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第四章 优化设计4.3-4.4


第四章 优化设计

第三章 优 化 设 计
3.3 几种优化方法

3.4 优化方法的工程应用

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3.3 几种优化方法
3.3.1 无约束优化方法 3.3.2 有约束优化方法

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br />
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3.3.1

无约束优化方法

1 最速下降法(梯度法)
2 牛顿类方法

3 变尺度法
4 其它方法(如坐标轮换法、单纯形法)

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第4.1节所列举的机械优化设计问题,都是在一定的 限制条件下追求某一指标为最小,它们都属于约束优化 问题。工程问题大都如此。 为什么要研究无约束优化问题?
(1)有些实际问题,其数学模型本身就是一个无约束优 化问题。 (2)通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好 的基础。 (3)约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法 来达到。所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的 基本组成部分,也是优化方法的基础。
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无约束优化问题是: 求n维设计变量 使目标函数

x ? [ x1 x2 ? xn ]T
f ( x ) ? min

min f ( x )

x ? Rn

目前已研究出很多种无约束优化方法,它们的主要不同 点在于构造搜索方向上的差别。 (1)间接法——要使用导数,如梯度法、(阻尼)牛顿法、 变尺度法、共轭梯度法等。

(2)直接法——不使用导数信息,如坐标轮换法、鲍威尔 法单纯形法等。
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用直接法寻找极小点时,不必求函数的导数,只要计算目标 函数值。这类方法较适用于解决变量个数较少的(n ≤20)问题, 一般情况下比间接法效率低。间接法除要计算目标函数值外,还 要计算目标函数的梯度,有的还要计算其海赛矩阵。

x

k ?1

? x ?? s
k k

k

( k ? 0,1, 2, ?)

搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。

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1. 最速下降法(梯度法)
基本思想:函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的 方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方 法寻优的问题,利用负梯度作为搜索方向,故称最速下降法 或梯度法。

搜索方向s取该点的负梯度方向??f ( x ) (最速下降方 向) ,使函数值在该点附近的范围内下降最快 。

x
x

k ?1

? x ? ?k s
k
k

k

(k ? 0,1,2,?)
k

k ?1

? x ? ak ?f ( x ) ( k ? 0,1,2,?)
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为了使目标函数值沿搜索方向 ??f 能够获得最大 ( xk ) 的下降值,其步长因子 应取一维搜索的最佳步长。 ?k 即有

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f ( x k ?1 ) ? f [ x k ? ak ?f ( x k )] ? min f [ x k ? a?f ( x k )]
a

? min ? (? )
a

根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求 导公式,得

? '(? ) ? ???f [ x ? ? k ?f ( x )]? ?f ( x k ) ? 0
k k T

[?f ( x )] ?f ( x ) ? 0
k ?1 T k

(s ) s ? 0
k ?1 T k

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在最速下降法中,相邻

两个迭代点上的函数梯度相 互垂直。而搜索方向就是负 梯度方向,因此相邻两个搜 索方向互相垂直。这就是说 在迭代点向函数极小点靠近 的过程,走的是曲折的路线。 形成“之”字形的锯齿现象,
而且越接近极小点锯齿越细。
最速下降法的搜索路径
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方法规律

(1)初始点可任选,每次迭代计算量小,存储量少, 程序简短。即使从一个不好的初始点出发,开始的几步 迭代,目标函数值下降很快,然后慢慢逼近局部极小点。 (2)任意相邻两点的搜索方向是正交的,它的迭代路 径为绕道逼近极小点。当迭代点接近极小点时,步长变
得很小,越走越慢。

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开始

给定 x 0 , ?
k ?0
d k ? ??f ( x k )

x k ?1 ? x k ? ? k d k

k ? k ?1

? k : min f ( xk ? ?d k ) ?

x * ? x k ?1

x

k ?1

?x

k

??



结束
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例3-1 求目标函数 f ( x ) ?的极小点。 x12 ? 25 x22 解 取初始点 x 0 ? [2,2]T 则初始点处函数值及梯度分别为 f ( x 0 ) ? 104
? 2 x1 ? ?4 ? ?f ( x ) ? ? ?? ? ? ?50 x2 ? x0 ?100 ? 沿负梯度方向进行一维搜索,有
0

? 2 ? 4? 0 ? x ? x ? ? 0 ?f ( x ) ? ? ? 2 ? 100 ? 0? ?
1 0 0

? 0为一维搜索最佳步长,应满足极值必要条件
f ( x1 ) ? min ?(2 ? 4? ) 2 ? 25(2 ? 100? ) 2 ? ? min ? (? )
? ? 汽车产品数字化设计

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? '(? ) ? ?8(2 ? 4? 0 ) ? 5 000(2 ? 100? 0 ) ? 0
算出一维搜索最佳步长

626 ?0 ? ? 0.020 030 72 31 252
第一次迭代设计点位置和函数值

? ? 2 ? 4? 0 ? ?1.919 877 x ?? ?? ? ?2 ? 2 ? 100 ? 0? ? ? ?0.307 178 5 ? 10 ?
1

f ( x1 ) ? 3.686 164
? T x ? 0 0 继续作下去,经10次迭代后,得到最优解 ? ?

f ( x? ) ? 0

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这个问题的目标函数的等值线为一簇椭圆,迭代点从
走的是一段锯齿形路线,见图4-3。

x0

1

图4-3
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2 2 f ( x ) ? x ? 25 x 将上例中目标函数 1 2 引入变换

y1=x1,

y2=5x2
2 1 2 2

则函数f(X)变为: ? ( y1 , y2 ) ? y ? y
其等值线由椭圆变成一簇同心圆。

仍从 x 0 ? [2,2]T 即 y 0 ? [2,10]T 出发进行最速下降法 寻优。此时: 0

? ( y ) ? 104
0

? 2 y1 ? ?4 ? ?? ( y ) ? ? ?? ? ? ? 2 y2 ? y0 ? 20 ?
沿负梯度方向进行一维搜索:
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y ? y ? ? 0?? ( y )
1 0 0

?2? ? 4 ? ? 2 ? 4?0 ? ?10 ? ? ? 0 ? 20 ? ? ?10 ? 20 ? ? ? ? ? ? ? 0?
β 为一维搜索最佳步长,可由极值条件:

? ( y ) ? min ?[ y ? ??? ( y )] ? min ?( ? ) ? ?
1 0 0

? ( ? ) ? (2 ? 4 ? ) ? (10 ? 20 ? )
2

2



??( ? 0 ) ? 0 26 ?0 ? ? 0.5 52

从而算得一步计算后设计点的位置及其目标函数: 汽车产品数字化设计

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? 2 ? 4? 0 ? ?0 ? y ?? ?? ? ? ?10 ? 20 ? 0 ? ?0 ?
1

?( y ) ? 0
1

经变换后,只需一次迭代,就可找到最优解。 这是因为经过尺度变换:

y1 ? x1 y 2 ? 5 x2
等值线由椭圆变成圆。
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梯度法的特点 (1)理论明确,程序简单,对初始点要求不严格。

(2)对一般函数而言,梯度法的收敛速度并不快,因为最速下
降方向仅仅是指某点的一个局部性质。 (3)梯度法相邻两次搜索方向的正交性,决定了迭代全过程的 搜索路线呈锯齿状,在远离极小点时逼近速度较快,而在接 近极小点时逼近速度较慢。

(4)梯度法的收敛速度与目标函数的性质密切相关。对于等值
线(面)为同心圆(球)的目标函数,一次搜索即可达到极小 点。
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基本思想 :

