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福建省漳州市八校2014届高三第三次联考(数学文)


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总分:150分)

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2014 届高三年漳州八校第三次联考文科数学试卷 (考试时间:120分钟

一、选择题(本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.) 1.若集合 A={x

|x2-x<0},B={x|0<x<3},则 A∩B 等于( ) A.{x|0<x<1} B.{x|0<x<3} C.{x|1<x<3} D. ? 2. 命题“存在实数 x ,使 x > 1”的否定是( ) A. 对任意实数 x , 都有 x > 1 B. 不存在实数 x ,使 x ? 1 C. 对任意实数 x , 都有 x ? 1 D. 存在实数 x ,使 x ? 1 3. 复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i ,则 z = ( ) A. ?2 ? i B. 2 ? i C . ?1 ? 2i D. 1 ? 2i 4. “a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 一个棱锥的三视图如右图所示,则这个棱锥的体积为( ) A.12 B.36 C.16 D.48

6.下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线

x?

?
12 对称的是

( )

x ? y ? sin( ? ) 2 3 A.

x ? y ? sin( ? ) 2 3 B.
y ? sin(2 x ? ) 3 D.
)
开始 输入 x

y ? sin(2 x ? ) 3 C.

?

?

7.输入 x ? 1 时,运行如图所示的程序,输出的 x 值为(

n ?1 n ? n ?1 n?4
是 输出 x 否

x ? x?2

A.4

B.5

C.7

D.9

结束

8. 若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是(



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A. a ? b ? 2 ab B.

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C.

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1 1 2 ? ? a b ab

a b ? ?2 b a

D. a ? b ? 2ab
2 2

?x ? 2 y ? 0 ? 9.设 z ? x ? y , 其中实数x, y满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 12,则 z 的最小值为( ?0 ? y ? k ?
A.-3
2



B.-6

C.3

D.6 )

x → → 10.设 F1、 F2 是双曲线 -y2=1 的两个焦点, P 在双曲线上, 当△F1PF2 的面积为 2 时, PF1· PF2的值为( 3 A.2 B.3 C.4 D.6

11. f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时 f(x)是单调函数,则满足 f(x)=f? A.-3 B.3 C.-8 D.8

?x+3?的所有 x 之和为( ? ?x+4?

)

3 2 12. 已 知 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? abc, a ? b ? c , 且 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 , 现 给 出 如 下 结 论 : ①

f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 。
其中正确结论的序号是( A.①③ B.①④ ) C.②③ D.②④ 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值是
2 2

. .

14.在等腰直角三角形 ABC 中, AC ? BC ?

6 ,在斜边 AB 上任取一点 P ,则 CP ? 2 的概率为

15.设 S、 V 分别表示面积和体积, 如△ABC 面积用 S△ABC 表示, 三棱锥 O-ABC 的体积用 VO-ABC 表示. 对 → → → → 于命题:如果 O 是线段 AB 上一点,则|OB|· OA+|OA|· OB=0.将它类比到平面的情形是:若 O 是△ABC 内 → → → 一点,有 S△OBC· OA+S△OCA· OB+S△OBA· OC=0.将它类比到空间的情形应该是:若 O 是三棱锥 A-BCD 内 一点,则有__________________________. 16. 已知 f ( x) 是以 2 为周期的偶函数, 当 x ?[0,1] 时,f ( x) ? x , 若在区间 [ ?1,3] 内, 函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17、 (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边, C ?

?
3

, a ? 3 ,若向量

m ? (1,sin A), n ? (2,sin B) ,且 m // n 。
(I)求 b,c 的值; (II)求角 A 的大小及 ?ABC 的面积。

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6

频率 组距
4

2

15

25

35

45

55 5

65

75

月收 入

10

15

20

-2

(1)完成下图的月收入频率分布直方图(注意填写纵坐标)及 2×2 列联表;
-4 [15, 25) 的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,求选中的 2 人恰好有 (2)若从收入(单位:百元)在

1 人不赞成“楼市限购令”的概率.
-6

月收入不低于 55 百元人数 赞成 不赞成 合计

月收入低于 55 百 元人数

合计 33 17 50

a?4 b?6
10

c ? 29 d ? 11
40

19.(本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn =2an ? ? (n ? 1, 2, (1)证明:数列 ?an ? 是等比数列;

).

(2)若数列 ?bn ? 满足 bn =an + 2n (n=1,2, ???) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . 20.(本小题满分 12 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 4, ?BAD ? 60 , AC
第 3 页(共 8 页)

BD ? O .将菱形 ABCD 沿

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(1)求 证 : OM // 平 面 ABD ; (2)求 证 : 平 面 DOM ? 平 面 ABC ; (3)求 三 棱 锥 B ? D O M的 体 积 .

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对角线 AC 折起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 2 2 .

x2 y 2 3 21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过焦点且垂直于长轴的直 2 a b
线被椭圆截得的弦长为 1 ,过点 M (3,0) 的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 为椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? tOP ( O 为坐标原点) ,当 | AB |? 3 时,求实数 t 的取值 范围. 22. (本小题共 14 分)设函数 f ( x) ? x ln x ( x ? 0) 。 (1)求函数 f ( x) 的最小值; 月收入不 低 于 55 百元人数 赞成 不赞成 合计 月收入低 于 55 百 元人数

合计

a?
b?

c?
d?

(2)设 F ( x) ? ax ? f ?(x) (a ? R) ,讨论函数 F ( x ) 的单调性;
2

(3)斜率为 k 的直线与曲线 y ? f ?( x) 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 两点, 求证: x1 ?

