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2011年上海市各地市高考数学最新联考试题分类大汇编(3)函数与导数


上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 3 部分:函数与导数
一、选择题:

16.(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科) “函数 f ( x) 在 [a , b] 上为单调函数”是“函 数 f ( x) 在 [a , b] 上有最大值和最小值”的( A ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件

(D)非充分非必要条件
[来源:学科网]

18.(上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)设函数 f1 ( x) ? log 4 x ? ( ) 、
x

1 4

1 f 2 ( x) ? log 1 x ? ( ) x 的零点分别为 x1、x2 ,则 4 4
[答]( D ) (B) 1 ? x1 x2 ? 2 . (C) x1 x2 ? 1 . (D) 0 ? x1 x2 ? 1 .

(A) x1 x2 ? 2 .

16. (上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)已知 f ( x ) ? ?

?(3 ? a ) x ? a ?log a x

( x ? 1) ( x ? 1)



(??,??) 上的增函数,那么 a 的取值范围是 ???????????( D )

(A) (1,+∞)



(B) (0,3); (C) (1,3) ;

(D) [

3 ,3 ) . 2

18. (上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)已知 f ( x) ? 1 ? x ?
g ( x) ? 1 ? x ?
x2 ,则有

x 2 x3 x 4 x101 , ? ? ? ??? ? 2 3 4 101

x 2 x3 x 4 x101 ,若函数 f ( x) 有唯一零点 x1 ,函数 g ( x) 有唯一零点 ? ? ? ??? ? 2 3 4 101

( B ) B. x1 ? (?1,0), x2 ? (1,2) D. x1 ? (?1,0), x2 ? (0,1)

A. x1 ? (0,1), x2 ? (1,2) C. x1 ? (0,1), x2 ? (0,1)
二、填空题:

1.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题理科)函数 f ( x ) ? 是 . [- 1 , 0) ? (0,

x ?1 的定义域 x

)
?1

3.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题理科)已知函数 y ? f

( x) 是函数

f ( x) ? 2 x ?1 ( x ? 1) 的反函数,则 f ?1 ( x) ?
围). y = 1 + log 2 x( x 1)

(要求写明自变量的取值范

8.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题理科)已知 0 ? m ? 1(m ? R) , ? 是方程

x 2 ? mx ? 1 ? 0 的根,则 | ? | =

1



1.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题文科)函数 f ( x ) ? 是

x ?1 的定义域 x

, 0) ? (0, . [- 1

)
?1

3.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题文科)已知函数 y ? f

( x) 是函数

f ( x) ? 2 x ?1 ( x ? 1) 的反函数,则 f ?1 ( x) ?
围). y = 1 + log 2 x( x

(要求写明自变量的取值范

1)

1.(上海市十校 2010-2011 学年第二学期高三第二次联考理科)函数

f ( x) ? log 2 (4 x ? 3) ? log 2 (2 ? x) 的定义域是___

. ( , 2)

3 4

9.(上海市十校 2010-2011 学年第二学期高三第二次联考理科)已知函数

? x ? 1 ? a ( x ? 0) f ( x) ? ? 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围为 ? log 2 x ( x ? 0)

. [?1,0)

12、(上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)关于 x 的方程

x 2 ? a x ? a 2 ? 9 ? 0 ( a ? R )有唯一的实数根,则 a ?

3



14、(上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)定义在 R 上的偶函数

f ( x) ,对任意的 x ? R 均有 f ( x ? 4) ? f ( x) 成立,当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? x ? 3 ,则直
线y?

9 与函数 y ? f ( x) 的图像交点中最近两点的距离等于 2

1
?1



6. (上海市五校 2011 年联合教学调研理科设 f ( x ) 的反函数为 f 过点 (1, 2) ,且 f
?1

( x) ,若函数 f ( x ) 的图像

( 2 x ? 1) ? 1 ,

则x?