4-2 牛顿法及其改进

在xk邻域内用一个二次函数? ( x ) 来近似代替原目 标函数,并将? ( x ) 的极小点作为对目标函数 f ( x ) 1 求优的下一个迭代点 x k ?。经多次迭代,使之逼近目 标函数 f ( x )的极小点。 牛顿法是求函数极值的最古老算法之一。

f ( x ) ? ? ( x ) ? f ( x k ) ? ?f ( x k ) T ( x ? x k )
设 x k ?1为 ? ( x ) 的极小点 k ?1 ?? ( x ) ? 0

1 ? ( x ? x k )T ? 2 f ( x k )( x ? x k ) 2

?f ( x k ) ? ? 2 f ( x k )( x k ?1 ? x k ) ? 0 汽车产品数字化设计

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x k ?1 ? x k ? [? 2 f ( x k )]?1 ?f ( x k ) (k ? 0,1,2,?)
这就是多元函数求极值的牛顿法迭代公式。 对于二次函数 ,海赛矩阵H是一个常矩阵,其中 各元素均为常数。因此,无论从任何点出发,只 需一步就可找到极小点。
2 2 f ( x ) ? x ? 25 x 例4-2 求目标函数 的极小点。 1 2

解 取初始点 x 0 ? [2,2]T
?1 ? 0? ? 2 ? ? 2 1 0 2 0 ?1 0 x ? x ?? ? ?? f ( x ) ? ? ?f ( x ) ? ? 2 ? ? ? ? ? ?0 1 ? ? 50 ? ? ? ? 4 ? ?0? ?100 ? ? ?0 ? ? ? ? ?
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经过一次迭代即求得极小点 x ? ? ? 0 0? ? 函数极小值 f ( x ) ? 0

从牛顿法迭代公式的推演中可以看到,迭代点的 位置是按照极值条件确定的,其中并未含有沿下降 方向搜寻的概念。因此对于非二次函数,如果采用 上述牛顿迭代公式,有时会使函数值上升 。
阻尼牛顿法
x k ?1 ? x k ? ? k s k ? x k ? ? k [? 2 f ( x k )]?1 ?f ( x k ) (k ? 0,1, 2,?)

? k 阻尼因子 ,沿牛顿方向进行一维搜索的最佳 步长,由下式求得: f ( x k ?1 ) ? f ( x k ? ? k s k ) ? min f ( x k ? ? k s k )
?
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开始

给定 x 0 , ?
k ?0
d k ? ?[? 2 f ( x k )]?1 ?f ( x k )

x k ?1 ? x k ? ? k d k

k ? k ?1

? k : min f ( xk ? ?d k ) ?

x * ? x k ?1

x

k ?1

? x ??
k



结束

阻尼牛顿法程序框图

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方法特点 (1) 初始点应选在X*附近,有一定难度; (2) 尽管每次迭代都不会是函数值上升,但不能保证每次下 降 ;

(3) 若迭代点的海赛矩阵为奇异,则无法求逆矩阵,不能构 造牛顿法方向;
(4) 不仅要计算梯度,还要求海赛矩阵及其逆矩阵,计算量和 存储量大。此外,对于二阶不可微的F(X)也不适用。 虽然阻尼牛顿法有上述缺点,但在特定条件下它具有收敛 最快的优点,并为其他的算法提供了思路和理论依据。

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梯度法与牛顿法: 一般迭代式:

x k ?1 ? x k ? ? k s k (k ? 0,1,2,?)
梯度法:

x

k ?1

? x ? ak ?f ( x ) ( k ? 0,1, 2,?)
k k

牛顿法:

x k ?1 ? x k ? [?2 f ( x k )]?1 ?f ( x k ) (k ? 0,1,2,?)
阻尼牛顿法:

x k ?1 ? x k ? ? k [? 2 f ( x k )]?1 ?f ( x k )
x k ?1 ? x k ? ? k Ak ?f ( x k )

( k ? 0,1, 2,?)
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3-3 变尺度法
DFP变尺度法首先有戴维顿(Davidon)于1959年提出, 又于1963年由弗莱彻(Fletcher)和鲍维尔加以发展和完善,成

为现代公认的较好的算法之一。
DFP法是基于牛顿法的思想又作了重要改进。这种算法仅

用到梯度,不必计算海赛阵及其逆矩阵,但又能使搜索方向逐
渐逼近牛顿方向,具有较快的收敛速度。

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基本思想 变量的尺度变换是放大或缩小各个坐标。通过尺 度变换可以把函数的偏心程度降到最低限度。
2 2 f ( x ) ? x ? 25 x 例如在用最速下降法求 1 2

的极小

T x ? [0,0] 值时 ,需要进行10次迭代才能达到极小点

如作变换

y1=x1,

y2=5x2

把 x2 的尺度放大5倍,则目标函数等值线由一簇 椭圆变成一簇同心圆。
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? ( y1 , y2 ) ? y12 ? y22
消除了函数的偏心,用最速下降法只需一次迭代即可求 得极小点。 梯度法构造简单,只用到一阶偏导数,计算量小,初始 点可任选,且开始几次迭代,目标函数值下降很快;其主要 缺点是迭代点接近X*时,即使对二次正定函数收敛也非常慢。 牛顿法收敛很快,对于二次函数只需迭代一次便达到最 优点,对非二次函数也能较快迭代到最优点,但要计算二阶 偏导数矩阵及其逆阵,对维数较高的优化问题,其计算工作 和存储量都太大。

能不能将两种算法的优点综合起来,扬长避短?
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x k ?1 ? x k ? ? k Ak ?f ( x k ) Ak 是需要构造n×n的一个对称方阵 ,

如Ak=I, 则得到梯度法 ;
如 Ak ? [? 2 f ( x k )]?1 则得到阻尼牛顿法 ;

当矩阵Ak

不断地迭代而能很好地逼近 [? f ( x )]
2 k

?1

时,就可以不再需要计算二阶导数。

变尺度法的关键在于尺度矩阵Ak的产生 。
对于二次函数:
1 T f ( x ) ? x Gx ? bT x ? c 2

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进行尺度变换

x ? Qx

目的:减少二次项的偏心

在新的坐标系中,函数f(x)的二次项变为: 1 T 1 T T x Gx ? x Q GQx 2 2
如G是正定,则总存在矩阵Q,使得:

Q T GQ ? I
用矩阵Q-1右乘等式两边,得: Q G ? Q
T ?1

用矩阵Q左乘等式两边,得: 所以

QQ T G ? I

QQT ? G ?1

上式说明:二次函数矩阵G的逆阵,可以通过尺度变换 矩阵Q来求得。 汽车产品数字化设计

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牛顿迭代公式:

x k ?1 ? x k ? ? k [? 2 f ( x k )]?1 ?f ( x k ) x k ?1 ? x k ? ? k QQT ?f ( x k )
T QQ ?A 记:

( k ? 0,1,2,?)

(k ? 0,1,2,?)

A 称为变尺度矩阵
搜索方向:

s k ?1 ? ? Ak ?f ( x k )
迭代公式:

( k ? 0,1, 2,?)
( k ? 0,1,2,?)
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x k ?1 ? x k ? ? k Ak ?f ( x k )

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2 2 f ( x ) ? x ? 25 x 1 2 在例4-2中 ? 2 0 ? ? x1 ? 1 T 1 2 2 f ( x ) ? x1 ? 25 x2 ? ? x1 x2 ? ? x Gx ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 50? ? x2 ? 2

?2 0 ? G?? ? 0 50 ? ?

