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抽象函数奇偶性对称性周期性和三角函数


抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函 数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值, 特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一 个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比 较困难, 所以做抽象函数的题目需要有严谨的

逻辑思维能力、丰富的想象力以及 函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义:
对于 f ( x ) 定义域内的每一个 x ,都存在非零常数 T ,使得 f ( x ? T ) ? f ( x ) 恒成立, 则称函数 f ( x ) 具有周期性,T 叫做 f ( x ) 的一个周期,则 kT ( k ? Z , k ? 0 )也是 f ( x ) 的 周期,所有周期中的最小正数叫 f ( x ) 的最小正周期。 分段函数的周期:设 y ? f ( x ) 是周期函数,在任意一个周期内的图像为 C: y ? f ( x ),
x ? ?a , b ?, T ? b ? a

。把 y ? f ( x ) 沿 x 轴平移 KT ? K ( b ? a ) 个单位即按向量
y ? f ( x ) 在其他周期的图像:

a ? ( kT , 0 ) 平移,即得

y ? f ( x ? kT ), x ? ?kT ? a , kT ? b ? 。
? f (x) f (x) ? ? ? f ( x ? kT ) x ? ?a, b ? x ? ?kT ? a, kT ? b ?

2、奇偶函数: 设 y ? f ( x ), x ? ?a , b ?或 x ? ?? b , ? a ? ? ?a , b ? ①若 f ( ? x ) ? ? f ( x ), 则称 y ? f ( x )为奇函数; ②若 f ( ? x ) ? f ( x ) 则称 y ? f ( x )为偶函数 。
分段函数的奇偶性

3、函数的对称性: (1)中心对称即点对称:
①点 A ( x , y ) 与 B ( 2 a ? x , 2 b ? y ) 关于点 ( a , b ) 对称; ② 点 A ( a ? x , b ? y ) 与 B ( a ? x , b ? y ) 关于 ( a , b ) 对称; ③ 函数 y ? f ( x ) 与 2 b ? y ? f ( 2 a ? x ) 关于点 ( a , b ) 成中心对称; ④ 函数 b ? y ? f ( a ? x ) 与 b ? y ? f ( a ? x ) 关于点 ( a , b ) 成中心对称; ⑤ 函数 F ( x , y ) ? 0 与 F ( 2 a ? x , 2 b ? y ) ? 0 关于点 ( a , b ) 成中心对称。

(2)轴对称:对称轴方程为: Ax ? By ? C ? 0 。 ① 点 A ( x , y )与 B ( x / , y / ) ? B ( x ?
2 A ( Ax ? By ? C ) A ? B
2 2

,y?

2 B ( Ax ? By ? C ) A ? B
2 2

)

关于

直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称; ②函数 y ? f ( x ) 与 y ?
2 B ( Ax ? By ? C ) A ? B
2 2

? f (x ?

2 A ( Ax ? By ? C ) A ? B
2 2

)

关于直线

Ax ? By ? C ? 0 成轴对称。

③ F ( x , y ) ? 0与 F ( x ?

2 A ( Ax ? By ? C ) A ? B
2 2

,y?

2 B ( Ax ? By ? C ) A ? B
2 2

) ? 0 关于直线

Ax ? By ? C ? 0 成轴对称。

二、函数对称性的几个重要结论
(一)函数 y ? f ( x ) 图象本身的对称性(自身对称)

若 f ( x ? a ) ? ? f ( x ? b ) , f ( x ) 具有周期性; f ( a ? x ) ? ? f ( b ? x ) , f ( x ) 则 若 则 具有对称性: “内同表示周期性,内反表示对称性” 。
1、 f ( a ? x ) ? f ( b ? x ) ? y ? f ( x ) 图象关于直线 x ?
( a ? x ) ? (b ? x ) 2 ? a?b 2