1 ? x2 。 k

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2014 届高三年漳州八校第三次联考
数学(文科)试卷参考答案及评分标准
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题 号 答 案

1 A

2 C

3 D

4 C

5 A

6 D

7 C

8 C

9 B

10 B

11 C

12 C

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.-1 14.

3 3

→ → → → 15. VO-BCD· OA+VO-ACD· OB+VO-ABD· OC+VO-ABC· OD=0

? 1? 16. ? 0, ? ? 4?
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,否则不得分.

17. 18、 .解: (1)各组的频率分别是 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1 , 所以图中各组的纵坐标分别是: 0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01 ,??????3 分

????6 分 (2)设收入(单位:百元)在 [15, 25) 的被调查者中赞成的分别是 A1 , A2 , A3 , A4 ,不赞成的是 B ,从
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中选出两人的所有结果有 10 种:

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( A1 A2 ),( A1 A3 ),( A1 A4 ),( A1B),( A2 A3 ),( A2 A4 ),( A2 B),( A3 A4 ),( A3 B),( A4 B), ???8 分
其中选中 B 的有 4 种: ( A 1 B),( A 2 B),( A 3 B),( A 4 B). ????????????10 分 所以选中的 2 人恰好有 1 人不赞成“楼市限购令”的概率是 P ? 19.解(1)证明:因为 Sn =2an ? ? (n ? 1, 2, 则 Sn-1 =2an-1 ? ? (n ? 2,3,

4 2 ? 。?12 分 10 5

),

) …… 1 分

所以当 n ? 2 时, an =Sn ? Sn-1 =2an ? 2an -1 , 整理得 an =2an -1 . 由 Sn =2an ? ? ,令 n ? 1 ,得 S1 =2a1 ? ? ,解得 a1 ? ? . 所以 ?an ? 是首项为 3,公比为 2 的等比数列. (2)解:因为 an =3 ? 2
n?1

??6 分



由 bn =an + 2n (n=1,2, ???) ,得 bn =3 ? 2n?1 ? ?n . 所以 Tn ? ???? ?? ? ?? ???? ? ?n?? ? ? ???? ? ? ????? ? n?

1(1 ? 2n ) n(n+1) +2 ? =3 ? 2n +n2 +n ? ? 1? 2 2 所以 Tn =3 ? 2n +n2 +n ? ? . ????????12 分 =3
20.解答

(按每小题 4 分评)

c2 3 c 3 2 2 ? 21. 解 ( 1 ) 由 已 知 e ? ? , 所 以 , 所 以 a ?4 b , c ?2 2 4 a a 2

3所 b2 以

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x2 y2 ? ?1 4b2 b2

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…… 2 分

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又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为 所以 b ? 1 所以

2b 2 ?1 a

…… 3 分 …… 4 分 设 AB : y ? k ( x ? 3) 与椭圆联立得

x2 ? y2 ? 1 4

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x, y)

? y ? k ( x ? 3) ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ? 4

整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ? 4 ? 0

? ? 242 k 4 ? 16(9k 2 ? 1)(1 ? 4k 2 ) ? 0
x1 ? x2 ? 24k 2 36k 2 ? 4 , x ? x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

k2 ?
…… 6 分

1 5

OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y)

1 24k 2 x ? ( x1 ? x2 ) ? t t (1 ? 4k 2 )

1 1 ?6k y ? ( y1 ? y2 ) ? ? k ( x1 ? x2 ) ? 6k ? ? t t t (1 ? 4k 2 )
由点 P 在椭圆上得

(24k 2 )2 144k 2 ? ?4 t 2 (1 ? 4k 2 ) 2 t 2 (1 ? 4k 2 )2
…… 8 分

36k 2 ? t 2 (1 ? 4k 2 )
又由 AB ? 1 ? k
2

x1 ? x2 ? 3 , 所以 (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2 ? 3

2 (1 ? k 2 ) ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ??3

? 242 k 4 4(36k 2 ? 4) ? (1 ? k 2 ) ? ? ? ?3 2 2 1 ? 4k 2 ? ? (1 ? 4k )
(8k 2 ? 1)(16k 2 ? 13) ? 0 ,所以 8k 2 ? 1 ? 0, k 2 ?
所以

1 8

…… 10 分

1 1 ? k2 ? 8 5

2 2 2 由 36k ? t (1 ? 4k ) 得 t ?
2

36k 2 9 ?9? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
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2

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…… 12 分 . 时,f'(x)>0,

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所以 3 ? t ? 4 ,所以 ?2 ? t ? ? 3 或 3 ? t ? 2 22. (1)解:f'(x)=lnx+1(x>0) ,令 f'(x)=0,得 ∵当 ∴当 时, 时,f'(x)<0;当 .

----------------- 4 分 .

(2)F(x)=ax2+lnx+1(x>0) , ①当 a≥0 时,恒有 F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当 a<0 时, 令 F'(x)>0,得 2ax2+1>0,解得 令 F'(x)<0,得 2ax2+1<0,解得 . ;

综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a<0 时,F(x)在 上单调递增,在 上单调递

减.------------------------------------8 分 (3)证: .要证 ,

即证

,等价于证

,令



则只要证

,由 t>1 知 lnt>0,

故等价于证 lnt<t﹣1<tlnt(t>1) (*) .-------------------------------------------10 分 ①设 g(t)=t﹣1﹣lnt(t≥1) ,则 ,

故 g(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当 t>1 时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即 t﹣1>lnt(t>1) . ②设 h(t)=tlnt﹣(t﹣1) (t≥1) ,则 h'(t)=lnt≥0(t≥1) ,故 h(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当 t>1 时,h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即 t﹣1<tlnt(t>1) . 由①②知(*)成立,得证.---------------------------------14 分

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