1 2

13. (上海市五校 2011 年联合教学调研理科设 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 若函数 f ? x ? ? ?1.5? ? 1, ? ?1.5? ? ?2 , 值域为 。{-1,0}

1? ? 1? ? ax , 则 的 g x ? f x ? ? f ? x ? ? ? ? ? ? ? a ? 0, a ? 1 ? ? ? 2? 2? 1? ax ? ? ? ? ?

2.(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)已知函数 f ( x) ? arcsin x 的定义域为 [? 则此函数的值域为 [ ?
? ? , ]。 6 2

1 , 1] , 2

11. (上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)定义区间 [ x1 , x 2 ] ( x1 ? x 2 ) 的长度为 x2 ? x1 , 已知函数 y ? | log 1 x | 的定义域为 [a , b] ,值域为 [0 , 2] ,则区间 [a , b] 长度的最大值与最
2

小值的差为 3 。 12.(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)已知 a 为常数, a ? 0 且 a ? 1 ,指数函数

f ( x) ? a x 和对数函数 g ( x) ? log a x 的图象分别为 C1 与 C 2 ,点 M 在曲线 C1 上,线段 OM ( O 为坐标原点)与曲线 C1 的另一个交点为 N ,若曲线 C 2 上 存在一点 P ,且点 P 的横 坐标与点 M 的纵坐标相等,点 P 的纵坐标是点 N 的横坐标 2 倍,则点 P 的坐标为 ( 4 , loga 4 ) 。
14.(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)某同学对函数 f ( x) ? x cos x 进行研究后,得 出以下五个结论: ①函数 y ? f ( x) 的图象是中心对城图形; ②对任意实数 x ,| f ( x) | ? | x | 均成立;③函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有无穷多个 公共点,且任意相邻两点的距离相等;④函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? x 有无穷多个公 共 点,且任意相邻两点的距离相等;⑤当常数 k 满足 | k | ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图象与直线

y ? kx 有且仅有一个公共点。其中所有正确结论的序号是 ①②④⑤ 。
1、(上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)函数 y ? lg 2011 ? 1 的定义域是
x

?

?

?0,???
2.(上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)若函数 y ? f ( x) 与 y ? e
x ?1

的图像关于直线

y ? x 对称 ,则 f ( x) ?

. 【 f ( x) ? ln x ? 1, ( x ? 0) 】

11. (上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ,若 a ? b 且

f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是

. 【 (0,??) 】

14. (上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科)已知函数 f ( x) 满足:①对任意 x ? (0, ??) , 恒有 f (2 x) ? 2 f ( x) 成立;②当 x ? (1, 2] 时, f ( x) ? 2 ? x .若 f (a) ? f (2020 ) ,则满 足条件的最小的正实数 a 是 . 【 36 , 】
x

1、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)函数 f ( x) ? 4 ? 1 的反函数

f ?1 ( x) ?

(? 。l o g 4 x

1)

3、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)函数 f ( x) ? ln x ?

2 的零点所在的区间为 x

(n, n ? 1) (n ? Z ) ,则 n ?

2


x

13、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科)若曲线 y ? 2 ? 1 与直线 y ? b 没有公共 点,则实数 b 的取值范围是 。 ? ?1,1?

2. (上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)函数 y ? 2 x ? 1 的反函数 为 . y ? log2 ( x ? 1)

三、解答题: 22.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题理科) (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 5 分. 已知函数 f ( x) ? log a

2m ? 1 ? mx (a ? 0,a ? 1) 是奇函数,定义域为区间 D(使表达式有意 x ?1

义的实数 x 的集合). (1)求实数 m 的值,并写出区间 D; (2)若底数 a ? 1 ,试判断函数 y ? f ( x) 在定义域 D 内的单调性,并说明理由; (3)当 x ? A ? [a,b) ( A ? D ,a 是底数)时,函数值组成的集合为 [1 , ? ?) ,求实数 a、b 的
?