如取

? 1 ? 2 Q?? ? 0 ? ?

? 0 ? ? 1 ? 5 2? ?

? 1 ? 2 T Q GQ ? ? ? 0 ? ?

? ? 1 0 ? ?2 0 ? ? 2 ?? ? ? 1 ? ? 0 50 ? ? 0 ? 5 2? ? ?

? 0 ? ?1 0 ? ??? ?I ? 1 ? ?0 1 ? 5 2? ? 汽车产品数字化设计

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求得:

? 1 ? 2 ?1 T G ? QQ ? ? ? 0 ? ?

?? 1 0 ?? 2 ?? 1 ?? 0 5 2? ?? ?

? ?1 0 ? ?2 ??? 1 ? ? 0 ? 5 2? ? ?

? 0? ? 1? 50 ? ?

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2.构造尺度矩阵Ak
从初始矩阵A0=I(单位矩阵)开始,通过对公式

Ak ?1 ? Ak ? ?Ak
k 中修正矩阵?A 的不断修正,在迭代中逐步逼近于

G (x ) 。
因此,一旦达到最优点附近,就可望达到牛顿法 的收敛速度。
1)DFP法(Davidon-Fletcher-Powell) T k k k k k T k ? x [ ? x ] A ? g [ ? g ] A ?Ak ? ? k T k [?x ] ?g [?g k ]T Ak ?g k
式中
? ?g k ? g k ?1 ? g k ? ?f ( x k ?1 ) ? ?f ( x k ) ? k k ?1 k ? x ? x ? x ?
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?1

k

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2)BFGS算法(Broyden-Fletcher-Gold frob-Shanno )
k k T k T k k 1 ? x [ ? x ] [ ? g ] A ? g k k k T ?A ? {?x [?x ] ? k T k [ ?x ] ?g [ ?x k ]T ?g k

? A ?g [ ?x ] ? ? x [ ? g ] A }
k k T k k T

k

DFP算法由于舍入误差和一维搜索不精确,有可能导致构 造矩阵的正定性遭到破坏,以至算法不稳定。BFGS算法对 于维数较高问题具有更好的稳定性。

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开始

给定

x

0

,?

g 0 ? ?f ( x 0 ) A0 ? I

k ?0
d k ? ? Ak g k

x k ?1 ? x k ? ? k d k

? k : min f ( xk ? ?d k ) ?

x * ? x k ?1

x k ?1 ? x k ? ?

否 是

k ? k ?1

k ?n

结束
x 0 ? x k ?1


g k ?1 ? ?f ( x k ?1 ) ?g k ? g k ?1 ? g k ?x k ?1 ? x k ?1 ? x k

Ak ?1 ? Ak ? ?Ak ?1

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例4-3: 用DFP算法求下列问题的极值:

f ( x1 , x2 ) ? x ? 2 x ? 4 x1 ? 2 x1 x2
2 1 2 2
T 解: 1)取初始点x 0 ? [1 1],为了按 DFP法构造第 一次搜寻方向d0,需计算初始点处的梯度

? 2 x1 ? 2 x2 ? 4 ? ? ?4 ? g ? ?f ( x ) ? ? ?? ? ? ? 4 x2 ? 2 x1 ? x0 ? 2 ?
0 0

取初始变尺度矩阵为单位矩阵A0=I,则第一次 搜寻方向为
?1 0 ? ? ?4 ? ? 4 ? d ? ?A g ? ?? ?? ? ? ? ? ?0 1 ? ? 2 ? ? ?2 ?
0 0 0

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沿d0方向进行一维搜索,得

?1? ? 4 ? ?1 ? 4? 0 ? x ? x ? ? 0d ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ?? ? ? ? 0?
1 0 0

? 0 为一维搜索最佳步长,应满足
f ( x1 ) ? min f ( x 0 ? ? d 0 ) ? min(40? 2 ? 20? ? 3)
? ?

得:

? 0 ? 0.25 ,

? 2? x ?? ? ?0.5?
1

2)再按DFP法构造点x1处的搜寻方向d1,需计算

? 2 x1 ? 2 x2 ? 4 ? ? ?1? g ?? ?? ? ? ? 4 x2 ? 2 x1 ? x1 ? ?2 ?
1

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? ?1? ? ?4 ? ? 3 ? ?g ? g ? g ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? 2 ? ? ?4 ? ? 2 ? ?1? ? 1 ? 0 1 0 ?x ? x ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.5 1 ? 0.5 ? ? ?? ? ?
0 1 0

代入校正公式
0 0 0 T 0 ? x [ ? x ] A ? g [ ? g ] A 0 ?A ? ? 0 T 0 [?x ] ?g [?g 0 ]T A0 ?g 0 0 0 T

=

? 1 ? ?3? ? ?0.5? ?1 ?0.5? ? ?4 ? ?3 ?4? ? ? ?? ? ?3? ?3? ?1 ?0.5? ? ? ?3 ?4? ? ? ? ?4 ? ? ?4 ?

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第二次搜寻方向为

? 21 19 ? = ?1 0 ? 1 ? 1 ?0.5? 1 ? 9 ?12 ? ? 25 50 ? ?0 1 ? ? 5 ? ?0.5 0.25 ? ? 25 ? ?12 16 ? ? ? 19 41 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 50 100 ? ?

A1 ? A0 ? ?A0

?8? ?6? 1 1 1 d ? ?A g ? ? ? ?6? ? ?5? ? 再沿d1进行一维搜索,得 8 ? ? 2 ? ?1 ? ? 5 2 1 1 x ? x ? ?1d ? ? ? ?0.5 ? 6 ? ? 1 ? 5 ? ? ?

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2

? 1 为一维搜索最佳步长,应满足
8 2 11 f ( x ) ? min f ( x ? ? d ) ? min( ? ? 4? ? ) ? ? 5 2 ?4? 5 2 ?1 ? x ?? ? 得 , 4 ?2?
1 1

3)判断x2是否为极值点

梯度:

? 2 x1 ? 2 x2 ? 4 ? ?0 ? ?f ( x ) ? ? ?? ? ? ? 4 x2 ? 2 x1 ? x 2 ?0 ?
2

海赛矩阵 :

? 2 ?2 ? ? f (x ) ? ? ? ? ?2 4 ?
2 2

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梯度为零向量,海赛矩阵正定。可见点满足极值 充要条件,因此为极小点。

x ? x ? ? 4 2?
* 2

T

f ( x ) ? ?8
*

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4 其它方法(如坐标轮换法、单纯形法)
前面介绍的许多优化方法,都需要计算目标函数的导数,
而在实际工程的最优化问题中,目标函数的导数往往很难求 出或者根本无法求出。下面所介绍的方法只需要计算目标函 数值,无需求其导数,因此计算比较简单,其几何概念也比 较清晰,属于直接法的无约束最优化方法。这类方法适用于

不知道目标函数的数学表达式而仅知其具体算法的情况。这
也是直接法的一个优点。

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坐标轮换法的基本思想:是将 一个n维优化问题转化为依次沿 n个 坐标方向反复进行一维搜索问题。 这种方法的实质是把 n 维问题的求 优过程转化为对每个变量逐次进行 一维求优的循环过程。每次一维搜 索时,只允许 n 个变量的一次改动, 其余(n-1)个变量固定不变。故坐标 轮换法也常称单变量法或变量交错 法。

