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山西省太原五中2013届高三5月月考数学理试题


太 高

原 三

五 数

中 学(理)

2012—2013 年学年度第二学期月考(5 月)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 小题,共 150 分, 考试时间 120 分钟。 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条 形码区域内; 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔书写,字体工 整、笔迹清楚; 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试 题卷上答题无效; 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑; 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A ? {0 , 1} ,则满足条件A ? B ? {2 , 0 , 1, 3}的集合B 共有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

z 2. 已知复数 z1 ? m ? 2i , 2 ? 3 ? 4i 若
A.

z1 为实数, 则实数 m 的值为( z2
3 2

)

8 3

B.

3 2

C. ?

8 3

D. ?

3.如图所示程序框图,其输出结果是 A. n ? 5 B. n ? 6

1 ,则判断框中所填的条件是( 11 C. n ? 7 D. n ? 8
)

)

4.已知x ? R ,则x ? 1是 | x ?1| ? | x ?1|? 2 | x | 的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 5.设数列 ?a n ? 为等差数列,其前n项和为 S n ,已知

a1 ? a4 ? a7 ? 99, a2 ? a5 ? a8 ? 93
立,则k的值为( A.22 B.21 ) C.20 D.19

,若对任意 n ? N * 都有 S n ? S k 成

6.已知点 M (a, b)(a ? 0, b ? 0)是圆C:x ? y ? 1 内任意一点, P ( x, y ) 是圆上任意一点, 点
2 2

则实数 ax ? by ? 1 ( A.一定是负数

) B.一定等于 0
-1-

C.一定是正数

D.可能为正数也可能为负数

7.已知圆 O 的半径为2, A 、 B 是圆上两点, ?AOB ? 是圆 O 的一条直径,点 C 在圆内且满足

2? , MN 3

OC ? ? OA ? ?1 ? ? ?OB?0 ? ? ? 1? ,则 CM ? CN 的最小值为
( ) B.-1 C.-3 D.-4

A.-2

8.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(?x ? ( A. [ )

?
4

) 在区间[

?
2

, ? ]上单调递减,则实数 ? 的取值范围是

1 3 , ] 2 4

B. ( 0,

1 1 5 ] C. [ , ] 2 2 4

D. (0,2]

9.现需编制一个八位的序号,规定如下:序号由4个数字和2个 x 、1个 y 、1个 z 组成;2个 x 不能连续出现,且 y 在 z 的前面;数字在1、2、4、8之间选取,可重复选取,且四个数字之 积为8.则符合条件的不同的序号种数有( A.12600 10.已知方程 A. tan(? ? C. tan( ? ? B.6300 C.5040 ) D.2520

sin x ,则下面结论正确的是: ? k 在 (0, ??) 有两个不同的解 ? , ? ( ? ? ? ) x

?
4

)?
)?

1? ? 1??
1? ? 1? ?

B. tan(? ? D. tan( ? ?

?
4

)?

1?? 1? ?

?
4

?
4

)?

1? ? 1? ?

11.在 ?ABC 中 , a , b , c 分 别 是 角 A , B , C 的 对 边 ,

a ? 6 , b ? 2,且
A. B.

1 ? 2 cos( B ? C ) ? 0 ,则

?ABC 的 BC 边 上 的 高 等 于 ( )
D.

2

6 2

C.

6? 2 2

3 ?1 2

12. 已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (?1,0) 对称, 且当 x ? (??,0) 时, f ( x) ? xf ?( x) ? 0 成 立 ( 其 中

f ?(x)



f (x)









) ,



1 1 a ? (30.3 ) ? f (30.3 ), b ? (log? 3) ? f (log? 3), c ? (log 3 ) ? f (log 3 ) ,则 a,b,c 的大小关 9 9
系为( )

-2-

A. a > c >b

B.c>a>b

C.c> b > a 第Ⅱ卷

D. b >a> c

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分。 13.已知集合 A ? y | y ? x ? 2 x,?2 ? x ? 2 , B ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,在集合 A 中任意
2 2

?

