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二倍角公式习题课


二倍角公式习题课

一、复习公式
1.二倍角公式: sin2α=2sin αcos α cos2 α=cos2 α-sin2 α=2cos2 α-1 =1-2sin2 α tan2 α=

2tanα 2 1 ? tan α

2.半角公式

α 2sin ? 1 ? cosα 2 2 α 2cos ? 1 ? cosα 2 α 1 ? cosα sinα tan ? ? 2 sinα 1 ? cosα
2

3.万能公式:
θ 1 ? tan 2 si n ? θ , cosθ ? 2 θ 2 θ 1 ? tan 1 ? tan 2 2 θ 2tan 2 tanθ ? 2 θ 1 ? tan 2
2

θ 2tan 2

二、应用举例:
?π ? ?π ? 1 例1.(1)已知 sin? ? α ?sin? ? α ? ? ?4 ? ?4 ? 6 ?π ? α ? ? , π ? 求sin4α的值。 ?2 ?

1 解: sin( ? ? ) sin( ? ? ) ? ? 4 4 6 1 ? ? 1 ? ? 2 sin( ? ? ) cos( ? ? ) ? 2 4 4 6 ? 1 1 sin( ? 2? ) ? ? cos 2? ? 2 3 3

?

?

2 2 ?? ? 2? ? 2? ?sin 2? ? ? 3 4 2 ?sin 4? ? 2 sin 2? cos 2? ? 9
1 1 (2)已知 sinα ? sinβ ? , cosα ? cosβ ? 2 3

α?β 求 cos 的值。 2
2

解: cos

2

? ??
2

1 ? sin ? ? sin ? ? 2

1 ? cos(? ? ? ) ? 2


? cos

13 ? 2 ? 2(cos? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 36 59 ? cos(? ? ? ) ? 72 ? ? ? 131
2

1 ② cos? ? cos ? ? 3

2

?

144

练习:已知三角函数
β? 1 ? ?α ? 2 cos? α ? ? ? ? , sin? ? β ? ? 2? 9 ? ?2 ? 3

π π 且 ? α ? π,0 ? β ? .求 cos(α ? β) 的值。 2 2

? 例2.已知tan2x= ? 2 2 , ? 2 x ? 2?
x 2cos ? sinx? 1 2 求 π 2sin(x? ) 4
2

x 2 cos ? sin x ? 1 cos x ? sin x 2 解: ? ? cos x ? sin x 2 sin( x ? ) 4
2

1 ? tan x 1 ? 2 / 2 ? ? ? 3? 2 2 1 ? tan x 1 ? 2 / 2 而 tan 2 x ? ?2 2,? ? 2 x ? 2?
2 tan x ? ? ?2 2 1 ? tan x
2

? 2 tan x ? tan x ? 2 ? 0
2

2 tan x ? ? ; 或 tan x ? 2(舍) 2

π 1 例3.已知 ? ? x ? 0,sinx? cosx ? 2 5

(1)求sinx-cosx的值。
x x x 2 x 3sin ? 2sin cos ? cos 2 2 2 2 (2)求 tanx? cotx
2

1 解() sin x ? cos x ? 1? 5 24 ? 2 sin x cos x ? ? 25

(sin x ? cos x) ? (sin x ? cos x) ? 4 sin x cos x
2 2

1 48 49 ? ? ? 25 25 25

x x x 2 x 3sin ? 2sin cos ? cos 2 2 2 2 (2)求 tanx? cotx
2

? ? ? ? x ? 0, cos x ? sin x 2 7 ? sin x ? cos x ? ? 5

x 2 sin ? sin x ? 1 2 ? sin x cos x ? cos x sin x
2

? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) 12 1 108 ? ? ? (2 ? ) ? ? 25 5 125

? ? (1 ? sin ? ? cos? )(sin ? cos ) 2 2 例4.(1)化简 2 ? 2 cos?
(180o<α<360o)
(2)
2sin130 ? sin100 (1 ? 3tan370 )
o o o

? cos10o 1

(180 <α<360 )

? ? (1 ? sin ? ? cos? )(sin ? cos ) 2 2 (1)化简: 2 ? 2 cos? o o

解:

? ? ? ? ? 2 cos (sin ? cos )(sin ? cos ) 2 2 2 2 2 原式 ? ? 2 ? 2 cos 2
2

?