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坐标轮换法

此法的效能在很大程度上取决于目标函数的性质。

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方法特点
(1)计算量少,程序简单,不需要求函数导数的直接探索目标 函数最优解的方法;
(2)探索路线较长,问题的维数愈多求解的效率愈低。当维数 n>10时,则不应采用此法。仅适用于n较少(n <10)的目标函 数求优; (3)改变初始点重新迭代,可避免出现病态。

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第四章 优化设计

一维搜索法
优化方法中最基本的方法。所谓搜索,就是一步一步的查寻,直
至函数的近似极值点处。其基本原理是区间消去法原则,即把搜索区 间[a, b]分成3段或2段,通过判断弃除非极小段,从而使区间逐步缩

小,直至达到要求精度为止,取最后区间中的某点作为近似极小点。
对于已知极小点搜索区间的实际问题,可直接调用0.618法、分数 法或二次插值法求解。其中,0.618法步骤简单,不用导数,适用于低

维优化或函数不可求导数或求导数有困难的情况,对连续或非连续函
数均能获得较好效果,实际应用范围较广,但效率偏低。二次插值法 易于计算极小点,搜索效率较高,适用于高维优化或函数连续可求导

数的情况,但程序复杂,有时,可靠性比0.618法略差。

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单纯形法

其基本思想是,在n维设计空间中,取n+1个点,构成初
始单纯形,求出各顶点所对应的函数值,并按大小顺序排列。 去除函数值最大点Xmax,求出其余各点的中心Xcen,并在Xmax 或“扩张”等方式寻求函数值较小的新点,用以取代函数值最 大的点而构成新单纯形。如此反复,直到满足精度要求为止。 由于单纯形法考虑到设计变量的交互作用,故是求解非线性多

与Xcen的联线上求出反射点及其对应的函数值,再利用“压缩”

维无约束优化问题的有效方法之一。但所得结果为相对优化解。

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表1 无约束优化方法搜索方向之间的相互联系 ——间接法
搜索方向

函数梯度的修正 因子

所用目标函数 信息

梯度法

d k ? ? gk

I(单位阵)

一阶导数

(阻尼)牛 顿法

d k ? ?[G k ]?1 g k

[G k ]?1
(海赛矩阵的逆阵)

二阶导数

共轭梯度法

d k ? ?Q k g k

? [ g k ]T d k ?1 ? Q ? ? I ? k ?1 T k ?1 ? ? [g ] g ?
k

一阶导数

变尺度法

d k ? ? Ak g k Ak ? Ak ?1 ? ?Ak ?1

一阶导数,使

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Ak ? [G k ]?1

第四章 优化设计

无约束优化方法——间接法总结 1、梯度法 方向 负梯度 用到一阶导数 适合于精度不高或用于复杂函数寻找一个好的初始点 2、牛顿法 用到一阶导数和海赛矩阵,具有二次收敛性 要求海赛矩阵奇异,且维数不宜太高 3、共轭梯度法 用到一阶导数,具有二次收敛性 4、变尺度法 收敛快,效果好,被认为是目前最有效的无约束优化 方法。适用于维数较高,具有一阶偏导数的目标函数

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第四章 优化设计

无约束优化方法—直接法总结 1、坐标轮换法
计算效率较低 适合维数较低,目标函数无导数或导数较难求得

2、单纯形法
思路清楚,收敛慢

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第四章 优化设计

3.3.2

有约束优化方法
1 引言 2 随机方向法 3 复合形法 4 惩罚函数法

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第四章 优化设计

1 引言
机械优化设计中的问题,大多数属于约束优化设计问题, 其数学模型为

? min f ( x ), x ? R ? ? s.t. g j ( x ) ? 0 j ? 1, 2,?, m ? hk ( x ) ? 0 k ? 1, 2,?, l ?
n

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第四章 优化设计

上一节讨论的都是无约束条件下非线性函数的寻优方法,但 在实际工程中大部分问题的变量取值都有一定的限制,也就是 属于有约束条件的寻优问题。 与无约束问题不同,约束问题目标函数的最小值是满足约 束条件下的最小值,即是由约束条件所限定的可行域内的最小 值。只要由约束条件所决定的可行域必是一个凸集,目标函数 是凸函数,其约束最优解就是全域最优解。否则,将由于所选 择的初始点的不同,而探索到不同的局部最优解上。在这种情 况下,探索结果经常与初始点的选择有关。为了能得到全局最 优解,在探索过程中最好能改变初始点,有时甚至要改换几次。

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第四章 优化设计

根据求解方式的不同,约束优化设计问题可分为:直接解 法、间接解法。 (1)直接法 直接法包括:网格法、复合形法、随机试验法、随 机方向法、可变容差法和可行方向法。 (2)间接法 间接法包括:罚函数法、内点罚函数法、外点罚函 数法、混合罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和 约束变尺度法等。

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第四章 优化设计

直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题,思路是在m 个不等式约束条件所确定的可行域内,选择一个初始点,然后 决定可行搜索方向 d 且以适当的步长 ? ,进行搜索,得到一 个使目标函数值下降的可行的新点,即完成一次迭代。再以新 点为起点,重复上述搜索过程,直至满足收敛条件。

x ? x ? ?k d ? k 步长
k ?1 k

k

(k ? 0,1,2,?)

d

k

可行搜索方向

可行搜索方向:当设计点沿该方向作微量移动时,目标函数 值将下降,且不会越出可行域。
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第四章 优化设计

间接解法的基本思路是按照一定的原则构造一个包含原目 标函数和约束条件的新目标函数,即将原约束优化问题转化 成为一个或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进

行无约束优化计算,从而间接地搜索到原约束问题的最优解。

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第四章 优化设计

2 随机方向法
基本思想:利用计算机产生的随机数所构成的随机方向进
行搜索,产生的新点必须在可行域内,即满足直接法的特性。 随机方向法,是约束最优化问题的一种常用的直接求解方 法。它和随机梯度法、Gauss-Seidel法等都属于约束随机法。

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第四章 优化设计

其基本原理如图所示,在约束可行域S内选取一个初始点 X(0),在不破坏约束的条件下以合适的步长a沿X(0)点周围几 个不同的方向(以某种形式产生的随机方向)进行若干次探 索,并计算各方向上等距离(步长 a )点的函数值,找出其 中的最小值f(X(l))及点X(l)。若f(X(l))<f(X(0)),则 继续沿方向( X(l)-X(0) )以适当的步长 a 向前跨步,得到新 点X(1),若f(X(1))<f(X(l)),则将新的起点移至X(1) , 重复前面过程。否则应缩短步长 a ,直至取得约束好点。如

此循环下去。当迭代的步长已经很小时,则表明已经逼近约
束最优点。达到计算精度要求时,即可结束迭代计算。
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第四章 优化设计

图 约束随机方向探索法的基本原理
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第四章 优化设计

随机方向探索法的一般迭代计算公式为: X(k+1)=X(k)+aS(k) (k=0,1,2,…) 式中a为步长,S(k) 为第k次迭代的随机探索方向。

因此,随机方向探索法的计算过程可归结为:

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第四章 优化设计

3

复合形法

复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种重要的直
接方法。它来源于用于求解无约束非线性最优化问题的单纯形 法,实际上是单纯形法在约束问题中的发展。 如前所述,在求解无约束问题的单纯形法中,不需计算目 标函数的梯度,而是靠选取单纯形的顶点比较各顶点处目标函 数值的大小,来寻找下一步的探索方向的。在用于求解约束问 题的复合形法中,复合形各顶点的选择和替换,不仅要满足目 标函数值的下降,还应当满足所有的约束条件。