对称

推论 1: f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称 推论 2、 f ( x ) ? f ( 2 a ? x ) 推论 3、 f ( ? x ) ? f ( 2 a ? x ) 2、 f ( a ? x ) ? f ( b ? x ) ? 2 c
? y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? y ? f ( x ) 的图象关于点 (
a ?b 2 , c ) 对称

推论 1、 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? 2 b ? y ? f ( x ) 的图象关于点 ( a , b ) 对称 推论 2、 f ( x ) ? f ( 2 a ? x ) ? 2 b
? y ? f ( x ) 的图象关于点 ( a , b ) 对称

推论 3、 f ( ? x ) ? f ( 2 a ? x ) ? 2 b ? y ? f ( x ) 的图象关于点 ( a , b ) 对称 (二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、偶函数 y ? f ( x ) 与 y ? f ( ? x ) 图象关于 Y 轴对称 2、奇函数 y ? f ( x ) 与 y ? ? f ( ? x ) 图象关于原点对称函数 3、函数 y ? f ( x ) 与 y ? ? f ( x ) 图象关于 X 轴对称 4、互为反函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? f
?1

( x ) 图象关于直线 y ? x 对称

5.函数 y ? f ( a ? x ) 与 y ? f ( b ? x ) 图象关于直线 x ?

b?a 2

对称

推论 1:函数 y ? f ( a ? x ) 与 y ? f ( a ? x ) 图象关于直线 x ? 0 对称 推论 2:函数 y ? f ( x ) 与 y ? f ( 2 a ? x ) 图象关于直线 x ? a 对称

推论 3:函数 y ? f ( ? x ) 与 y ? f ( 2 a ? x ) 图象关于直线 x ? ? a 对称

(三)抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性
性质 1 若函数 y=f(x)关于直线 x=a 轴对称,则以下三个式子成立且等价: (1)f(a+x)=f(a-x) (2)f(2a-x)=f(x) (3)f(2a+x)=f(-x) 性质 2 若函数 y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价: (1)f(a+x)=-f(a-x)(2)f(2a-x)=-f(x)(3)f(2a+x)=-f(-x) 易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质 1(或 2)当 a=0 时的特例。

2、复合函数的奇偶性 定义 1、 若对于定义域内的任一变量 x,均有 f[g(-x)]=f[g(x)],则复 数函数 y=f[g(x)]为偶函数。 定义 2、 若对于定义域内的任一变量 x,均有 f[g(-x)]=-f[g(x)],则 复合函数 y=f[g(x)]为奇函数。 说明: (1) 复数函数 f[g(x)]为偶函数, f[g(-x)]=f[g(x)]而不是 f[-g(x)] 则 =f[g(x)],复合函数 y=f[g(x)]为奇函数,则 f[g(-x)]=-f[g(x)]而不是 f[-g(x)]=-f[g(x)]。 (2)两个特例:y=f(x+a)为偶函数,则 f(x+a)=f(-x+a);y=f(x +a)为奇函数,则 f(-x+a)=-f(a+x) (3)y=f(x+a)为偶(或奇)函数,等价于单层函数 y=f(x)关于直线 x =a 轴对称(或关于点(a,0)中心对称) 3、复合函数的对称性 性质 3 复合函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)关于直线 x=(b-a)/2 轴对称 性质 4、复合函数 y=f(a+x)与 y=-f(b-x)关于点((b-a)/2,0)中 心对称 推论 1、 复合函数 y=f(a+x)与 y=f(a-x)关于 y 轴轴对称 推论 2、 复合函数 y=f(a+x)与 y=-f(a-x)关于原点中心对称 4、函数的周期性 若 a 是非零常数,若对于函数 y=f(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件 之一成立,则函数 y=f(x)是周期函数,且 2|a|是它的一个周期。

