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湖南省雅礼中学2014届高三第八次月考数学理试题


湖南省雅礼中学 2014 届高三第八次月考 数学理
2014.4.

1.设集合 A ? ?2,ln x? , B ? ?x, y? ,若 A ? B ? ?0? ,则 y 的值为 A.0 答案:A 2.复数 z ? B.1 C. e D.2

1 ? 2i 的虚部是( i

)

(A)

1 (B)-1 (C)2 (D)-2 答案:B 3.下列命题中的假命题是( ) A. ?x ? 0,3x ? 2x C. ?x0 ? ? 0, ??? , x0 ? sin x0 B. ?x ? ? 0, ??? , e ? 1 ? x
x

D. ?x0 ? R,lg x0 ? 0

答案:C 4.某厂生产 A、B、C 三种型号的产品,产品数量之比为 3:2:4,现用分层抽样的方法抽取 一个样本容量为 180 的样本,则样本中 B 型号的产品的数量为 (A)20 (B)40 (C)60 (D)80 答案:B 5.已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1, 则 f (?2) ? (A) ?1 答案:D (B) 1 (C) ?5 (D) 5

6.设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 A. a ? ? b

a b ? ? 0 成立的是 |a| |b|
D. a ? b

1 3

B. a / / b

C. a ? 2b

答案:A 7.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图所示 ,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是

3

3

4 正视图 2 2 2 俯视图

2 侧视图

A. 3 【答案】C.

B. 2 5

C. 6

D. 8

8.现有 12 件商品摆放在货架上,摆成上层 4 件下层 8 件,现要从下层 8 件中取 2 件调整到 上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( ) A.420 B.560 C.840 D.2280

9.已知椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , A 、 B 分别是椭圆长轴的两个端点, M 、 N 是 a 2 b2

椭圆上关于 x 轴对称的两点,直线 AM , BN 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k1 ? k2 ? 离心率为 (A) . (B)

1 ,则椭圆的 4

1 2

1 3

(C)

3 3 (D) 2 3

10.不等式 2x 2 ? axy ? y 2 ≤0 对于任意 x ? [1,2] 及 y ? [1,3] 恒成立,则实数 a 的取值范围 是( ) B. a ≥ 2 2 C. a ≥

A. a ≤ 2 2

11 3

D. a ≥

9 2

答案:D 11.(几何证明选讲) 如图,已知 AB 是⊙ O 的一条弦,点 P 为 AB 上一点, PC ? OP , PC 交⊙ O 于 C ,若

AP ? 4 , PB ? 2 ,则 PC 的长是 2 2
B P O A C

12.(极坐标系与参数方程选讲)

1 ? x ? (e t ? e ? t ) ? ? 2 参数方程 ? 中当 t 为参数时, 化为普通方程为__ x 2 ? y 2 ? 1_ (x ? 1) _. 1 ? y ? (e t ? e ? t ) ? 2 ?
13.(不等式选讲) 1 1 1 若正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则 + + 的最小值为 3a+2 3b+2 3c+2 14.已知 cos(? ? 【答案】 1 .

?
4

)??

? 10 ? , ? ? (0, ) ,则 sin(2? ? ) ? 3 10 2

4?3 3 10



15.定义某种运算 ? , S ? a ? b 的运算原理如右图所示. 设 f ( x) ? (0 ? x) x ? (3 ? x) .则 f (3) ? __-3____;

f ? x ? 在区间 ?? 3,3? 上的最小值为___-12___.

16. 已 知 数 列 ?a n

?满足
b2 ? 4 a2 ? 4

2 an?1 ? an ? 2(n ? N ? ) , 且 a1 ? a, a2 0 1 ? 2 b(a, b >2 ) 则

a1a2 ?a2 0 1 ? 1

(用 a,b 表示)

17.在 ?ABC 中,三内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 2b cos C ? 2a ? c . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 sin A sin C 的取值范围. 解(Ⅰ)由余弦定理可得: 2b ? ∴ cos B ?
a2 ? b2 ? c2 ? 2a ? c ,即 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac , 2ab

a2 ? c2 ? b2 1 ? ? ,由 B ? (0, ? ) 得 B ? . 2ac 2 3 ? 2? ? A, (Ⅱ)由 B ? 得, C ? 3 3



2? 3 1 2 sin As i n C ?sin A s i n ( ? A) ? sin Ac o s A? s i n A 3 2 2

?

3 1 1 1 ? 1 sin 2 A ? cos 2 A ? ? sin(2 A ? ) ? . 4 4 4 2 6 4 2? ? ? 7? ), ), ∵ A ? (0, ∴ 2 A ? ? (? , 3 6 6 6

∴ ?