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第四章 优化设计

基本思想:在可行域中选取K个设计点 (n+1≤K≤2n)作
为初始复合形的顶点。比较各顶点目标函数值的大小,去掉 目标函数值最大的顶点(称最坏点),以坏点以外其余各点的中 心为映射中心,用坏点的映射点替换该点,构成新的复合形 顶点。 反复迭代计算,使复合形不断向最优点移动和收缩,直 至收缩到复合形的顶点与形心非常接近,且满足迭代精度要 求为止。

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第四章 优化设计

在可行域内任选三个初始点X(1)、X(2)、X(3),连接这三点形 成一个三角形,此三角形称为初始复合形。计算各个顶点函数值 F(X(1)) 、 F(X(2)) 、 F(X(3)) ,找出最大值,记为坏点 X(H) 。最小值, 记为最好点 X(L)。在次好点和好点连线与坏点反向一侧的各点应 具有较小的目标值。 取次好点和好点连线的中点为X(0)。
令:X(4)= X(0)+α(X(0)-X(H)) 称X(4)为映射点,记为X(R),α为映射系数,通常取α=1.3,可 根据实际情况进行缩减。 一般情况下,映射点的函数值比坏点的函数值要小,即 F(X(R))< F(X(H))。若满足可行域,则用X(R)代替X(H)构成新的复 合形。如此反复迭代直到找到最优解。
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第四章 优化设计

在迭代过程中,按映射系数α=1.3得到的映射点,不一定 满足适用性和可行性,如出现此情况,将映射系数减半, 重 新取得X(R), 使它满足适用性和可行性。

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第四章 优化设计

一、初始复合形的构成 复合形的顶点K通常取n+1≤K≤2n个。对于维数较低的 优化问题,由于顶点数目较少,可试凑几个可行点作为复合 形的顶点。对于维数较高的问题,采用随机方法,先产生K 个随机点,然后再把非可行点逐一调入可行域内。 1、产生K个随机点 xi= ai +ξi (bi - ai) i=1,2,….,n ξi为(0,1)区间内产生的均匀分布的随机数,需要n个随 机数产生一个点X (1)。同样,产生其它的随机点X (2)、X (3)、 ……X (K)。

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第四章 优化设计

2、将非可行点调入可行域 将产生的K个随机点进行判断是否在可行域内,重新排列 ,将可行点依次排在前面,如有q个顶点X (1)、X (2)、……X (q)是 可行点,其它K-q个为非可行点。对X (q+1),将其调入可行域的步 骤是:

(1)计算q个点集的中心X (s);
(2)将第q+1点朝着点X (s)的方向移动,按下式产生新的X
(q+1),即

X(q+1)= X(s)+0.5 (X(q+1)—X(s))

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第四章 优化设计

这个新点X(q+1)实际就是X(s)与原X(q+1)两点连线的中点,如 图。若新的X(q+1)点仍为非可行点,按上式再产生X(q+1),使它更 向X(s)靠拢,最终使其成为可行点。

按照这个方法,同样使X (q+2)、X 行点,这K个点就构成了初始复合形。

(q+3)、……X (K)都变为可

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第四章 优化设计

二、复合形法的迭代步骤

(1)构造初始复合形;
(2)计算各顶点的函数值F(X(j)),j=1,2,….,K。选出好点X(L)和 坏点X(H)。

X

( L)

: F(X

( L)

) ? min{F ( X

( j)

), j ? 1, 2,? , K }

X ( H ) : F ( X ( H ) ) ? max{F ( X ( j ) ), j ? 1, 2,? , K }
(3)计算坏点外的其余各顶点的中心点X(0)。

1 K ( j) X0 ? X ,j?H ? k ? 1 j ?1
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(4)计算映射点X(R)

X

( R)

?X

(0)

??(X

(0)

?X

(H )

)

检查X(R)是否在可行域内。若X(R)为非可行点,将映射系
数减半后再按上式改变映射点,直到X(R)进入可行域内为止。

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第四章 优化设计

(5)构造新的复合形 计算映射点的函数值F(X(R)),并与坏点的函数值F(X(H))比较

,可能存在两种情况:
1)映射点优于坏点 F(X(R))< F(X(H)) 在此情况,用X(R)代替X(H),构成新的复合形。

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第四章 优化设计

2)映射点次于坏点 F(X(R)) 〉 F(X(H)) 这 种 情 况 由 于 映 射点过远引起的 ,减半映射系数 ,若有 F(X(R))< F(X(H)),这又转化为第一种情况。

若经过多次的映射系数减半,仍不能使映射点优于坏点,则说
明该映射方向不利,此时,应改变映射方向,取对次坏点
X ( SH ) : F ( X ( SH ) ) ? max{F ( X ( j ) ), j ? 1, 2,?, K , j ? H }

的映射。

1 K ( j) X0 ? X , j ? SH ? k ? 1 j ?1 X ( R ) ? X (0) ? ? ( X (0) ? X ( SH ) )

再转回本步骤的开始处,直到构成新的复合形。
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第四章 优化设计

(6)判断终止条件 1)各顶点与好点函数值之差的均方根值小于误差限,即

1 { K

?[F ( X
j ?1

K

( j)

) ? F(X

( L)

)] } 2 ? ?
2

1

2)各顶点与好点的函数值之差的平方和小于误差限,即

?[F ( X
j ?1

K

( j)

) ? F(X

( L)

)] ? ?
2

3)各顶点与好点函数值差的绝对值之和小于误差限,即

? F(X
j ?1

K

( j)

) ? F(X

( L)

) ??

如果不满足终止迭代条件,则返回步骤2继续进行下一次迭 代;否则,可将最后复合形的好点X(L)及其函数值F(X(L))作为最 优解输出。 汽车产品数字化设计

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第四章 优化设计

方法特点

(1)复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种直接方
法,仅通过选取各顶点并比较各点处函数值的大小,就可 寻找下一步的探索方向。但复合形各顶点的选择和替换, 不仅要满足目标函数值下降的要求,还应当满足所有的约 束条件。 (2)复合形法适用于仅含不等式约束的问题。

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第四章 优化设计

4

惩罚函数法——间接方法

基本思想:通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约 束最优化问题,进而用无约束最优化方法去求解,这类方法

称为序列无约束最小化方法。简称为SUMT法。

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第四章 优化设计

将有约束的优化问题转化为无约束优化问题来求解。前 提:一是不能破坏约束问题的约束条件,二是使它归结到原 约束问题的同一最优解上去。

? min f ( x ), x ? R ? ? s.t. g j ( x ) ? 0 j ? 1, 2,?, m ? hk ( x ) ? 0 k ? 1, 2,?, l ?
n

构成一个新的目标函数,称为惩罚函数

? ( x , r1( k ) , r2( k ) ) ? f ( x ) ? r1( k ) ? G[ g j ( x )] ? r2( k ) ? H [hk ( x )]
i ?1 j ?1
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m

l

第四章 优化设计

求解该新目标函数的无约束极小值,以期得到原问题的约 束最优解。按一定的法则改变罚因子r1 和r2的值,求得一序列的 无约束最优解,不断地逼近原约束优化问题的最优解。
惩罚项必须具有以下极限性质:

lim r1( k ) ? G[ g i ( x )] ? 0
k ??

m

lim r2( k ) ? H [ h j ( x )] ? 0
k ?? j ?1

i ?1 l

从而有

lim ? ( x, r , r ) ? f ( x ) ? 0
k ?? (k ) 1 (k ) 2 (k )
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第四章 优化设计