值. 22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 5 分.



(1) ∵ y ? f ( x) 是奇函数, ∴对任意 x ? D ,有 f (x) ? f ( ? x) ?0 ,即 log

a

2m ?1 ? mx ? log 1? x

a

2 m? 1 ? mx 0 ? .2 1? x

分 化简此式,得 (m ? 1) x ? (2m ? 1) ? 1 ? 0 .又此方程有无穷多解(D 是区间),
2 2 2

必有

?m 2 ? 1 ? 0 ? ,解得 m ? 1. ? 2 (2 m ? 1) ? 1 ? 0 ? ?
∴ f ( x) ? log a

???4 分

1? x 5分 ,D ? (?11) ,. 1? x 1? x (2) 当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? log a 在D ? (?11) , 上是单调减函数. 1? x 1? x 2 理由:令 t ? . ? ?1 ? 1? x 1? x 2 易知 1 ? x 在 D ? (?11) 在 D ? (?11) , 上是随 x 增大而增大, , 上是随 x 增大而减 1? x
小,6 分 故t ? 小.

1? x 2 在 D ? (?11) , 上是随 x 增大而减 ? ?1 ? 1? x 1? x
8分

于是,当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? log a 数. 10 分 (3) ∵ A ? [a,b) ? D ,
?

1? x 在D ? (?11) , 上是单调减函 1? x

∴ 0 ? a ?1 ,a ? b ? 1 . ∴依据(2)的道理,当 0 ? a ? 1时,函数 f ( x) ? log a 12 分 即 f (a) ? 1 , log a

11 分

1? x 在A 上是增函数, 1? x

1? a ? 1 ,解得 1? a
14 分

a ? 2 ? 1(舍去a ? ? 2 ? 1) .

若 b ? 1 ,则 f ( x) 在 A 上的函数值组成的集合为 [1 , log a

1? b ) ,不满足函数值组成的 1? b

集合是 [1 , ? ?) 的要求.(也可利用函数的变化趋势分析,得出 b=1) ∴必有

b ? 1.

16 分

因此,所求实数 a、b 的值是 a ?

2 ? 1、b ? 1.

22.(上海市黄浦区 2011 年 4 月高考二模试题文科) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 6 分. 已知 函数 f ( x) ? log a

2m ? 1 ? mx 定义域为区间 D(使表达式有意 (a ? 0,a ? 1) 是奇函数, x ?1

义的实数 x 的集合). (1)求实数 m 的值,并写出区间 D; (2)若底数 a 满足 0 ? a ? 1,试判断函数 y ? f ( x) 在定义域 D 内的单调性,并说明理由; (3)当 x ? A ? [a,b) ( A ? D ,a 是底数)时,函数值组成的集合为 [1 , ? ?) ,求实数 a、b 的
?

值. 22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题 满分 6 分. 解 (1) ∵ y ? f ( x) 是奇函数, ∴对任意 x ? D , 有 f( x) ? f( ? x) ? 0 分 化简此式,得 (m ? 1) x ? (2m ? 1) ? 1 ? 0 .又此方程有无穷多解(D 是区间),
2 2 2

, 即o lg

a

2m ? 1 ? mx o lg ? 1? x

a

2 m1? ? mx 0 ? .2 1? x

必有
2 ? ?m ? 1 ? 0 , 解得 m ? 1. ? 2 ? ?(2m ? 1) ? 1 ? 0

???

4分 ∴ f ( x) ? log a

1? x ,D ? (?11) ,. 1? x

5分

(2) 当 0 ? a ? 1时,函数 f ( x) ? log a 理由:令 t ?

1? x 2 . ? ?1 ? 1? x 1? x

1? x 在D ? (?11) , 上是单调增函数. 1? x

易知 1 ? x 在 D ? (?11) , 上是随 x 增大而增大, 小,7 分 故t ? 小.