①f(x+a)=f(x-a) ②f(x+a)=-f(x) ③f(x+a)=1/f(x) ④f(x+a)=-1/f(x) 5、函数的对称性与周期性 性质 5 若函数 y=f(x)同时关于直线 x=a 与 x=b 轴对称,则函数 f(x)必 为周期函数,且 T=2|a-b| 性质 6、若函数 y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函 数 f(x)必为周期函数,且 T=2|a-b| 性质 7、若函数 y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线 x=b 轴对 称,则函数 f(x)必为周期函数,且 T=4|a-b|
6、函数对称性的应用 (1)若 y ? f ( x ) 关于点( h , k ) 对称,则 x ? x ? 2 h , y ? y ? 2 k ,即
/ /

f ( x) ? f ( x ) ? f ( x) ? f (2h ? x) ? 2k
/

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n ) ? f ( 2 h ? x n ) ? f ( 2 h ? x n ?1 ) ? ? ? f ( 2 h ? x 1 ) ? 2 nk

(2)例题 1、 f ( x ) ?
a a
x x

?

关于点( a

1 1 , )对称: f ( x ) ? f (1 ? x ) ? 1 ; 2 2

f (x) ?

4 ?1
x

2

x ?1

? 2 x ? 1关于( 0, 1)对称: f ( x ) ? f ( ? x ) ? 2

f (x) ? x

1
?

?1

(? ? R , x ? 0 ) 关于(

1 1 1 , )对称: f ( x ) ? f ( ) ? 1 2 2 x

2、奇函数的图像关于原点(0,0)对称: f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 。 3、 f ( x ) ? f ( 2 a ? x ) 或 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ), 则 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? a 对 若 称。设 f ( x ) ? 0 有 n 个不同的实数根,则
x 1 ? x 2 ? ? ? x n ? x 1 ? ( 2 a ? x 1 ) ? x 2 ? ( 2 a ? x 2 ) ? ? ? x n ? ( 2 a ? x n ) ? na .
2 2

(当 n ? 2 k ? 1时,必有 x 1 ? 2 a ? x 1 , ? x 1 ? a )

(四)常用函数的对称性

三、函数周期性的几个重要结论

1、 f ( x ? T ) ? f ( x ) ( T ? 0 ) ? y ? f ( x ) 的周期为 T , kT ( k ? Z )也是函数的周期 2、 f ( x ? a ) ? f ( x ? b ) ? y ? f ( x ) 的周期为 T ? b ? a 3、 f ( x ? a ) ? ? f ( x )
1 f (x) 1 f (x) 1 ? f (x) 1 ? f (x) 1 f (x) ? 1

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 2 a

4、 f ( x ? a ) ?

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 2 a

5、 f ( x ? a ) ? ?

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 2 a

6、 f ( x ? a ) ?

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 3 a

7、 f ( x ? a ) ? ?

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 2 a

8、 f ( x ? a ) ?

1 ? f (x) 1 ? f (x)

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 4 a

9、 f ( x ? 2 a ) ? f ( x ? a ) ? f ( x )

? y ? f ( x ) 的周期为 T ? 6 a

10、若 p ? 0 , f ( px ) ? f ( px ?

p 2

),

则T ?

p 2

.

11、 y ? f ( x ) 有两条对称轴 x ? a 和 x ? b ( b ? a ) ? y ? f ( x ) 周期 T ? 2 ( b ? a ) 推论:偶函数 y ? f ( x ) 满足 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? y ? f ( x ) 周期 T ? 2 a 12、 y ? f ( x ) 有两个对称中心 ( a , 0 ) 和 (b , 0 ) ( b ? a ) ? y ? f ( x ) 周期 T ? 2 ( b ? a ) 推论:奇函数 y ? f ( x ) 满足 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? y ? f ( x ) 周期 T ? 4 a 13、 y ? f ( x ) 有一条对称轴 x ? a 和一个对称中心 (b , 0 ) ( b ? a ) ? f ( x ) 的 T ? 4 ( b ? a )

三角函数
公式一: 设α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )=sinα (k∈Z) tan(2kπ +α )=tanα (k∈Z) cos(2kπ +α )=cosα (k∈Z) cot(2kπ +α )=cotα (k∈Z)