根据约束形式和罚因子的递推方法等不同,罚函数法可分

为内点法、外点法和混合罚函数法三种。这种方法是 1968 年
由美国学者A.V.Fiacco和G.P.Mcormick提出的,把不等 式约束引入数学模型中,为求多维有约束非线性规划问题开

创了一个新局面。

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第四章 优化设计

1.内点法 这种方法将新目标函数定义于可行域内,序列迭代点在

可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解
具有不等式约束的优化问题。 对于只具有不等式约束的优化问题:

?min f ( x ) ? ?s.t. g j ( x ) ? 0

( j ? 1,2,?, m)

转化后的惩罚函数形式为:

1 ? ( x, r ) ? f ( x ) ? r ? i ?1 g i ( x )
m (k )

或:

? ( x, r ) ? f ( x ) ? r ( k ) ? ln[? g i ( x )]
i ?1

m

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第四章 优化设计

rk是惩罚因子,它是一个由大到小且趋近于0的正数列,即:

r ? r ? r ? ?r ? r
0 1 2 k

k ?1

??? 0

由于内点法的迭代过程在可行域内进行,“障碍项”的作用 是阻止迭代点越出可行域。由“障碍项”的函数形式可知,当

迭代点靠近某一约束边界时,其值趋近于 0 ,而“障碍项”的
值陡然增加,并趋近于无穷大,好像在可行域的边界上筑起了 一道“高墙”,使迭代点始终不能越出可行域。显然,只有当
k 惩罚因子

r ?0

时,才能求得在约束边界上的最优解。
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第四章 优化设计

罚因子的作用是:由于内点法只能在可行域内迭代,而

最优解很可能在可行域内靠近边界处或就在边界上,此时尽管
泛函的值很大,但罚因子是不断递减的正值,经多次迭代,接 近最优解时,惩罚项已是很小的正值。

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第四章 优化设计

例5-2 用内点法求

min f ( x ) ? x12 ? x22

s.t. g ( x ) ? 1 ? x1 ? 0

的约束最优解。

解: 用内点法求解该问题时,首先构造内点惩罚函数:

? ( x, r ) ? x12 ? x22 ? r k ln( x1 ? 1)
用解析法求函数的极小值,运用极值条件:

rk ? ?? ? ?x ? 2 x1 ? x ? 1 ? 0 ? 1 1 ? ? ?? ? 2 x ? 0 2 ? ? x ? 2 ? k 1 ? 1 ? 2 r ? x1 ( r k ) ? 联立求解得: ? 2 ? x (r k ) ? 0 ? 2

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1 ? 1 ? 2r x1 ( r ) ? 时不满足约束条件 2 应舍去 。
无约束极值点为

g ( x) ? 1 ? x1 ? 0

? * k 1 ? 1 ? 2r k ? x1 (r ) ? ? 2 ? x* ( r k ) ? 0 ? 2


r0 ? 4
r ? 1.2
0

x* (r 0 ) ? [2 0]T x* (r 0 ) ? [1.422 0]T x (r ) ? [1.156 0]
* 0 T

f ( x* (r 0 )) ? 4 f ( x* (r 0 )) ? 2.022 f ( x* (r 0 )) ? 1.336
0 f ( x* (r汽车产品数字化设计 )) ? 1

r ? 0.36 r0 ? 0
0

x* (r 0 ) ? [1 0]T

第四章 优化设计

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第四章 优化设计

1) 初始点x0的选取 使用内点法时,初始点应选择一个离约束边界较远的可行 点。如太靠近某一约束边界,构造的惩罚函数可能由于障碍 项的值很大而变得畸形,使求解无约束优化问题发生困难. 2) 惩罚因子初值r0的选取 惩罚因子的初值应适当,否则会影响迭代计算的正常进行。一 般而言,太大,将增加迭代次数;太小,会使惩罚函数的性态 变坏,甚至难以收敛到极值点。无一般性的有效方法。对于不 同的问题,都要经过多次试算,才能决定一个适当 r0

3) 惩罚因子的缩减系数c的选取 在构造序列惩罚函数时,惩罚因子r是一个逐次递减到0的数 列,相邻两次迭代的惩罚因子的关系为 :
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第四章 优化设计

r ? cr
r

k ?1

(k ? 1,2,...)

式中的c称为惩罚因子的缩减系数,c为小于1的正数。一 般的看法是,c值的大小在迭代过程中不起决定性作用,通 常的取值范围在0.1~0.7之间。

4) 收敛条件

?[ x (r ), r ] ? ?[ x (r ), r ] ? ?1 * k ?1 k ?1 ?[ x (r ), r ]
* k k * k ?1 k ?1

x (r ) ? x (r ) ? ? 2
* k * k ?1
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第四章 优化设计

算法步骤:
1)选择可行域内初始点X(0);
2)选取初始罚因子r(0)与罚因子降低系数c,并置K←0;

3)求minφ(x(K),r(K))解出最优点xK*;
4)当K=0转步骤5),否则转步骤6);

5)K←K+1,r(K+1)←r(K), xK+10←xK* ,并转步骤3);
6)按终止准则判别,若满足转步骤7),否则转步骤5);

7)输出最优解(X*,F*),停止计算。
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2. 外点法 外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最 优解。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。 外点惩罚函数的形式为:

? ( x , r ) ? f ( x ) ? r ? max[0, g i ( x )] ? r ?[ h j ( x )]
2 i ?1 j ?1

m

l

2

r是惩罚因子 ,

r 0 ? r1 ? r 2 ? ? ? ?

外点法的迭代过程在可行域之外进行,惩罚项的作用是迫使迭 代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项的形式可知,当迭 代点x 不可行时,惩罚项的值大于0。
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第四章 优化设计

例5-3 用外点法求解下列有约束优化问题

1 min f ( x ) ? ( x1 ? 1)3 ? x2 3 s.t. g1 ( x ) ? 1 ? x1 ? 0

g 2 ( x ) ? ? x2 ? 0
解:惩罚函数为: 1 ? ( x, r ) ? ( x1 ? 1)3 ? x2 ? r[max(0,1 ? x1 )]2 ? r[max(0, ? x2 )]2 3
? 1 3 ( x ? 1) ? x2 1 ? ? 3 ?? ? 1 ( x ? 1)3 ? x ? r (1 ? x ) 2 ? r (? x ) 2 1 2 1 2 ? ?3 ( g1 ( x ) ? 0, g 2 ( x ) ? 0) ( g1 ( x ) ? 0, g 2 ( x ) ? 0)

对上式求偏导,得

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第四章 优化设计

?? ?( x1 ? 1) ?? ?x1 ? ( x1 ? 1) 2 ? 2r (1 ? x1 )
2

?? ?1 ?? ?x2 ?1 ? 2r ( ? x2 )
无约束目标函数极小化问题的最优解系列为:

x1* (r ) ? ?1 ? r ? r ? 4r 1 x (r ) ? ?0.5 r
* 2

当惩罚因子渐增时,由下表可看出收敛情况。

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r
0.01
0.1 1 10 1000 ∞

* x1

* x2

? * (r )
-24.9650
-2.2344 0.9631 2.3068 2.6624

f * (r )
-49.9977
-4.9474 0.1295 2.0001 2.6582

-0.80975
-0.45969 0.23607 0.83216 0.99800 1

-50.00000
-5.00000 -0.50000 -0.05000 -0.00050 0

8/3

8/3

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第四章 优化设计

内点法和外点法的简单比较 内点法的特点: (1)始点必须为严格内点 (2)不适于具有等式约束的数学模型 (3)迭代过程中各个点均为可行设计方案 (4)一般收敛较慢 (5)初始罚因子要选择得当 (6)罚因子为递减,递减率c有0<c<1 外点法的特点: (1)初始点可以任选 (2)对等式约束和不等式约束均可适用 (3)仅最优解为可行设计方案 (4)一般收敛较快 (5)初始罚因子要选择得当 (6)罚因子为递增,递增率c’有c’>1

