方法:通过“实验”、“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列教学 活动,获得知识与技能,进一步感受坐标法及数形结合的思想方法。 情感态度与价值观:通过实验与观察、信息搜集与处理、表达与交流等探究活动,进一步培 养学生善于观察、勇于探索的精神,激发学生积极主动地参与数学学习活动,使学生愿学、 乐学。 2.教学重点、难点 教学重点:抛物线的定义及其标准方程。 教学难点:抛物线的概念的形成及标准方程的构建。 3.教学方法和手段 教学方法:以多媒体课件为依托,采用“引导探究式”的教学方法。 教学手段:将常规的教学手段与现代化的多媒体辅助教学手段相结合。 4.教学过程 (一)创设情境、引发探究 问题:前面我们已经探究过,平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e (e>0)的点的轨迹是什么? (引导学生回忆椭圆的例 6 和双曲线中的例 5,归纳出一般的结论) 当 0<e<1 时是椭圆;当 e>1 时是双曲线. 诱发探究:当 e=1 时,轨迹又是什么曲线呢? (引导学生作图分析,从而引出“点 F 与直线 l 的位置关系”的问题) (二)实验观察、实现构建 探究 1 点 F 与直线 l 的位置关系 (1)点 F 在直线 l 上
-1-

l

F

(引导学生求出动点的轨迹) 点 F 的轨迹是过点 F 且与直线 l 垂直的直线。 (2)点 F 不在直线 l 上 用《几何画板》演示,观察点 M 的轨迹。 l H M F

2.观察曲线的动态形成过程, 你能发现点 M 的轨迹是一条什么曲线吗?(学生会猜想到轨迹是 抛物线) 3.如果曲线是抛物线,只要适当建立平面直角坐标系,就可以得到形如 y=ax +bx+c(a≠0)的 轨迹方程,是否真是这样呢? (在学生思考的基础上引导学生先求出点 M 的轨迹方程。 ) 4.如何建立坐标系求点 M 的轨迹方程? (师生探讨建系的不同方案,让学生根据建立的坐标系试推导轨迹方程,然后用投影仪展示; 根据具体情况也可以下面方案为例和学生共同进行推导) 解: 取经过点F且垂直于直线 l 的直线为y轴, 垂足为K, 并使原点与线段KF的中点重合, 建立平面直角坐标系。 y 令|KF|=p(p>0)则 F(0,
2

p p ),直线 l :y=- 2 2

F · o
K

x l

设动点 M(x,y),点 M 到直线 l 的距离为 d

则 |MF|=d 即

p p x? +(y- )? =|y+ | 2 2

化简得 x?-2py=0 (p>0)

注意到方程可化为:y=

1 x? (p>0), 2p

与我们初中所学的二次函数的解析式形式一致。 可见点 M 的轨迹是顶点为(0,0) ,开口向上的抛物线。 可见平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 1 的点的轨迹是抛物 线。

一. 定义:平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹是抛物线。
-2-

定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线。 (板书) 二.抛物线的标准方程 与椭圆和双曲线类似,我们将这样的方程叫做抛物线的标准方程。 抛物线的标准方程:x?=2py (p>0) 抛物线焦点是 F(0, y F · o l x

p ) , 2

p 准线方程是 y =- 。 (板书) 2
(三)同伴合作、彼此分享

合作交流:椭圆和双曲线的标准方程都有两类,抛物线的标准方程应该有几类?在抛物 线标准方程中 p 值的意义是什么?在标准方程中如何确定图形的位置与方程的对应?同 桌之间互相交流。最后将结果填入下表。

图形 y

标准方程

焦点

准线

y ?=2px

· o F
y

x

F( (p>0)

p ,0) 2

p x=- 2

y ?=-2px F · o x (p>0)

p F(- ,0) 2

x=

p 2

y F · o y o F · x ?=-2py x (p>0) p F(0,- ) 2 y= p 2 x x ?=2py F(0, (p>0) p ) 2 p y=- 2

(四)练习感悟、巩固新知
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练习感悟: A 组: ①已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2) ,则它的标准方程为 ②准线方程是 x=-4 的抛物线的标准方程为 ③焦点在直线 y=2x+1 上的抛物线的标准方程为 ④焦点到准线的距离是 2 且焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程为( A. y 2 ? 4 x B. y 2 ? ?4x B 组: ①已知抛物线的标准方程是 y?=6x,则它的焦点坐标为 ②抛物线 y=ax?(a≠0)的焦点坐标为 C 组: ①在平面直角坐标系 xOy 中,若抛物线 y 2 ? 4 x 上的点 P 到该抛物线的焦点的距离为 6,则点 ,准线方程为 、准线方程为 。 。 C. y 2 ? ?2x D. y 2 ? ?4x 。 。 ) 。

P 的横坐标 x ?



(五) 归纳小结、完善结构 (教师引导学生归纳小结本节课的所学、所思、所悟、所疑、所惑,帮助学生揭示、归纳出 那些学生看不到的无形的东西。 ) 本节课的主要学习内容: (1)抛物线的定义及其标准方程; (2)抛物线的焦点坐标、准线方程和 p 的几何意义; (3)抛物线的定义及其标准方程的应用。 (六)布置作业、检验成效 作业: 1.习题 2.3A 组 第 1 题 2.求下列抛物线的焦点坐标和标准方程
2

(1) 4 x ? 3 y ? 0 (2) y ? 6 x
2 2

3.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 M 到焦点 F 的距离, | MF |? 2 p ,求点 M 的坐标。 板书设计(略)

-4-


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