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广东省普宁英才华侨中学2015-2016学年高一数学下学期第一次月考试题


普宁市英才华侨中学 2015—2016 学年下学期第一次调研考试 高一数学
一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分。把答案填在答题纸上相应的表格中) 1.已知集合 M={y|y= 2 ,x>0},N={x|y=l g(2x- x )},则 M∩N 为( A. (1,+∞) B. (1,2) C.[2,+∞) ) D.[1,+∞)
x

2



1 ? lg(1 ? x) 的定义域是 ( 2.函数 f ( x) ? 1? x
A.(- ? ,-1) B.(1,+ ? )

C.(-1,1)∪(1,+ ? ) D.(- ? ,+ ? )

3.某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级 2 012 名学生中抽取 50 名进行调查,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从 2 012 人中剔除 12 人,剩下 2 000 人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的机会( ) (A)不全相等 (B)都相等 (C)均不相等 (D)无法确定 4.在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是(
2 2 2



A.锐角三角形. B.直角三角形. C.钝角三角形. D.不能确定 5.设等差数列 {an } 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d ,若 则 k=( A. 2 ) B. 6 C. 8 D. 4

ak 是 a1与a2k 得等比中项,

6.数列{an} 的通项公式 an A.1006

?

1 n? ? cos 4 2
C.503

,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于( D.0



B.2012

7.在 ? ABC 中, AD ? 2DC , E 是 BD 上的一点,若 AE ? x AB ? 为( ) B.

2 AC ,则实数 x 的值 7

2 A. 7

3 7


C.

4 7

D.

5 7

8.若 ?ABC 外接 圆的半径为 1,圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则

CA ? CB 等于(
A. 3 B.

3 2

C.

3

D. 2 3

9.已知 a, b 为两个非零向量,则下列命题不正确 的是( ... A. 若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则存在实数 t 0 ,使得 a ? t 0 b



1

B. 若存在实数 t 0 ,使得 a ? t 0 b ,则 | a ? b |?| a | ? | b | C. 若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则存在实数 t 0 ,使得 a ? t 0 b D. 若存在实数 t 0 ,使得 a ? t 0 b ,则 | a ? b |?| a | ? | b | 10.已知集合 M ? ? x | x ? A. M ? N 11.

? ?

k? ? k? ? ? ? ? ? , k ? ?? , N ? ? x | x ? ? , k ? ? ? ,则( 2 4 4 2 ? ? ?
C. M ? N ( D. M ? N ? ? ) D. ? cos15 x

)

B. N ? M

f (sin x) ? cos15 x ,则 f (cos x) ?
B. cos15 x

A. sin15 x 12.方程 sin

C. ? sin15 x )

x ? lg | x |

实根的个数为(

A.6 B.5 C.4 D. 3 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 13.从 2012 年参加奥运知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩(均为整数)整理后画出的 频率分布直方图如图所示.观察图形,估计这次奥运知识竞赛的及格率(大于或等于 60 分 为及格)为__________.

14.某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2∶3∶5.现用分层抽样 方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 16 件.那么此样本的容量 n= __________. 15.(2013·浙江卷)从 3 男 3 女共 6 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均等),这 2 名都是女同学的概率等于__________. 16.垂直于 x 轴的直线 l 被圆 x +y -4x-5=0 截得的弦长为 2 5,则 l 的方程 为______ __.
2 2

2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 8 分)平面内给定三个向量 a ? (3,2),b ? (?1,2), c ? (4,1) (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m, n ; (2)若 (a ? k c) // (2b ? a) ,求实 数 k .

18. (本题满分 10 分) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , C? 的 面积为 10 3 . (1)求 a, c 的值; (2)求 sin ? A ?

?
3

, b ? 5 ,?ABC

? ?

??

? 的值. 6?

19.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos(B ? C) 的取值范围.

20. 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ;

an?1 ? an ? 1 ,n ? N ? 。
? bn ? 2, n ? N ? 。

数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ⑴求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式 ⑵令数列 ?cn ? 满足 cn

? a n ? bn ,求其前 n 项和为 Tn 。

21.已知数列{ an }、{

bn 1 a ? , a ? b ? 1, b ? n n n ?1 bn }满足: 1 4 1 ? an 2

.