1 ? ? sin(2 A ? ) ? 1 , 2 6

3 ∴ sin A sin C 的取值范围为 (0, ] . 4

18.某班甲、乙两名学同参加 100 米达标训练,在相同条件下两人 10 次训练的成绩(单位: 秒)如下: 1 甲 乙 11.6 12.3 2 12.2 13.3 3 13.2 14.3 4 13.9 11.7 5 14.0 12.0 6 11.5 12.8 7 13.1 13.2 8 14.5 13.8 9 11.7 14.1 10 14.3 12.5

(1)从甲、乙两人的 10 次训练成绩中各随机抽取一次,求抽取的成绩中至少有一个比 12.8 秒差的概率. (2)后来经过对甲、 乙两位同学的多次成绩的统计, 甲、 乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5 ] 之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率.

解 (1)设事件 A 为:甲的成绩低于 12.8,事件 B 为:乙的成绩低于 12.8, 则甲、乙两人成绩至少有一个低于 12.8 秒的概率为 4 5 4 P=1-P( A )( B )=1- × = . ………………5 分 10 10 5 (2)设甲同学的成绩为 x,乙同学的成绩为 y, 则|x-y|<0.8, 得-0.8+x<y<0.8+x. 如图阴影部分面积即为 3× 3-2.2× 2.2=4.16, ………………9 分 4.16 104 则 P(|x-y|<0.8)=P(-0.8+x<y<0.8+x)= = .…………12 分 3× 3 225 19.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABEF⊥平面 ABCD, EF // AB, ∠BAF=90? , AD= 2,AB=AF=2EF =1,点 P 在棱 DF 上. (1)若 P 是 DF 的中点, 求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值; (2)若二面角 D-AP-C 的余弦值为
E
6 ,求 PF 的长度. 3 F

………………8 分

P

A

D

B

C

解析: (1)因为∠BAF=90? ,所以 AF⊥AB, 因为 平面 ABEF⊥平面 ABCD,且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB, 所以 AF⊥平面 ABCD,因为四边形 ABCD 为矩形, 所以以 A 为坐标原点,AB,AD,AF 分别 为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz .

1 1 所以 B(1, 0, 0) , E ( ,0,1) , P(0,1, ) , C (1, 2,0) . 2 2 1 1 所以 BE ? (? ,0,1) , CP ? (?1, ?1, ) , 2 2
所以 cos ? BE, CP ??
BE ? CP 4 5 ? , | BE | ? | CP | 15
B x E

z F P

A

D y C

即 异 面 直 线 BE 与 CP 所 成 角 的 余 弦 值 为

4 5 . ----6 分 15
(2)因为 AB⊥平面 ADF,所以平面 APF 的法向量为 n1 ? (1,0,0) . 设 P 点坐标为 (0, 2 ? 2t , t ) ,在平面 APC 中, AP ? (0,2 ? 2t, t) , AC ? (1,2,0) , 所以 平面 APC 的法向量为 n2 ? (?2,1,

2t ? 2 ), t

所以, 解得 t ?

cos ? n1 , n2 ??

| n1 ? n2 | | n1 | ? | n2 |

?

2 (?2)2 ? 1 ? ( 2t ? 2 2 ) t

?

6 3

2 5 -------------------------12 分 ,或 t ? 2 (舍) . 所以 | PF |? . 3 3 20.某地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为

64a m 2 ,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积 a m 2 ,前四年每年以
100% 的增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加 a m 2 .设第

n (n ? 1, 且n ? N )年新城区的住房总面积为 an m 2 ,该地的住房总面积为 bn m 2 .
(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若每年拆除 4a m 2 ,比较 an +1 与 bn 的大小. 解析:⑴设第 n 年新城区的住房建设面积为 ?n m 2 ,则当 1 ? n ? 4 时, ?n ? 2 当 n ? 5 时, ?n ? (n ? 4) a . 所以, 当 1 ? n ? 4 时, an ? (2 ? 1) a
n n ?1

a

当 n ? 5 时, an ? a ? 2a ? 4a ? 8a ? 9a ? … ? (n ? 4)a ?

n 2 ? 9n ? 22 a 2
……6 分

?(2n ? 1)a(1 ? n ? 4), ? 故 an ? ? n 2 ? 9n ? 22 a (n ? 5). ? ? 2
⑵ 1 ? n ? 3 时, an ?1 ? (2
n ?1

? 1)a ,bn ? (2n ? 1)a ? 64a ? 4na ,显然有 an ?1 ? bn ……7 分
……8 分 10 分 ……11 分

n ? 4 时, an ?1 ? a5 ? 24a , bn ? b4 ? 63a ,此时 an ?1 ? bn .
n 2 ? 11n ? 12 n 2 ? 9n ? 22 5 ? n ? 16 时, an ?1 ? a , bn ? a ? 64a ? 4na 2 2

an ?1 ? bn ? (5n ? 59)a .