公式二: 设α 为任意角,π +α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系: sin(π +α )=-sinα cos(π +α )=-cosα tan(π +α )=tanα cot(π +α )=cotα

公式三: 任意角α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )=-sinα cos(-α )=cosα tan(-α )=-tanα cot(-α )=-cotα

公式四: 利用公式二和公式三可以得到π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )=sinα cos(π -α )=-cosα tan(π -α )=-tanα cot(π -α )=-cotα

公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )=-sinα tan(2π -α )=-tanα cos(2π -α )=cosα cot(2π -α )=-cotα

公式六: π /2±α 及 3π /2±α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π /2+α )=cosα tan(π /2+α )=-cotα sin(π /2-α )=cosα tan(π /2-α )=cotα sin(3π /2+α )=-cosα tan(3π /2+α )=-cotα sin(3π /2-α )=-cosα tan(3π /2-α )=cotα (以上 k∈Z) 注意:在做题时,将 a 看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于π /2*k ±α (k∈Z)的三角函数值, cos(π /2+α )=-sinα cot(π /2+α )=-tanα cos(π /2-α )=sinα cot(π /2-α )=tanα cos(3π /2+α )=sinα cot(3π /2+α )=-tanα cos(3π /2-α )=-sinα cot(3π /2-α )=tanα

①当 k 是偶数时,得到α 的同名函数值,即函数名不改变; ②当 k 是奇数时,得到α 相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α 看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π -α )=sin(4?π /2-α ) ,k=4 为偶数,所以取 sinα 。

当α 是锐角时,2π -α ∈(270°,360°) ,sin(2π -α )<0,符号为“-” 。 所以 sin(2π -α )=-sinα 上述的记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。 公式右边的符号为把α 视为锐角时,角 k?360°+α (k∈Z) ,-α 、180°±α ,360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割) ;三两切;四 余弦(正割). ” 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是 “+” 第二象限内只有正弦是 ; “+” 其余全部是 , “-” ; 第三象限内切函数是“+” ,弦函数是“-” ;第四象限内只有余弦是“+” ,其余全部是“-” . 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦

同角三角函数基本关系 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ?cotα =1 sinα ?cscα =1 cosα ?secα =1 cosα /sinα =cotα =cscα /secα

商的关系: sinα /cosα =tanα =secα /cscα 平方关系: sin^2(α )+cos^2(α )=1

1+tan^2(α )=sec^2(α ) 1+cot^2(α )=csc^2(α ) 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法: (参看图片或参考资料链接) 构造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中间 1”的正六边形为模型。 (1)倒数关系:对角线上两个函数互为倒数; (2)商数关系:六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 (主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积) 。由此,可得商数关系式。 (3)平方关系:在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上 的三角函数值的平方。 两角和差公式 两角和与差的三角函数公式 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ

cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

tan(α +β )=(tanα +tanβ )/(1-tanα tanβ ) tan(α -β )=(tanα -tanβ )/(1+tanα ?tanβ ) 二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式) sin2α =2sinα cosα cos2α =cos^2(α )-sin^2(α )=2cos^2(α )-1=1-2sin^2(α ) tan2α =2tanα /[1-tan^2(α )] 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式) sin^2(α /2)=(1-cosα )/2 cos^2(α /2)=(1+cosα )/2

tan^2(α /2)=(1-cosα )/(1+cosα ) 另也有 tan(α /2)=(1-cosα )/sinα =sinα /(1+cosα ) 万能公式 sinα =2tan(α /2)/[1+tan^2(α /2)] tanα =2tan(α /2)/[1-tan^2(α /2)] 万能公式推导 附推导: sin2α =2sinα cosα =2sinα cosα /(cos^2(α )+sin^2(α ) )??*, (因为 cos^2(α )+sin^2(α )=1) 再把*分式上下同除 cos^2(α ) ,可得 sin2α =2tanα /(1+tan^2(α ) ) 然后用α /2 代替α 即可。 cosα =[1-tan^2(α /2)]/[1+tan^2(α /2)]


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