2 在 D ? (?11) , 上是随 x 增大而减 1? x

1? x 2 在 D ? (?11) , 上是随 x 增大而减 ? ?1 ? 1? x 1? x
9分

于是,当 0 ? a ? 1时,函数 f ( x) ? log a 数. 12 分

1? x 在D ? (?11) , 上是单调增函 1? x

(3) ∵ A ? [a,b) ? D ,
?

∴ 0 ? a ?1 ,a ? b ? 1 . ∴由(2)知,函数 f ( x) ? log a

13 分

1? a 16 分 ? 1 ,解得 a ? 2 ? 1(舍去a ? ? 2 ? 1) . 1? a 1? b 若 b ? 1 ,则 f ( x) 在 A 上的函数值组成的集合为 [1 , log a ) ,不满足函数值组成的 1? b f (a) ? 1, log a
[来源:学科网 ZXXK]

1? x 在A 上是增函数,即 1? x

集合是 [1 , ? ?) 的要求.(也可利用函数的变化趋势分析,得出 b=1) ∴必有 b ? 1. 因此,所求实数 a、b 的值是 a ? 18 分

2 ? 1、b ? 1.

23、(上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)(本题满分 18 分) 对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 [m, ① f ( x) 在 [m,

n] ? D ,同时满足:

n] 内是单调函数; n] 时, f ( x) 的值域也是 [m, n] .

②当定义域是 [m, 则称 [m,

. n] 是该函数的“和谐区间”

(1)求证:函数 y ? g ( x) ? 3 ? (2)已知:函数 y ?

5 不存在“和谐区间” . x

(a 2 ? a) x ? 1 ( a ? R, a ? 0 )有“和谐区间” [m, n] ,当 a 变化时, a2x

求出 n ? m 的最大值. (3)易知,函数 y ? x 是以任一区间 [m,

n] 为它的“和谐区间” .试再举一例有“和谐区间”

的函数,并写出它的一个“和谐区间” . (不需证明,但不能用本题已讨论过的 y ? x 及形如

y?

bx ? c 的函数为例) ax
n] 是已知函数定义域的子集.? x ? 0 , [m, n] ? (? ?, 0) 或

23、 (18 分) (1)设 [m,

[m, n] ? (0, ? ?) ,故函数 y ? 3 ?
若 [m,

5 在 [m, n] 上单调递增. x

? g ( m) ? m n] 是已知函数的“和谐区间” ,则 ? ?????4 分 ? g ( n) ? n

故 m 、 n 是方程 3 ?

5 ? x 的同号的相异实数根. x

? x 2 ? 3x ? 5 ? 0 无实数根,?函数 y ? 3 ?

5 不存在“和谐区间” .??????6 分 x

(2)设 [m,

n] 是已知函数定义域的子集.? x ? 0 , [m, n] ? (? ?, 0) 或

[m, n] ? (0, ? ?) ,故函数 y ?

(a 2 ? a) x ? 1 a ? 1 1 ? ? 2 在 [m, n] 上单调递增. 2 a a x a x

若 [m,

? f ( m) ? m ,则 ? ?????10 分 n] 是已知函数的“和谐区间” ? f ( n) ? n

故 m 、 n 是方程

a ?1 1 ? 2 ? x ,即 a 2 x ? (a 2 ? a) x ? 1 ? 0 的同号的相异实数根. a a x

? mn ?

1 ? 0 ,? m , n 同号,只须 ? ? a 2 (a ? 3)( a ? 1) ? 0 ,即 a ? 1 或 a ? ?3 时,已 a2
1 1 4 n] ,? n ? m ? (n ? m) 2 ? 4mn ? ? 3( ? ) 2 ? , a 3 3

知函数有“和谐区间” [m,

?当 a ? 3 时, n ? m 取最大值

2 3 ??????14 分 3

(3)如: y ? ? x ? 2 和谐区间为 [0,

2] 、 [? 1, 3] ,当 a ? b ? 2 的区间 [a, b] ;

y ? s i n x 和谐区间为 [0, 1] ; 2
y ? 1 ? x 2 和谐区间为 [? 1, 0] ;????18 分
阅卷时,除考虑值域外,请特别注意函数在该区间上是否单调,不单调不给分.如举 y ? x 及 形如 y ?