?

?

?

取一个元素 a ,则 a ? B 的概率是

.

14.已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 4,8, h ,且它的 8 个顶点都在同一个 球面 上,若这个球面的表面积为 100? ,则 h ? 15.观察下列式子: 1 ? .

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , ??, 2 2 3 4 2 2 3 2 3 4 1 1 1 根据以上式子可以猜想: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? _______. 2 3 20132
16.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 有公共点,则 2 a b

该双曲线的离心率的取值范围是___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和.

18. (本题满分 12 分)
1 2,2 3,3 x 不透明的袋中有 8 张大小和形状完全相同的卡片,卡片上分别写有 1, , , , ,y .现从

中任取 3 张卡片,假设每张卡片被取出的可能性相同.
(I)

求取出的三张卡片中至少有一张字母卡片的概率;

(Ⅱ)设

? 表示三张卡片上的数字之和.当三张卡片中含有字母时,则约定:有一个字母和二个相

同数字时 ? 为这二个数字之和,否则 ? ? 0 ,求 ? 的分布列和期望 E? .

-3-

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 菱 形 ABEF 所 在 平 面 与 直 角 梯 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 ,

AB ? 2 AD ? 2CD ? 4 , ?ABE ? 60? , ?BAD ? ?CDA ? 90? , 点 H , G 分 别 是 线 段
EF , BC 的中点. (I)求证:平面 AHC ? 平面 BCE ; (Ⅱ)点 M 在直线 EF 上,且 GM //平面 AFD ,求平面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值。

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 在椭圆上. 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的左右顶点分别为 A , B ,过点 Q ( 2,0) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M , N 两点,
(I)

x2 y2 3 , P 2, 3 点 ? 2 ? 1 的离心率等于 2 a b 2

?

?

是否存在定直线 l ' : x ? t ,使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上?若存在,求出一个满足 条件的 t 值;若不存在,说明理由。

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? 2a ln( x ? 1) ? x ? 2 x
2
(I)

当 a ? 0 时,讨论函数 g (x) 的单调性: 设线段 AB 的中点为 P ( x0 , y0 ) , 使得 f (x) 在 f (x) 的图像上存在不同两点 A ,B ,

(Ⅱ)若函数

点 Q ( x0 , f ( x0 )) 处的切线 l 与直线 AB 平行或重合,则说函数 f (x) 是“中值平衡函数” ,切线

l 叫做函数 f (x) 的“中值平衡切线”.
试判断函数 g (x) 是否是“中值平衡函数”?若是,判断函数 g (x) 的“中值平衡切线”的条 数;若不是,说明理由. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写 清题号。 22.(本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙ 的直径 ,AC 是弦 ,∠ 的平分线 AD 交⊙ 于点 D,DE⊥ O BAC O AC, 交 AC 的延长线于点 E.OE 交 AD 于点 F. E (Ⅰ)求证:DE 是⊙ 的切线; O C D F
-4-

A

O

B

(Ⅱ)若

AC 3 AF 的值. ? ,求 AB 5 DF

23.(本题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 正半轴为极轴,已 知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ,曲线 C 2 的参数方程是 ?

? x ? m ? t cos ? ( t 为参数, ? y ? t sin ?

0 ? ? ? ? ) ,射线 ? ? ? , ? ? ? ?

?
4

,? ? ? ?

?
4

与曲线 C1 交于极点 O 外的三点 A, B, C

(Ⅰ)求证: | OB | ? | OC |? 2 | OA | ;
(Ⅱ)当

??

?
12

时, B, C 两点在曲线 C 2 上,求 m 与 ? 的值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 . (Ⅰ)解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2, ; (Ⅱ)若 a>0 ,求证: f (ax) ? af ( x) ≤ f (a ) .

