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【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第三章 第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式


第五节 两角和与差的正弦、余弦和正 切公式

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

cos ? cos ? ? sin ? sin ?

sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin ? cos ? ? cos ? sin ?

tan ? ? tan ?

1 ? tan ? tan ?

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 公 式 名 二倍角的正弦 公式 2sin α ·cos α sin 2α =_______________
2α -sin2α 2α -1 cos 2cos cos 2α =_____________=_________ 2α 1-2sin =_________

二倍角的余弦

二倍角的正切

tan 2α =

2tan α 1 ? tan 2 α

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α ,β 是任意的.( )

(2)存在实数α ,β ,使等式sin(α +β )=sin α +sin β 成
立.( )

(3)在锐角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B大小不确 定.( )

(4)公式tan(α +β )= tan α ? tan β 可以变形为tan α +tan β
1 ? tan αtan β

=tan(α +β )(1-tan α tan β ),且对任意角α ,β 都成立.( (5)存在实数α ,使tan 2α =2tan α .( )

)

【解析】(1)正确.对于任意的实数α,β ,两角和与差的正弦、 余弦公式都成立. (2)正确.如取β=0,∵sin 0=0, ∴sin(α+0)=sin α=sin α+sin 0. (3)错误.∵
? <A+B<π, 2

∴cos(A+B)<0,即cos Acos B-sin Asin B<0. ∴sin Asin B>cos Acos B.

(4)错误.变形可以,但不是对任意角α,β都成立.变形后 α,β,α+β≠kπ+
? ,k∈Z. 2

(5)正确.当α=kπ(k∈Z)时,tan 2α=2tan α. 答案:(1)√ (2)√ (3)〓 (4)〓 (5)√

α 的值等于( 1.tan α =3,则 sin 2 2 cos α

)

(A)2

(B)3

(C)4

(D)6

2α 2sin αcos α =2tan α=2〓3=6. 【解析】选D. sin 2 ? 2 cos α cos α

2.已知α ,β 均为锐角,且sin α = 3 ,cos β = 1 ,则sin(α +β )
5 3

的值是( (A) 4 ? 6 2
16 (C)12 ? 2 2 15

) (B) 3 ? 8 2
15

(D)以上均不对
1 3 ,cos β= , 3 5

【解析】选B.由α,β均为锐角,sin α=

得cos α=

4 ,sin β= 2 2 , 5 3

∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β

= 3? 1 ? 4 ? 2 2 ? 3?8 2 .
5 3 5 3 15

3.下列各式的值为 (A)2cos2 ? -1
12 22.5? (C) 2tan 2 1 ? tan 22.5?

1 的是( 4

)

(B)1-2sin275° (D)sin 15 °cos 15°
12 6

【解析】选D.A项:2cos2 ? -1=cos ? = 3 ;
2

B项:1-2sin275°=cos 150°=22.5? =tan 45°=1; C项: 2tan 2 1 ? tan 22.5?

3 ; 2

1 D项:sin 15°cos 15°= 1 sin 30°= . 2 4

4.tan 20°+tan 40°+ 3 tan 20°tan 40°=_______. 【解析】由tan 60°= tan 20? ? tan 40? ? 3 得,
1 ? tan 20?tan 40?

tan 20°+tan 40°= 3 ? 3 tan 20°tan 40°,代入所求得,
3 ? 3 tan 20°tan 40°+ 3 tan 20°tan 40°= 3 .

答案: 3

考向1 三角函数的求值 【典例1】(1)已知sin θ = 值为( (A)24 25 4 ,sin θ cos θ <0,则sin 2θ 的 5 4 5 24 25

) (B)- 12
25

(C)-

(D)

(2)(2013·珠海模拟)若α 是锐角,sin(α 的值等于( (A) 2 6 ? 1
6

? )= 1 ,则cos α 6 3

) (B) 2 6 ? 1
6

(C) 2 3 ? 1
4

(D) 2 3 ? 1
3

(3)(2013·广州模拟)若α ∈(0, ? ),且sin2α +cos 2α = 1 ,
2 4

则tan α =______. 【思路点拨】(1)由sin θ及sin θcos θ<0可得cos θ,再 利用倍角公式可解. (2)构造角α=(α? ? )+ ,展开可求. 6 6

(3)由倍角公式转化为关于角α的同角函数关系式,结合α的 范围求出cos α,进而得到tan α的值.