?

bx ? c 的函数不给分. ax

20. (上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题, 每小题满分各 7 分. 某工厂因排污比较严重,决定着手整治,一个月时污染度为 60 ,整治后前四个月的污染 度如下表; 月数 污染度 1 60 2 31 3 13 4 0 ?? ??

污染度为 0 后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后 第一个月开始工厂的污染模式:

f ( x) ? 20 x ? 4 ( x ? 1) ,g ( x) ?

20 ( x ? 4) 2 ( x ? 1) ,h( x) ? 30 log 2 x ? 2 ( x ? 1) ,其中 x 表 3

示月数, f ( x)、g ( x)、h( x) 分别表示污染度. (1)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由; (2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过 60 ? 20.解: (1) ? f (2) ? 40, g (2) ? 26.7, h(2) ? 30 (3 分) (6 分) (7 分) (12 分) (14 分)

f (3) ? 20, g (3) ? 6.7, h(3) ? 12.5
由此可得 h( x ) 更接近实际值,所以用 h( x ) 模拟比较合理. (2)因 h( x) ? 30 log 2 x ? 2 在 x ? 4 上是增函数,又因为 h(16) ? 60 故整治后有 16 个月的污染度不超过 60. 22. (上海市普陀区 2011 年 4 月高三质量调研)(本题满分 16 分) (理)已知函数 f ( x ) ?

ln(2 ? x 2 ) . x?2 ?2

(1)试判断 f ( x ) 的奇偶性并给予证明; (2)求证: f ( x ) 在区间 ? 0,1? 单调递减; (3) 右图给出的是与函数 f ( x ) 相关的一个程序框图, 试构造一个公差不为 零的等差数列 ?a n ? ,使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为 0.请说明 你的理由.
2 ? ?2 ? x ? 0 得 x ? 2 ? 2 ? 0 ? ?

22.(本题满分 16 分)

解: (1)由 ?

x ? (? 2 ,0) ? (0, 2 ) ,
则 f ( x) ?

第 22 题图

ln(2 ? x 2 ) ,任取 x ? (? 2 ,0) ? (0, 2 ) ,都有 x ln(2 ? x 2 ) ? ? f ( x) ,则该函数为奇函数. x

f ( ? x) ? ?

(2)任取 0 ? x1 ? x2 ? 1 , 则有 0 ? x1 ? x2 ? 1 ? 2 ? x1 ? 2 ? x2 ? 1 ,
2 2 2 2

2 ? ln(2 ? x12 ) ? ln(2 ? x2 ) ? 0.



2 ln(2 ? x12 ) ln(2 ? x2 ) 1 1 ? ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ? ? 1 ,所以 x1 x2 x1 x2

故函数 f ( x ) 在区 间 (0,1) 上单调递减. (3)由程序框图知,公差不为零的等差数列 ?a n ? 要满足条件, 则必有 f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a10 ) ? 0 。 由(1)知函数 f ( x) 是奇函数,而奇函数的图像关于原点对称, 所以要构造满足条件的等差数列 ?a n ? ,可利用等差数列的性质,只需等差数列 ?a n ? 满足:

a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? ? ? a5 ? a6 ? 0 且 a n ? (? 2 ,0) ? (0, 2 ) 即可.
我们可以先确定 a 5 , a 6 使得 a5 ? a 6 ? 0 ,因为公差不为零的等差数列 ?a n ? 必是单调的数 列, 只要它的最大项和最小项在 (? 2 ,0) ? (0, 2 ) 中,即可满足要求. 所以只要 a 5 , a 6 对应 的点尽可能的接近原点.如取 a5 ? ?0.1, a6 ? 0.1 ,存在满足条件的一个等差数列 ?a n ? 可以是

a n ? 0.2n ? 1.1 (1 ? n ? 10, n ? N* ) .
【说明】本问题结论开放. 我们可以将问题解决的方法一般化. 设 a5 ? ? a , a6 ? a ,若 a ? 0, 2 ,可得 d ? 2a . 而由题意,需 a10 ? a6 ? 4d ?