-5-

太 原 五 中 2012—2013 年学年度第二学期月考(5 月) 高 三 数 学(理)
一、 DDBA, CACC , BCCB 二、 三、 17. (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a1 ? 3d ? ?3, ? ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8. ?a1 ? 2, ?a1 ? ?4, ? ? d ? ?3, ?d ? 3. 解得 ? 或

2 4025 ;2 5; ; 1,,2 9 2013

?

?

由题意得

所以由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 . 故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 .??6 分 (Ⅱ an ? ?3n ? 5 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; )当 当 an ? 3n ? 7 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3. 故

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 Sn . 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ? ? ? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)
?5? (n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 2 2 2 . 当 n ? 2 时,满足此式.

n ? 1, ?4, ? Sn ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 1. ? 综上,

??12 分

18.
3 ⑴随机取出 3 张卡片的所有可能结果为 C8 ? 56 种,而取出的 3 张卡片中有 2 个数字和一个字 2 1 1 2 母或 1 个数字和 2 个字母的可能结果为 C6 ? C2 ? C6 ? C2 .

-6-

因此,所求概率为 P ?

1 1 2 C 62 C 2 ? C 6 C 2 9 = . ?? 4 分 14 C83

⑵依据题意知,ξ 的取值为 0,2,4,5,6,7,8.??6 分 当ξ =0 时,即三张卡片中有一个字母和二个不同数字,或二个字母一个数字,得
1 1 1 2 1 2 1 C 2 C 32 C 2 C 2 ? C 2 C 6 15 C2 C2 2 1 . P (? ? 2) ? ; P(? ? 0) ? ? ? ? 3 3 28 C8 56 28 C8
2 1 2 1 C2 C2 ? C2 C 2 C 2C 1 ? C 2C 1 4 4 2 2 ; P (? ? 5) ? 2 2 3 2 2 ? ; ? ? ? 3 C8 56 28 C8 56 28 2 1 1 1 1 C2 C2 ? C2C2C2 10 5 C 2C 1 ? C 2C 1 4 2 ; P (? ? 7) ? 2 2 3 2 2 ? ; ? ? ? 3 C8 56 28 C8 56 28

P(? ? 4) ?

P(? ? 6) ?

2 1 C2 C2 2 1 .∴ξ 的分布列为: P(? ? 8) ? ? ? 3 C8 56 28

??10 分 ∴E ? ? 0 ?

15 1 2 2 5 2 1 18 ? 2? ? 4? ? 5? ? 6? ? 7 ? ? 8? ? ??12 分 28 28 28 28 28 28 28 7

19. (1)证明:在菱形 ABEF 中,因为 ?ABE ? 60? ,所以△AEF 是等边三角形, 又 H 是线段 EF 的中点,所以 AH ? EF ? AH ? AB , 因为平面 ABEF ? 平面 ABCD ,所以 AH ? 平面 ABCD ,所以 AH ? BC ;??2 分 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , AB ? 2 AD ? 2CD ? 4 , ?BAD ? ?CDA ? 90? , 得 到 :

AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ,所以 AC ? CB ,?? 4 分 所以 CB ? 平面 AHC ,又 BC ? 平面 BCE ,所以平面 AHC ? 平面 BCE ;??6 分 (2)由(1) AH ? 平面 ABCD ,如图,分别 以 AD, AB, AH 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴
建立空间直角坐标系, 则 A(0, 0, 0), B(0, 4, 0), C (2, 2, 0), D(2, 0, 0) ,

E (0, 2, 3), F (0, ?2, 3), H (0, 0, 3), G (1,3, 0) ??7 分 ???? ??? ???? ? ? 设点 M 的坐标是 (0, m, 3) ,则 GM , AF , AD 共面, 所以存在实数 ? , ? 使得: ???? ? ???? ??? ? GM ? ? AD ? ? AF ? (?1, m ? 3, 3) ? (2? , 0, 0) ? (0, ?2 ? , 3? ) ,
得到: 2? ? ?1, m ? 3 ? ?2 ? , 3 ? 3? ? m ? 1 .即点 M 的坐标是: (0,1, 3) , ??8 分 由(1)知道:平面 AHC 的法向量是 BC ? (2, ?2, 0) , 设平面 ACM 的法向量是 n ? ( x, y, z ) ,

??? ?