【规范解答】(1)选A.由sin θ= 4 ,得cos θ=〒 3 .
5 5 3 . 5 4 3 ∴sin 2θ=2sin θcos θ=2〓 〓(- )=- 24 . 5 5 25 (2)选A.∵α是锐角,即0<α< ? , 2 ∴ ? ? <α ? ? < ? . 6 6 3 又∵sin(α- ? )= 1 , 6 3 ∴cos(α- ? )= 2 2 . 6 3

又∵sin θcos θ<0,∴cos θ=-

? ? )+ ] 6 6 ? =cos(α- ? )cos -sin(α- ? )sin ? 6 6 6 6 = 2 2 ? 3 ? 1 ? 1 ? 2 6 ?1 . 3 2 3 2 6 1 1 (3)∵sin2α+cos 2α= ,∴sin2α+cos2α-sin2α= 4 4 1 ∴cos2α= . 4 1 ? ? 又∵α∈(0, ),∴cos α= ,∴α= . 2 2 3

∴cos α=cos[(α-

∴tan α= 3 . 答案: 3

【互动探究】本例(1)中条件不变,如何求解tan 2θ 的值. 【解析】∵sin θ= 4 ,∴sin2θ= 16 .
5 25 16 ∴cos 2θ=1-2sin2θ=1-2〓 =- 7 , 25 25 故cos 2θ=- 7 . 25 由(1)知sin 2θ=- 24 , 25 故tan 2θ= 24 . 7

【拓展提升】三角函数求值的两种类型 (1)给角求值:关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三 角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数 的差异. ①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;

②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解 题的目的. 【提醒】解答有条件限制的求值问题时,要善于发现所求的三 角函数的角与已知条件的角的联系,一般方法是拼角与拆角 .

【变式备选】已知 ? <α < 3? ,0<β < ? ,cos( ? +α )= ? 3 ,
4 4 4 4 5

sin( 3? +β )= 5 ,则sin(α +β )=______.
4 13

【解析】∵ ? <α< 3? ,∴ ? < ? +α<π,
4 4

4 2 ? 又∵cos( ? +α)=- 3 ,∴sin( +α)= 4 . 4 5 5 4 ∵0<β< ? ,∴ 3? < 3? +β<π, 4 4 4 12 又∵sin( 3? +β)= 5 ,∴cos( 3? +β)= , 13 4 4 13

∴sin(α+β)=-sin[π+(α+β)]
3? +β)] 4 4 ? =-[sin( ? +α)cos( 3? +β)+cos( +α)sin( 3? +β)] 4 4 4 4 4 12 3 5 63 =? [ ? (? ) ? ? ] ? . 5 13 5 13 65 答案: 63 65

=-sin[( ? +α)+(

考向2 三角函数式的化简 【典例2】(1)(2013·广州模拟) (A) 3
2
3 ? cos 20? =( 2 2 ? sin 80? 2

)

(B)2

(C) 2
2

(D) 1

(2)化简 2 ? cos 2 ? sin 21 的结果是(

)

(A)-cos 1
(C) 3 cos 1

(B)cos 1
(D)- 3 cos 1

cos 2 α ? sin 2 α (3) =_______. ? ? 2tan( ? α)cos 2 ( ? α) 4 4

【思路点拨】(1)将sin280°降幂约分即可求解. (2)将cos 2利用倍角公式转化求解. (3)由于分子是一个平方差,分母中正切函数可转化成弦函数, 若注意到这两大特征,不难得到解题的切入点 . 【规范解答】(1)选B.原式=
3 ? cos 20? 3 ? cos 20? ? ? 2. 3 ? cos 160? 3 ? cos 20? 2 2 3 ? cos 20? 1 ? cos 160? 2? 2

?

(2)选C. 2 ? cos 2 ? sin 21 ? 2cos21 ? 1 ? sin 21 ? 3cos21 ? 3cos 1 . (3)原式=
cos 2α ? ? 2tan( ? α)cos 2 ( ? α) 4 4

=

cos 2α cos 2α =1. ? ? ? ? ? 2sin( ? α)cos( ? α) sin( ? 2α) cos 2α 4 4 2

cos 2α

答案:1

【互动探究】将本例题(1)中式子改为 3 ? sin 270? ,又将如何
2 ? cos 10?

求解? 【解析】 3 ? sin 70? ? 3 ? sin 70? ? 3 ? cos 20? =2. 2
2 ? cos 10? 3 ? cos 20? 2 3 ? cos 20? 2

【拓展提升】三角函数化简的技巧、方法和要求 (1)技巧:①寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角; ②正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊 角的三角函数值; ③一些常规技巧:“1”的代换、和积互化等. (2)常用方法:异名三角函数化为同名三角函数,异角化为同 角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊角的三角函数互 化.

(3)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽 量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量 使被开方数不含三角函数. 【提醒】公式的逆用、变形用十分重要,特别是1+cos 2α =2cos2α,1-cos 2α=2sin2α形式相似,容易出错,应用时要 加强“目标意识”.