?

?

2 ? d ? 2a ?

2 ?a 2 ?0?a? ( ? 0.157 ). 4 9

同理,若 a ? (? 2 ,0) ,则需 ?

2 ? a ? 0. 9

19、(上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)用 2? 平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容 器,如果在制作过程中材料无损耗,且材料的厚度忽略不计,底面半径长为 x ,圆锥母线的长 为y (1) 、建立 y 与 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; (6 分) (2) 、圆锥的母线与底面所成的角大小为 0. 01m3) (6 分) S

? ,求所制作的圆锥形容器容积多少立方米(精确到 3

19、解: (1)? ?x ? ?xy ? 2? ? y ?
2

2 ? x2 x

4分 6分 7分

2 ? x2 ,? 0 ? x ? 1 x (2)依题意,作圆锥的高 SO , ?SAO 是母线与底面所成的线面角, ? x 1 ? h ? 3x 设圆锥高 h ,? cos ? ? , y ? 2 x 3 y 2 ? x ? y?x ?
?x ? 2 3
,h ?

2

9分 11 分 12 分

1 3 3 V ? ?x 2 h ? ?x ? 0.99m 3 3 3
答:所制作的圆锥形容器容积 0.99 立方米 20、(上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)设函数 f ?x ? ? ax ?

(1) 、 (理)当 a ? 2 时,用函数单调性定义求 f ? x ? 的单调递减区间(6 分)

4 ?x ? 0?, a ? R ? . x

(文)当 a ? 2 ,解不等式 f ?x ? ? 9 (6 分) (2) 、若连续掷两次骰子(骰子六个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6)得到的点数分别作 为 a 和 b ,求 f ?x ? ? b 恒成立的概率;
2

(8 分)

20、解: (1) (理) f ? x ? ? 2 x ?

4 x

根据耐克函数的性质, f ? x ? ? 2 x ?

4 的单调区间是 0, 2 x

?

?

2分

? 0 ? x1 ? x2 ? 2

f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? 2 x1 ?
? 2 ? ? ? 2? x1 ? x 2 ?? 1 ? ? ? x x 1 2 ? ? ? 0 ? x1 ? x2 ? 2

4?x 2 ? x1 ? 4 4 ? 2 x2 ? ? 2?x1 ? x 2 ? ? x1 x2 x1 x 2

? x1 ? x 2 ? 0,0 ? x1 x2 ? 2,1 ?

2 ?0 x1 x2 4 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 所以 f ?x ? ? 2 x ? 的单调区间是 0, 2 x

?

?

6分

(文) (1) 2 x ?

?x ? 0 4 ? 9,? ? 2 x ?2 x ? 9 x ? 4 ? 0

3分 6分 8分 10 分

? 1? ? x ? ? 0, ? ? ?4,?? ? ? 2? (2) f ? x ?min ? 4 a

?16 a ? b

4

基本事件总数为 6 ? 6 ? 36 , 当 a ? 1时,b=1; 当 a ? 2,3,4,5 时,b=1, 2,; 当 a ? 6 时,b=1, 2,3; 目标事件个数为 1+8+3=12. 因此所求概率为

1 . 3
2

14 分

19.(上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科) (本题满分 12 分) 如图,用半径为 10 2 cm,面积为 100 2? cm 的扇形铁皮 制作一个无盖的圆锥形容器(衔接部分忽略不计) , 该容器最 多盛水多少?(结果精确到 0.1 cm )
3

19.(本题满分 12 分) 解:设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R、l,圆锥形容器的高和底面半径分别为 h、r,则由题 意得 R= 10 2 ,由

1 Rl ? 100 2? 得 2

l ? 20? ;

?????????????????????????2 分

由 2?r ? l 得 r ? 10 ;?????????????????????5 分 由 R ? r ? h 得 h ? 10 ;?????????????????????8 分
2 2 2

由 V锥 ?