(1)求

a2 , a3 , ;
1 }为等差数列,并求数列 ?an ? 和{ bn }的通项公式 ; an

(2) 证数列{

(3)设

Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? ... ? an an?1 ,

求实数 ? 为何值时

4? Sn ? bn

恒成立。

3

参考答案 一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分。 ) 1.B 2.C 3.B 4. C 5.D 6. C 7.C 8.A 9. D 10.A 11.D 12.A 二、.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡 的相应位置。 1 13. 5 14.0.75 15. 80 16. 略

三.解答题

5 8 16 , n ? ; (2)k ? ? 9 9 13 13 18. (1)a ? 8, c ? 7; (2) 14 19. 解析: (1)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? ? ,
17.(1) m ? 所以 sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ? (2) 3 sin A ? cos(B ? C) ? 3 sin A ? cos(? ? A) = 3 sin A ? cos A ? 2 sin( A ? 又0 ? A ?

?
4

?
6

)

3? ? ? 11? , ? A? ? , 4 6 6 12
( 6? 2 ,2] . 2

综上所述, 3 sin A ? cos(B ? C) 的取值范围 20.解:

(1)由已知得数列 ?an ? 为等差数列,首项为 1,公差为 1.所以其通项公式为 an ? n 因为 Sn ? bn ? 2 ? Sn?1 ? bn?1 ? 2 ,所以 又 S1 ? b1 ? 2 ?b1 ? 1 所以 bn ?

bn ?1 1 ? ,所以数列 ?bn ? 为等比数列, bn 2

1 2 n ?1

(2)由已知得: cn ? n ?

1 2 3 n ?Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 , n ?1 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 1 1? n 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 2 ?1 ? 1 所以 Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? ? n 1 2n 2 2 2 2 2 2 ? 2 1? 2
所以 Tn ? 4 ?1 ?

? n ?? n ? 2

? ?

1 ? n 2?n ? n ?1 ? 4 ? n ?1 n ? 2 ? 2 2

4

21.解: (1) ∵ a1 ?

1 3 , b1 ? 4 4

∴ b2 ?

4 5 1 1 , b3 ? , a2 ? , a3 ? 5 6 5 6

……………4 分

(2)∵ bn ?1 ? 1 ? an ?1 ?

bn 1 ? am 1 ? ? (1 ? an )(1+an ) (1 ? an )(1 ? an ) 1 ? an

∴ 1 ? an ?1 ?

1 , an ? an?1 ? an an?1 1 ? an



1 1 ? ?1 an ?1 an 1 }是以 4 为首项,1 为公差的等差数列 an
……………6 分

∴数列{



1 ? 4 ? (n ? 1) ? 3 ? n an
1 n?3 an ?
∴ bn ? 1 ?

an ?
(3)

1 n?2 ? ……………8 分 n?3 n?3

1 n?3

1 1 1 n ∴ Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ? 1 ? 1 ? ??? ? ? ? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4) 4 n ? 4 4(n ? 4)
∴ 4? Sn ? bn ?

?n
n?4

?

n ? 2 (? ? 1)n2 ? (3? ? 6)n ? 8 ? n?3 (n ? 3)(n ? 4)

……………10 分

由条件可知 (? ?1)n2 ? (3? ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件 设

f (n) ? (? ?1)n2 ? 3(? ? 2)n ? 8

当 ? =1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立, 当 ? >1 时,由二次函数的性质知不可能成立 当 ? <l 时,对称轴 ? ?

3 ? ?2 3 1 ? ? (1 ? )?0 2 ? ?1 2 ? ?1

……………13 分

f(n)在 ?1, ?? ? 为单调递减函数.

f (1) ? (? ?1)n2 ? (3? ? 6)n ? 8 ? (? ?1) ? (3? ? 6) ? 8 ? 4? ?15 ? 0
∴? ?

15 4

∴a<1 时 4aSn ? bn 恒成立

……………14 分

综上知: ? ≤1 时, 4aSn ? bn 恒成立

5


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