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第四章 优化设计

3. 混合法

混合法是用内点法处理不等式约束,用外点法处理等式约束。可
以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。 混合惩罚函数的形式为:
l 1 1 ? ( x, r ( k ) ) ? f ( x ) ? r ( k ) ? ? ( k ) ? [ h j ( x )]2 r j ?1 i ?1 g i ( x ) m

r是惩罚因子 ,

r ? r ? r ? ?r ? r
0 1 2 k

k ?1

??? 0

混合法具有内点法的特点,迭代过程在可行域之内进行,参数 的选择同内点法。
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第四章 优化设计

惩罚函数法原理简单,算法易行,且分内点法、外点 法和混合法三种,各有特点,适用范围广。需要和有效的 无约束优化方法结合使用。因此该方法也是应用较多的有

约束优化方法。

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第四章 优化设计

选择适用而有效的优化方法应考虑以下因素 1.优化设计问题的规模,即设计变量数目和约束条件数 目的多少。

2.目标函数和约束函数的非线性程度、函数的连续性、
等式约束和不等式约束以及函数值计算的复杂程度。 3.优化方法的收敛速度、计算效率,稳定性、可靠性,

以及解的精确性 4.是否有现成程序,程序使用的环境要求、通用性、简
便性、执行效率、可靠程度等。
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第四章 优化设计

4.4 优化方法在汽车工程的应用 离合器基本参数的优化
(《汽车设计》(王望予 主编)P61.) 1 设计变量 离合器工作压力F和离合器的主要尺寸参数D,d。 2 目标函数 保证离合器性能要求的条件下使其结构尺寸尽可能小,即目 标函数为:

f ( x) ? min[ ( D 2 ? d 2 )] 4
3 约束条件 包括有7个约束条件。
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?

第四章 优化设计

汽车车架的优化设计方法

优化设计作为一门新兴技术在现代汽车设计中得到了广

泛的应用。最优化是现代工程产品设计的目标。根据性能需
要合理的选择方案,以获得最佳效果。通常情况下汽车设计 是为了保证汽车的安全性,车架的设计刚度强度都远远大于

安全规定。虽然保证了安全性,却带来了油耗增加,噪音变大,
厂家耗材多等一系列问题。

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第四章 优化设计

1

客车车架有限元模型的建立

根据纵梁的结构特点,车架可以分为周边式、X型式、

梯形、脊梁式和综合式几种。其中梯型车架又称为边
梁式车架,是比较常用的一种车架。本节介绍的客车模 型就是边梁式车架。 车架纵梁形式的确定 车架的纵梁结构一方面要保证车架的功能,另一方

面还要满足整车总体布局的要求,同时要求形状简单。
纵梁的形状有上翼面是平直的和弯曲的两种:上翼面平 直式的车厢地板平整纵梁制造方便;翼面弯曲式纵梁部

分区段降低,地板相应高度降低,车辆的稳定性增强。
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第四章 优化设计

纵梁的横截面形状有槽型、工字型、箱型、管型和Z 型,要
求能使纵梁的各断面的应力接近。可以改变梁的高度,使中部断 面高,两端断面低。槽型断面的纵梁有较好的抗弯强度,又便于安

装各种汽车部件,因此得到了广泛应用,但是此种断面的抗扭性较
差。从降低车架纵梁的抗弯应力方面考虑,增大槽型断面高度最 有利,但是汽车的质心高度增加。增加上下翼面的宽度,也可以提

高纵梁的抗弯强度。综合考虑上述因素的影响,通常高和宽的比
值为2.8~3. 5 。 车架横梁形式的确定

车架横梁将左右纵梁连接到一起,形成一个框架,使车架有足
够的抗扭刚度。汽车的主要总成通过横梁来支撑。重型汽车的横 梁一般有4~6 根,结构和用途不一样,前横梁用来支撑水箱,中横

梁用来作传动轴的中间支撑。为了保证传动轴有足够的跳动空间,
常将横梁做成拱形。
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第四章 优化设计

纵横梁连接方式及特点 横梁和纵梁的固定方法可分为铆接、焊接和螺栓连

接等方式。铆接的成本低,焊接可保证大的刚度,但是有
较大的内应力,螺栓连接通常在各种特殊条件下使用的汽 车上采用。

车架的宽度是左右纵梁腹板外侧面之间的宽度,车架
前部宽度的最小值取决于发动机的外廓宽度。最大值受 到前轮转角的限制。车架后部主要根据车轮外侧的轮胎 和钢板弹簧片宽等尺寸来确定,为了提高汽车的横向稳定 性,最好是车架前后等宽。
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第四章 优化设计

DD6900H2 的简化有限元模型
图为DD6900H2 型大客车的车架按简支梁划分的简化计算模型。由于 车架一般多由薄壁梁组成,可简化为若干个梁单元以刚性相连接而成,简

化时可将集中力处设为节点。在简化过程中忽略行李箱的影响,但是施加
载荷时把行李箱的载质量330kg 考虑在内。

车架简支梁简化计算模型

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第四章 优化设计

遇到变截梁面可简化为由若干个不同梁单元连成。
由于要考虑轮胎和底架板簧等的影响,把轮胎和板簧简化 成一个有限元中的弹簧结构。新结构中弹簧的刚度分别 是bc/ ( a+ b) 和ac/ ( a + b) ,如图2 所示。其中a 、 b 分别为板簧的两端作用点到中点的距离, c 是原来弹 簧和轮胎的实际刚度。

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第四章 优化设计

2

车架的受载分析

汽车的使用条件复杂,受力情况也很复杂,典型的工况 2. 1典型的工况有四大类

a) 匀速直线行驶:客车在满载的状态下,主要计算四轮着地时的结构强度和
刚度; b) 紧急制动:主要考虑汽车以最大制动力制动时,地面制动力对汽车的影响; c) 急转弯工况:考虑客车以最大转向加速度转弯时,惯性力对汽车的影响; d) 崎岖不平路面行驶:考虑汽车一个车轮悬空或另一车轮抬高时施加在车桥 上的扭矩作用。 上述4 种工况均需要考虑汽车是在满载的状态下以全真模拟汽车的 受载情况。对于DD6900H2 型大客车,载客数为33 + 1 。乘客的平均体重 按照65kg 来计算。汽车的安全性能必须在保证上述4 种典型工况下进行 校核。
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第四章 优化设计

2. 2

车架弯曲强度计算时的基本假设

a) 汽车的有效载荷均匀分布在左右纵梁的全长上; b) 左右作用力均通过弯曲中心。

2. 3

纵梁的弯矩计算

驾驶室区段的纵梁弯矩计算:

式中: F1 ———前轮中心支座对纵梁得反作用力;

Gs ———空车的簧载质量; g ———自由落本加速度, 9. 8m/ s2 ; L ———纵梁得总长,mm;

a ———车架纵梁前端到前轴的距离,mm;
x ———截面到前轴的距离,mm。
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第四章 优化设计

车厢前端到后轴区段纵梁的弯矩计算:

式中: Ge ———汽车的装载质量,kg;