1 1 ?r 2 h ? ? ? ? 100 ? 10 ? 1047 .2cm3 3 3
3

所以该容器最多盛水 1047.2 cm

??????????12 分

(说明: ? 用 3.14 得 1046.7 毫升不扣分) 22、(上海市徐汇区 2 011 年 4 月高三学习诊断文科)(本题满分 16 分)第(1)小题满分 6 分, 第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 5 分。

已知函数 f ( x) ? x ? (a ? x) , a ? R 。 (1)当 a ? 4 时,画出函数 f ( x) 的大致图像,并写出其单调递增区间; (2)若函数 f ( x) 在 x ? [0,2] 上是单调递减函数,求实数 a 的取值范围; (3)若不等式 x ? (a ? x) ? 6 对 x ? ? 0 , 2? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2 ? ? ? x ? 4 x ( x ? 0) 22. 解: (1)a ? 4 时, f ( x) ? ? 2 , f ( x) 的图象如图, 图象画出, -------------------3 ? ? x ? 4 x ( x ? 0) 分 单调递增区间为 [0,2] 。-------------------6 分

(2)解一:设 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 当 f ( x) 在 x ? [0,2] 上单调递减时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 对 0 ? x1 ? x2 ? 2 都成立, -------------------8 分 即 ( x1 ? x2 )[ a ? ( x1 ? x2 )] ? 0 , a ? x1 ? x2 对 0 ? x1 ? x2 ? 2 都成立,-------------------10 分 所以 a ? 0 -------------------11 分 解二:数形结合方法: x ? ? 0, 2 ? 时,

a a2 f ( x) ? x(a ? x) ? ? x 2 ? ax ? ?( x ? ) 2 ? -------------------8 分 2 4
若函数 f ( x) 在 x ? [0,2] 上是单调递减函数,则

所以 a ? 0 -------------------11 分 (3)当 x ? 0 时, 0 ? 6 成立,所以 a ? R ; -------------------12 分 当 0 ? x ? 2 时, a ? x ? 设 g ( x) ? x ?

a ? 0 -------------------1 0 分 2

6 6 6 ,即 a ? x ? ,只要 a ? ( x ? )min ; -------------------13 分 x x x

6 , g ( x) 在 (0, 6] 上递减,在 [ 6, ? ?) 上递增, x

当 0 ? x ? 2 时, g ( x)min ? g (2) ? 5 ;-------------------14 分 所以 a ? 5 -------------------15 分 综上, x (a ? x) ? 6 对 x ?[0 , 2 ] 恒成立的实数 a 的取值范围是 (?? , 5 ] 。-------------------16 分 23.(上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,若有常数 M,使得对任意的 x1 ? D ,存在唯一的
x2 ? D 满足等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ? M ,则称 M 为函数 y ? f (x)的“均值” 2

(1)判断 1 是否为函数 f ( x) ? 2 x ? 1(?1 ≤ x ≤ 1) 的“均值” ,请说明理由; (2)若函数 f ( x) ? ax 2 ? 2 x(1 ? x ? 2, a 为常数)存在“均值” ,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 f ( x) 是单调函数,且其值域为区间 I.试探究函数 f ( x) 的“均值”情况(是 否存在、个数、大小等)与区间 I 之间的关系,写出你的结论(不必证明) .
23.解: (1)对任意的 x1 ?[?1,1] ,有 ? x1 ? [?1,1] , 当且仅当 x2 ? ? x1 时,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 1 ? 1 , 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故存在唯一 x2 ?[?1,1] ,满足 ? 1, 2
所以 1 是函数 f ( x) ? 2 x ? 1(?1 ? x ? 1) 的“均值” . (另法:对任意的 x1 ?[?1,1] ,有 ? x1 ? [?1,1] ,令 x2 ? ? x1 , 则 x2 ?[?1,1] ,且