2 cos

?
2

(sin

2

?
2

? cos 2 |

2

?
2

)

2 | cos ? ? 2 cos

?

?
2

cos?

? 2 cos

?
2

? cos?

(2)

2sin130o ? sin100o (1 ? 3tan370o )

? cos10o 1

例4 1 ()求下列函数的值域。

y ? sin x ? cos x ? sin x cos x(x ? R)

2 x ? 7?) cos2 x ? 7?) (2)化简: ( cos ? ( 2 8 2 8

?π ? 5 ? π? 例5.已知 x ? ? 0, ? ,且 sin? ? x ? ? ? 4? ?4 ? 13
cos2x 求 的值。 π cos( ? x) 4

? sin ? 2 x) ( cos 2 x 2 解法1: ? ? ? cos ? x) cos ? x) ( ( 4 4

π π 2sin( ? x)cos( ? x) 4 4 ? π cos( ? x) 4 π π 2cos( ? x)cos( ? x) 4 4 ? π cos( ? x) 4

? 2 cos(

?

4

? x)

π 5 ? sin( ? x)? 4 13 π 12 ? cos ? x)? ( 4 13

24 ? ? ? 13 cos ? x) ( 4

cos 2 x

π 5 解法2 ? sin( ? x) ? 4 13 π π π 5 ? cos[ ?( ? x)] ? sin( ? x) ? 2 4 4 13 π 5 cos( ? x) ? 4 13

? π 5 ?sin( ? x)? x ? (0, ) 4 13 4 5 π 12 π ?cos ? x)? ( ? tan( ? x)? 4 13 4 12 1 ? tan x 5 7 ? ? tan x ? 1 ? tan x 12 17
1 ? tan x 120 ? cos 2 x ? ? 1 ? tan x 169
2 2

120 13 24 ? ? ? ? ? 169 5 13 cos( ? x) 4

cos 2 x

练习册:P

37

1 ? tan ? 例6.已知 ? 4 ,求sin2α的值。 1 ? tan ?

3 20? ? ? cos( ? x) ? , ? x ? ? 2? 4 5 12 4 ? 4 ? sin( ? x) ? ? 4 5 ? 4 tan( ? x) ? ? ? tan x ? 7 4 3

3 例7已知 cos( ? x) ? , 4 5 17? 7? sin 2 x ? 2 sin x ?x? ,求 的值。 12 4 1 ? tan x
2

?

?

2 tan x 2?7 7 sin 2 x ? ? ? 1 ? tan x 1 ? 7 25 1 ? tan x 24 cos 2 x ? ?? 1 ? tan x 25
2 2 2 2

sin 2 x ? 2 sin x 28 ? ?? 1 ? tan x 75
2

例8如图,扇形AOB的半径为 ,中心角为60 1

0

B 求矩形PQRS面积的最大值。 解:连接OP,设?AOP ? ?
( ?? ? ) 0 3

PQRS是扇形的内接矩形,

?

Q

P

o
0

PS ? R sin ? , RS ? OS ? OR RS ? cos? ? sin ? cot 60

? R

S

A

3 ? S ? PS ? RS ? cos? ? sin ? ) sin ? ( 3
矩形

1 ? sin 2? ? 2 1 ? sin 2? ? 2

3 sin ? 3 3 3 cos 2? ? 6 6
2

3 3 3 ? sin(2? ? ? ) ? (tan? ? ) 3 6 3

3 ?当2? ? ? ? 90 时,取最大值 。 6
0

作业: 45分钟测试4.7


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