C1 ———车厢前端到后轴之间的距离,mm。
由上可知,纵梁的最大弯矩在该区段内, 由 可求

将最大弯矩位置的数值,代入上式可得最大弯矩Mmax 。 最大剪应力在汽车后轴附近, 当x = L时, 最大剪应力 Qmax = F1
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纵梁实际最大弯矩和剪力约为静载荷下的3~4. 5 倍。
车架纵梁抗弯刚度校核:对于简支梁,其跨距中点受集 中载荷F 作用时,梁的挠度最大。

式中: Ymax ———梁的挠度,cm;

F ———纵梁中点受的集中载荷,N;

L ———汽车轴距,m;
E ———弹性模量,21N/ cm2 ; J x ———梁的抗弯刚度系数,cm4 。
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3

模态分析
在现代汽车设计中乘坐舒适性是衡量大客车性能的 一个重要指标,汽车作为运动机械,绝大多零件都是在承受 动载荷。车架动态分析的基本思路是根据路面激励对车架 的传递函数,计算车架各节点动应力响应的均方根值。在模 态分析当中,模型的建立及边界约束条件的模拟与实际结构 的相符合程度是分析的关键。车架动力分析模型采用空间 梁单元来模拟车架的主梁。在进行车架自振特性分析时车 架结构的无阻尼振动方程为:[ M ]{Z} + [ K]{ Z} = { 0} ,其中[ M ] 、[ K] 分别为结构的总体质量矩阵和刚 度矩阵。在进行模态分析时一般得到前十阶固有频率的振 型即可。
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4

优化及结果分析

设计变量的确定:由于车架一般是槽型的,矩形的或

者工字形的,优化目的是要减轻车架的质量,所以选择钢
的截面形状参数(截面长度、宽度和钢的厚度) 来作为 设计变量。从汽车的制造和工艺出发,设计变量有一定

的规范条件,通常情况下对于纵梁槽钢H ∈( 12cm ,
25cm) , B ∈( 4.15cm ,8cm) 。H 为钢截面的长度, B 为钢截面的宽度。 目标函数的确定:优化的目的是尽量减少客车底架的 质量, 所以对于槽型钢目标函数F =Lρ T ( H + 2 B) ,

对于矩形钢F = Lρ T (2 H + 2 B) 。
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第四章 优化设计

状态变量的确定: 优化过程中的车架结构响应,如应力、变
形和车架的最大应力要小于许用应力。 4.1 a)σ imax ≤[σ - 1 ] 纵梁的状态变量 ( i = 1 ,2 ,3) ,其中i = 1 为

纯弯工况; i = 2 为纯扭工况; i = 3 为弯,

弯扭联合工况。

式中: Mmax —车架纵梁的最大弯矩 T —梁的厚度; [σ - 1 ] —疲劳极限应力。
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b)刚度条件:车架纵梁中点受力为1kN ,集中载荷变形量
不能超过0.85mm。由材料力学关于简支梁的挠度公式 可得关系式J x /ρ 3 > 12 。计算后整理的结果为0. 002 H2 ( H + 6 H) - 12 > 0 。 4.2 横梁的状态变量

由于在受载假设中,所有的载荷全部均匀施加在纵
梁上, 所以对横梁而言, 要求H ∈( 20mm ,120mm) ,B ∈(20mm ,80mm) 。 优化的最终结果: 优化前纵梁质量为241.775kg ; 优化后纵梁质量为230.84kg ; 优化前横梁质量为

300.295kg ; 优化后横梁质量为240.236kg。
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从优化结果来看,由于纵梁是主要承力部位,所以优化的
纵梁质量较少,而横梁质量得到了较大的优化。 5 结论 运用有限元的理论给出了以降低汽车耗材为目标 对汽车车架进行优化设计的方法,并且考虑了几种汽车

运行时的主要载荷。为结构参数的优化设计模型的建
立提供了重要参考。将有限元方法运用到优化设计中 对汽车整车设计有更重要的理论意义和实用价值。

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第四章 优化设计

拓朴优化技术在汽车零部件设计中的应用
随着经济建设的发展,工程设计人员需要有更系统、科 学的设计思想和方法,以达到提高产品开发效率、节约原材料、 降低成本及提高产品质量的目的。结构优化设计是实现这些目 的的较佳手段。拓扑优化研究通常采用homogenization(均质) 法则,Bendsoe和Kikuchi奠定了静应力领域最大强度设计的基 础,这个方法后来由Suzuki和KiKuchi推广,由DiazMa在包括 特征值问题方面进一步发展。结构拓扑优化带来的收益最为显 著,他们的研究,对拓扑优化技术的实际应用起了重要作用。

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拓扑优化方法的基本概念:
拓扑优化通常使用homogenization(均质)法则 1 定义一个足够大的包含目标结构的区域: 假定这个区域全部由包含有无数微孔的多孔介质组成。图

示假定每一个任意的位置都有一个特征值和现有的微孔相对应。

如图1:

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特征值作用是引进体积为零的孔和体积为一的实体来描述一个多孔
介质。虚拟分析工作就选定满足区域假定的特征值,但这些值不全 是零或一的,用homogenization(均质)法则,虚拟等于对应的区

域假定的平均微孔张量。
2 将设计区域分成有限元。 每一单元都假定有微孔特征

3

设定优化问题
设立需要的优化条件、设计变量、目标函数等

4

设定全部的边界条件 用homogenization(均质)法则计算每一单元微弹性 后用有限元方法求解目标模型规定的方程式。 张量,然

5

根据优化标准方法的变量更新设计
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6

重复2至5直到条件满足

产生与材料约束范围最小最大限度目标功能有关系的孔的 尺寸分配。 如果孔变大占据全部的单元,材料就不需要了;如果孔变 小到一点,结果物体变成完全由材料充填的实体。自然,尺寸

如在这两极端之间,必需按统一比例选择。用密度表示每一个
单元材料残余体积与原始的单元体积的比率,大致的结构形状 就获得了。

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应用拓扑优化评价设计的过程:
应用拓扑优化评价设计的过程与通常的有限元 分析,多了框图中的橙色部分。

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Topology Optimization工程分析用来评价设计的流程
1.将零件空间划分有限元网格。 2.将零件网格设置成设计和不设计两部分。 3.对有限元模型施加载荷和约束。并将模型和参量提交 拓扑优化解算器计算

4.网格材料密度低于某一比例的去除。
5.基于拓扑优化结果的设计模型。 6.对设计模型的复校。

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计算实例: 这里,以某轿车底盘部件的设计中拓朴优化应用的实例 来阐述拓朴优化的过程。 优化前的某车控制臂锻件几何模形如图,在这基础上优 化并减重。

图3

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1.建立有限元模型 将模型划分网格,将准备减重的区域设定为设计区域(兰色)、 安装橡胶衬套孔边和球铰安装窝定为非设计区域(红色) 并按题给条件施加约束、载何、边界条件:将MPC RB2橡胶衬 套中心点、球铰中心点与网格相连,并在中心点上分别加上

位移,D1<0,0,0>、D2<,0,0>、D3<,,0> 力F1<1340.41, 3287.177, -16.312>

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第四章 优化设计 2 在NASTRAN下计算优化前零件在两工况下的应力和位移:

图5 最大应力2.75E1MPa

图6 最大位移:5.29E-1MM

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3

用NASTRAN OPTISHAPE优化后的得到的几何模型

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4

用NASTRAN OPTISHAPE优化后的得到的有限元模型

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5

同工况下对模型的复校:

图9最大应力:4.28E1MPa 6

图10 最大位移:7.13E-1MM

优化结果: 最终零件改变了拓扑结构,减重207克,减重幅度10%。
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