?

-7-

? ???? ?n ? AC ? 0 ? ? ? ?( x, y, z ) ? (2, 2, 0) ? 0 ?x ? ? y 则: ? ? ???? ,??9 分 ?? ?? ? ?n ? AM ? 0 ?( x, y, z ) ? (0,1, 3) ? 0 ? y ? ? 3 z ? ? ? ? 令 z ? 3 ,则 y ? ?3, x ? 3 ,即 n ? (3, ?3, 3) , ? ??? ? 12 42 所以 cos ? n, BC ?? ,??11 分 ? 7 2 2 ? 21
即平面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值是 20.

42 。??12 分 7

3 c2 3 (1)由 e ? ? 2 ? ? a 2 ? 4b 2 ,??2 分 2 a 4 x2 y 2 4 3 又点 P (2, 3) 在椭圆上, 2 ? 2 ? 1 ? b 2 ? 4 ,所以椭圆方程: ? ? 1 ;??4 分 16 4 4b b y x?4 (2)当 l 垂直 x 轴时, M (2, 3), N (2, ? 3) ,则 AN 的方程是: , ? 6 ? 3 y x?4 ,交点 G 的坐标是: (8, ?2 3) ,猜测:存在常数 t ? 8 , ? BM 的方程是: ?2 3 即直线 l ' 的方程是: x ? 8 使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上, 证明:设 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) ,点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , G (8, yG )
将 l 的方程代入椭圆 C 的方程得到: x ? 4k ( x ? 2) ? 16 ,
2 2 2

即: (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 16 ? 0 ,
2 2 2 2

16k 2 16k 2 ? 16 从而: x1 ? x2 ? ,??6 分 , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 ???? 1 ? 4k 2 ???? 因为: AG ? (12, yG ) , AN ? ( x2 ? 4, y2 ) A, N , G 共线 12 y2 所以: 12 y2 ? ( x2 ? 4) yG , yG ? , x2 ? 4 ???? ???? ? 又 BG ? (4, yG ) , BM ? ( x1 ? 4, y1 ) 12 y2 要证明 B, M , G 共线,即要证明 4 y1 ? ( x1 ? 4) ,??9 分 x2 ? 4 即证明: k ( x1 ? 2)( x2 ? 4) ? 3k ( x2 ? 2)( x1 ? 4) , 即: x1 x2 ? 2 x2 ? 4 x1 ? 8 ? 3 x1 x2 ? 6 x1 ? 12 x2 ? 24 , 即: x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0
因为: x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 16 ?

16k 2 ? 16 80k 2 ? ? 16 ? 0 成立, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以点 G 在直线 BM 上。 综上:存在定直线 l ' : x ? 8 ,使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上, t 的值是 8 。??12 分 21.

2a 2( x 2 ? 1 ? a) ? 2x ? 2 ? (1) g '( x) ? x ?1 x ?1 当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时, g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在定义域 (?1, ??) 上是增函数;

-8-

当 0 ? 1 ? a ? 1 即 0 ? a ? 1 时,由 ?

? g '( x) ? 0 得到 ?1 ? x ? ? 1 ? a 或 x ? 1 ? a , ?x ?1 ? 0

所以:当 a ? 0 时, 函数 g ( x) 的递增区间是 (?1, ? 1 ? a ) 和 ( 1 ? a , ??) , 递减区间是

(? 1 ? a , 1 ? a ) ;
当 1 ? a ? 1 即 a ? 0 时,由 ?