【变式备选】(1) 1 ? 1 1 ? 1 cos 2α (α ∈( 3? ,2π ))=______.
2 2 2 2
2

(2)sin220°+cos280°+ 3 sin 20°cos 【解析】(1)因为 3? <α<2π,
2

80°=_____.

所以 1 ? 1 cos 2α ? 1 ? cos 2α ? cos 2α
2 2 2

=|cos α|=cos α.
又因为
3π α < <π, 4 2

1 1 1 1 α ? cos α ? ? (1 ? 2sin 2 ) 2 2 2 2 2 = sin 2 α ? sin α ? sin α , 2 2 2 ? 所以,原式=sin . 2 ? 答案:sin 2

所以,原式=

(2)sin220°+cos280°+ 3 sin 20°cos 80°
1 (1-cos 40°)+ 1 (1+cos 160°)+ 3 sin 20°cos 80° 2 2 1 =1- cos 40°+ 1 cos 160°+ 3 sin 20°cos (60°+20°) 2 2

=

=1- 1 cos 40°+ 1 (cos 120°cos 40°-sin 120°sin 40°)
2 2

+ 3 sin 20°(cos 60°cos 20°-sin 60°sin 20°)
3 =1- 1 cos 40°- 1 cos 40°- 3 sin 40°+ sin 40°- 4 4 4 3 1 ·sin 220°=1- 3 cos 40°- 3 (1-cos 40°)= . 2 4 4 4 1 答案: 4
2

考向3 三角函数的综合应用 【典例3】(2013·济宁模拟)已知函数f(x)=2 3 ·sin xcos x +2cos2x-1(x∈R).
? (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0, ]上的最大值和 2

最小值.
(2)若f(x0)=
? ? 6 ,x0∈[ , ],求cos 2x0的值. 4 2 5

【思路点拨】(1)逆用倍角公式和两角和的正弦公式,化简成
一种三角函数可解. (2)利用f(x0)求sin(2x0+ ? ),cos(2x0+
6 ? ),再构造角求解. 6

【规范解答】(1)由f(x)=2 3 sin xcos x+2cos 2x-1 = 3 (2sin xcos x)+(2cos 2x-1) = 3 sin 2x+cos 2x=2sin(2x+ ? ), 得T= 2 ? =π.
2 6

∴函数f(x)的最小正周期为π.
? ? )在区间[0, ]上为增函数,在区间 6 6 ? [ ? , ? ]上为减函数,又f(0)=1,f( )=2,f( ? )=-1, 6 2 6 2 ? 所以函数f(x)在区间[0, ]上的最大值为2,最小值为-1. 2

∵f(x)=2sin (2x+

(2)由(1)可知f(x0)=2sin (2x0+ ? ),又因为f(x0)= 6 ,所以
6 5

sin (2x0+ ? )= 3 >0,
? 2π 7π ∈[ , ], 6 3 6 4 2 从而cos(2x0+ ? )= ? 1 ? sin 2 (2x 0 ? ? ) ? ? 4 , 6 6 5 ? ∴cos 2x0=cos [(2x0+ ? )- ] 6 6 =cos(2x0+ ? )cos ? +sin(2x0+ ? )sin ? = 3 ? 4 3 . 6 6 6 10 6 6 5

由x0∈[ ? , ? ],得2x0+

【拓展提升】解三角函数综合应用问题的注意点 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查 往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数 解析式化为y =Asin(ωx+φ)的形式,再进一步探讨定义域、值 域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质 . (2)注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用,主 要考查基本运算能力.

3 【变式训练】设函数f(x)=sin(2ω x+ ? )+ +a(其中0<ω <
3

2

1,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为
?. 6

(1)求ω 的值. (2)如果f(x)在区间[ ? ? , 5π ]上的最小值为 3 ,求a的值.
3 6

【解析】(1)由f(x)=sin(2ωx+ ? )+ 3 +a.
3

2

得 2ω ? ? ? ? ? ? ω ? 1 .
6 3 2 2

(2)由(1)知,f(x)=sin(x+ ? )+ 3 +a.

2 3 又当x∈[? ? , 5π]时,x+ ? ∈[0, 7π ], 3 6 6 3 1 故- ≤sin(x+ ? )≤1,又f(x)在区间[? ? , 5π ]上的最小值 2 3 6 3 为 3,则 3 = ? 1 ? 3 ? a ,故a= 3 ? 1 . 2 2 2

【满分指导】应用公式解决三角函数的综合问题 【典例】(12分)(2012·广东高考)已知函数 f(x)=2cos(ω x+ ? )(其中ω >0,x∈R)的最小正周期为10π .
6

(1)求ω 的值.
(2)设α ,β ∈[0,
? 5 16 ],f(5α + π )=- 6 ,f(5β - 5 π )= , 2 3 17 5 6

求cos(α +β )的值.