所以, 5 ? n ? 11 时, an ?1 ? bn ; 12 ? n ? 16 时, an ?1 ? bn . n ? 17 时,显然 an ?1 ? bn 故当 1 ? n ? 11 时, an ?1 ? bn ;当 n ? 12 时, an ?1 ? bn . 21.已知椭圆 C : 13 分

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过焦点且垂直于长轴的直线被椭 2 2 a b

圆截得的弦长为 1 ,过点 M (3,0) 的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 为椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? tOP ( O 为坐标原点) ,当 | AB |? 3 时,求 实数 t 的取值范围. 解(1) 由已知 e ?

c2 3 c 3 2 2 2 2 ,所以 2 ? ,所以 a ? 4b , c ? 3b ? 4 a 2 a
…… 1 分

x2 y2 所以 2 ? 2 ? 1 4b b

又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为 所以 b ? 1 所以 …… 3 分 …… 4 分

2b 2 ?1 a

x2 ? y2 ? 1 4

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x, y) 设 AB : y ? k ( x ? 3) 与椭圆联立得

? y ? k ( x ? 3) ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ? 4
整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ? 4 ? 0

? ? 242 k 4 ? 16(9k 2 ? 1)(1 ? 4k 2 ) ? 0
1 得k ? 5
2

24k 2 36k 2 ? 4 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

…… 6 分

OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y)

1 24k 2 x ? ( x1 ? x2 ) ? t t (1 ? 4k 2 )

1 1 ?6k y ? ( y1 ? y2 ) ? ? k ( x1 ? x2 ) ? 6k ? ? t t t (1 ? 4k 2 )
由点 P 在椭圆上得

(24k 2 ) 2 144k 2 ? ?4 t 2 (1 ? 4k 2 )2 t 2 (1 ? 4k 2 )2
…… 8 分

36k 2 ? t 2 (1 ? 4k 2 )
又由 AB ? 1 ? k
2

x1 ? x2 ? 3 , 所以 (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2 ? 3

2 (1 ? k 2 ) ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ??3

? 242 k 4 4(36k 2 ? 4) ? (1 ? k ) ? ? ? ?3 2 2 2 (1 ? 4 k ) 1 ? 4 k ? ?
2

(8k 2 ? 1)(16k 2 ? 13) ? 0
所以 8k ? 1 ? 0, k ?
2 2

1 8
2 2

…… 11 分 由 36k ? t (1 ? 4k ) 得
2

所以

1 1 ? k2 ? 8 5

t2 ?

36k 2 9 ?9? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2

所以 3 ? t ? 4 ,所以 ?2 ? t ? ? 3 或 3 ? t ? 2

…… 13 分

22.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax(a ? 0) ,g ( x) ? ln x , f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处的 切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2 , 并且 l1 与 l2 平行. 最小值(用 t 表示) ; (1)已知实数 t∈R,求 u ? x ln x, x ?? 1 , e ? 的取值范围及函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ??1, e? 的

(2) 令 F (x) ?g (x) ? g( ' x)

, 给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 , 对于两个大于 1 的正数 ? , ? ,

存 在 实 数 m 满 足 : ? ? mx 1 ? (1 ? m) x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 , 并 且 使 得 不 等 式 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解: y ? f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M (a, 0) , f '( x) ? 2 x ? a
y ? g ( x ? 1) ? ln( x ? 1) 图象与 x 轴的交点 N (2,0) , g '( x ? 1) ?
由题意可得 kl1 ? kl2 ,即 a ? 1 , ∴ f ( x) ? x2 ? x, , ………2 分

1 x ?1

(1) y ? f [ xg ( x)+t ] ? [ x ln x+t ]2 ? ( x ln x+t ) = ( x ln x)2 ? (2t ?1)( x ln x) ? t 2 ? t …4 分 令 u ? x ln x ,在 x ??1, e? 时, u ' ? ln x ? 1 ? 0 , ∴ u ? x ln x 在 ?1, e? 单调递增, 0 ? u ? e,

………3 分

y ? u 2 ? (2t ?1)u ? t 2 ? t 图象的对称轴 u ?
① 当u ?

1 ? 2t 1 ? 0 即 t ? 时, ymin ? y |u ?0 ? t 2 ? t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e ? e 即t ? ②当 u ? 时, ymin ? y |u ?e ? e2 ? (2t ?1)e ? t 2 ? t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 1 ?e即 ? t ? 时, ③当 0 ? 2 2 2 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 1 …………6 分 ymin ? y | 1?2t ? ( ) ? (2t ? 1) ?t ?t ? ? u? 2 2 4 2 1 1 1 x ?1 (3) F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ? ln x ? , F '( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 得x ? 1 x x x x 所以 F ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增 ……………………7 分 ? F(1) ?0 ∴ 当x ? 1 时, F(x) ①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

1 ? 2t ,抛物线开口向上 2

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 , 得 ? ? ( x1 , x2 ) ,同理 ? ? ( x1 , x2 ) , 0 ? F ( x1 ) ? F (? ) 、 F (? ) ? F ( x2 ) ∴ 由 f ( x) 的单调性知 从而有 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,符合题设. ………………9 分 ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 由 f ( x) 的单调性知 0 ? F (? ) ? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (? ) , ∴ | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符 ……………11 分 ③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 , 得 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符. …………12 分
∴综合①、②、③得 m ? (0,1) ……………13 分


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