? g '( x) ? 0 得到: x ? 1 ? a , ?x ?1 ? 0

所以:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的递增区间是 ( 1 ? a , ??) ,递减区间是 (?1, 1 ? a ) ;??6 分 (2)若函数 g ( x) 是“中值平衡函数” ,则存在 A( x1 , f ( x1 )), B ( x2 , f ( x2 )) ( ?1 ? x1 ? x2 )使 得

2a f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即 ? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 1? 2 1 ? x1 2a( x1 ? x2 ) 即 a ln , (*) ? 1 ? x2 1 ? x1 ? 1 ? x2
g '( x0 ) ?

2a ln

1 ? x1 1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2

当 a ? 0 时, *) ( 对任意的 ?1 ? x1 ? x2 都成立, 所以函数 g ( x) 是 “中值平衡函数” 且函数 g ( x) , 的“中值平衡切线”有无数条; 当 a ? 0 时,设

1 ? x1 2(t ? 1) 在区间 (0,1) 上有解, ? t ,则方程 ln t ? t ?1 1 ? x2

记函数 h(t ) ? ln t ?

1 4 (t ? 1) 2 2(t ? 1) ? ?0, ,则 h '(t ) ? ? t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2 t ?1
2(t ? 1) 在区间 (0,1) 上无解, t ?1

所以当 0 ? t ? 1 时, h(t ) ? h(1) ? 0 ,即方程 ln t ? 即函数 g ( x) 不是“中值平衡函数”.??12 分

Cos∠ DOH=cos∠ CAB=

AC 3 ? …………6 分 AB 5

设 OD=5x,则 AB=10x,OH=3x,DH=4x ∴ AH=8x AD2=80x2 由△ AED∽ADB 可得 AD2=AE· △ AB=AE· 10x ∴ AE=8X…………8 分

-9-

又由△ AEF∽DOF △

可得 AF∶ AE∶ = DF= OD

8 AF 8 ;∴ = ……10 分 5 DF 5

23 解(1)设点 A, B, C 的极坐标分别为 ( ?1 , ? ), ( ? 2 , ? ?

?

4

), ( ? 3 , ? ?

?
4

)

∵点 A, B, C 在曲线 C1 上,∴ ?1 ? 4 cos ? , ? 2 ? 4 cos(? ? 则 | OB | ? | OC | = ? 2 ? ? 3 ? 4 cos(? ?

?
4

), ? 3 ? 4 cos(? ?

?
4

)

?
4

) ? 4 cos(? ?

?
4

) ? 4 2 cos ?

2 | OA |? 2 ?1 ? 4 2 cos ? , 所以 | OB | ? | OC |? 2 | OA | ......5 分
(2)由曲线 C 2 的参数方程知曲线 C 2 为倾斜角为 ? 且过定点 (m,0) 的直线, 当? ?

?
12

时,B,C 点的极坐标分别为 (2,

?

), (2 3 ,? ) 3 6

?

化为直角坐标为 B (1, 3 ) , C (3,? 3 ) , ∵直线斜率为 tan ? ?

? 3? 3 2? ? ? 3 , 0 ? ? ? ? , ∴? ? 3 ?1 3 直线 BC 的普通方程为 y ? ? 3 ( x ? m) , ∵过点 B (1, 3 ) ,
∴ 3 ? ? 3 (1 ? m) ,解得 m ? 2 ......10 分

24.解: (1)由题 f ( x) ? f ( x ? 1) ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 1 . 因此只须解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 . ……2 分

1 ? x ? 1. 2 当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 . 5 当 x ? 2 时,原不式等价于 2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ? x ? . 2 5? ? 1 综上,原不等式的解集为 ? x | ? x ? ? . ……5 分 2? ? 2 (2)由题 f (ax) ? af ( x) ? ax ? 1 ? a x ? 1 .
当 x ? 1 时,原不式等价于 ?2 x ? 3 ? 2 ,即 当 a >0 时, f (ax) ? af ( x) ? ax ? 1 ? ax ? a

? ax ? 1 ? a ? ax ? ax ? 1 ? a ? ax ? a ? 1 ……10 分

- 10 -


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