【思路点拨】

【规范解答】(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π, ∴10π= 2π ,∴ω= 1 .
ω 5

???????????????2分
1 x+ ? ). 5 6

(2)由(1)知f(x)=2cos( 又∵f(5α+ 5 π)=- 6 ,
3

5 ? 6 ① ∴ 2cos[ 1 (5α ? 5? ) ? ? ] ? 2cos(α ? ) ? ? , 5 3 6 2 5 ∴sin α= 3 . 5

?????????????????????????4分

又∵f(5β- 5 π)= 16 ,
6

17 16 8 .② ∴ 2cos[ 1 (5β ? 5? ) ? ? ] ? 2cos β ? ,? cos β ? 5 6 6 17 17

?????????????????????????6分 又∵α,β∈[0, ],
5 17 ? 2


∴cos α= 4 ,sin β= 15 , ?????????????10分
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β = 4 ? 8 ? 3 ? 15 ? ? 13 . ???????????????12分
5 17 5 17 85

【失分警示】(下文①②③见规范解答过程)

1.(2012·江西高考)若tan θ + (A)
1 5

(B)

1 4

(C) 1

3

1 =4,则sin 2θ =( tan θ (D) 1 2

)

【解析】选D.∵tan θ+ 1

tan θ

=4,∴ sin θ ? cos θ =4,
cos θ sin θ

2 2 sin θ ? cos θ =4,即 2 =4,∴sin 2θ= 1 . ∴ sin 2θ 2 cos θsin θ

2.(2012·湖南高考)函数f(x)=sin x-cos(x+ ? )的值域为(
6

)

(A)[-2,2] (C)[-1,1]

(B)[ ? 3, 3] (D)[? 3 , 3 ]
2 2

【解析】选B.f(x)=sin x- 3 cos x+ 1 sin x
2
2

3 1 ? ,∵x∈R, 3( sin x ? cos x) ? 3sin(x ? ) 2 2 6 ∴x- ? ∈R,∴f(x)∈[ ? 3, 3],故选B. 6

=

3.(2012·山东高考)若θ ∈[ ? , ? ],sin
4 2

2θ = 3 7 ,
8

则sin θ =(
(A) 3
5

)
(C) 7
4

(B) 4
5

(D) 3
4

【解析】选D.由于θ∈[ ? , ? ],则2θ∈[ ? ,π],
4 2 2

所以cos 2θ<0,sin θ>0. 因为sin 2θ= 3 7 ,
8

所以cos 2θ= ? 1 ? sin 2 2θ ? ? 1 ? ( 3 7 ) 2 ? ? 1 .
8 8

又cos 2θ=1-2sin2θ,
1 1 ? (? ) 所以sin θ= 1 ? cos 2θ ? 8 ?3 . 2 2 4

4.(2013·东莞模拟)计算sin 44°cos 14°-cos 44°cos 76° 的结果等于( (A)
1 2

) (C) 2
2

(B) 3
3

(D) 3
2

【解析】选A.sin 44°cos 14°-cos 44°cos 76° =sin 44°cos 14°-cos 44°sin 14° =sin(44°-14°)
1 =sin 30°= . 2

5.(2012·江苏高考)设α 为锐角,若cos(α + ? )= 4 ,则 sin(2α + ? )的值为_____.
12 6 5

【解析】因为cos(α+ ? )= 4 ,且α为锐角,
? 所以α+ ? ∈(0, ),所以sin(α+ ? )= 3 , 6 2 6 5 6 5

所以sin(2α+ ? )=2sin(α+ ? )cos(α+ ? )=2〓 3〓 4 = 24 ,
3 6 6 5 5 25

cos(2α+ ? )=2cos2(α+ ? )-1= 7 ,
3 6 25 3

所以sin(2α+ ? )=sin[(2α+ ? )- ? ]
12

4 =sin(2α+ ? )cos ? -cos(2α+ ? )sin ? = 17 2 . 4 3 3 4 50

答案:17 2
50

1.已知函数f(x)= 3 sin 2x-cos2x- 1 ,x∈R,其最大值为M,最
2
2

小值为m,则M-m等于( (A)1 (B)2 (C)3

) (D)4
2
2

1 【解析】选B.由已知得f(x)= 3 sin 2x- cos 2x-1

=sin(2x-

? )-1. 6

∵x∈R,∴f(x)max=0,f(x)min=-2.
∴M-m=2.

2.已知a=(sin x,cos(π -x)),b=(2cos x,2cos x),函数

f(x)=a·b+1,则f(-

? )的值为_____. 4

【解析】因为f(x)=a·b+1 =2sin xcos x+cos(π -x)·2cos x+1 =2sin xcos x-2cos2x+1 =sin 2x-cos 2x = 2 sin(2x- ? ), 所以f(- ? )=-1.
4 4

答案:-1


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