????????2 分 ????????4 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 1 ? 1 , 2 f ( x1 ) ? f ( x2? ) 若 x2? ? [?1,1] ,且 ? 1 ,则有 f ( x2 ) ? f ( x2? ) ,可得 x2 ? x2? , 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故存在唯一 x2 ?[?1,1] ,满足 ????????2 分 ? 1, 2
所以 1 是函数 f ( x) ? 2 x ? 1(?1 ? x ? 1) 的“均值” . ????????4 分)
[来源:Z#xx#k.Com]

(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? ?2 x(1 ? x ? 2) 存在“均值” ,且“均值”为 ?3 ;????5 分 当 a ? 0 时,由 f ( x) ? ax 2 ? 2 x(1 ? x ? 2) 存在均值,可知对任意的 x1 , 都有唯一的 x2 与之对应,从而有 f ( x) ? ax 2 ? 2 x(1 ? x ? 2) 单调,

1 1 1 ? 1 或 ? 2 ,解得 a ? 1 或 a ? 0 或 0 ? a ? , a a 2 1 综上,a 的取值范围是 a ? 或 a ? 1 . 2 1 1 1 (另法:分 a ? 0, ? 1,1 ? ? 2, ? 2 四种情形进行讨论) a a a
故有

????????9 分 ????????10 分

(3)①当 I ? (a, b) 或 [a, b] 时,函数 f ( x) 存在唯一的“均值” .

这时函数 f ( x) 的“均值”为

a?b ; 2

???????12 分

②当 I 为 (??, ??) 时,函数 f ( x) 存在无数多个“均值” . 这时任意实数均为函数 f ( x) 的“均值” ; ????????14 分

③当 I ? (a, ??) 或 (??, a) 或 [a, ??) 或 (??, a] 或 [a, b) 或 (a, b] 时, 函数 f ( x) 不存在“均值” . ????????16 分

[评分说明:若三种情况讨论完整且正确,但未用等价形式进行叙述,至多得 6 分;若三种情 况讨论不完整,且未用等价形式叙述,至多得 5 分]
[来源:Z|xx|k.Com]

①当且仅当 I 形如 (a, b) 、 [a, b] 其中之一时,函数 f ( x) 存在唯一的“均值” . 这时函数 f ( x) 的“均值”为

a?b ; 2

????????13 分

②当且仅当 I 为 (??, ??) 时,函数 f ( x) 存在无数多个“均值” . 这时任意实数均为函数 f ( x) 的“均值” ; ????????16 分

③当且仅当 I 形如 (a, ??) 、 (??, a) 、 [a, ??) 、 (??, a] 、 [a, b) 、 (a, b] 其中之一时,函 数 f ( x) 不存在“均值” . ????????18 分

(另法:①当且仅当 I 为开区间或闭区间时,函数 f ( x) 存在唯一的“均值” .这时函数 f ( x) 的 均值为区间 I 两端点的算术平均数; ????????13 分 ②当且仅当 I 为 (??, ??) 时, 函数 f ( x) 存在无数多个 “均值” . 这时任意实数均为函数 f ( x) 的“均值” ; ????????16 分

③当且仅当 I 为除去开区间、 闭区间与 (??, ??) 之外的其它区间时, 函数 f ( x) 不存在 “均 值” . ????????18 分)

[评分说明:在情形①与②中,等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值” ,各扣 1 分]


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