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2015高一年级期中考试数学试卷(必修1)及答案


高一年级期中考试数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) . 1.已知全集 U A. {2,3}

? {1, 2,3, 4,5, 6}, A ? {1, 2,3} , B ? {2,3, 4} ,则
B. {1, 4,5, 6} C. {5, 6}

U

( A ? B)

D. {1, 2,3, 4}

2.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为减函数的是 A. y ? ? | x ? 1| B. y ? log 1 x
2
1 3 3

C. y ? 3

x

D. y ? x

1 2

2 3.下列命题:① ( x ? y ) ? x ? y; ② 3 ?5 ? 6

6

(?5) 2 ;③

log3 15 ? log3 (15 ? 6) ? 2 , log3 6

其中正确命题的个数是 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D .3 个

4.电信局为配合客户不同需要,设有 A、B 两种优惠方案,这两种方案应付话费(元)与 通话时间(分钟)之间的关系如图(MN∥CD) ,若通话时间为 500 分钟,则应选哪种方案 更优惠? A.方案 A 230 B.方案 B C.两种方案一样优惠 D.不能确定 168 98 60 300 x 通话时间 (分钟) y 应付话费(元) 方案 B 方案 A

5.函数 y ? 2 ? 2 的图像关于
x

?x

A. x 轴对称 6.下列各式错误 的是 .. A. lg11 ? log11 10 C. 0.8 ? 0.7
3 3

B. y 轴对称

C.原点对称

D.直线 y ? x 对称

B. log0.5 0.4 ? log0.5 0.6 D. 0.75
?0.1

? 0.750.1

7.若函数 f ( x) ? log3 x ? x ? 3 的一个附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:
f(2)= —0.3691 f(2.25)= —0.0119 f(2.3175)=0.0756 f(2.5)=0.3340 f(2.375)=0.1624 f(2.2815)=0.0319

那么方程 x ? 3 ? log3 x ? 0 的一个近似根(精确度为 0.1)为 A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4

8.设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? k ? 0} ,若 A ? B ? ? ,则 k 的取值范围是 A. (??, 2] B. (??, 2) C. [?1, ??) D. [?1, 2)

9.已知函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x) 是减函数,如果不等式f(1-m)<f(m)成立,求实数m的取值范围 A. [ ?1, )

1 2

B. [1,2]

C. [-1,0] D. ( ?1,

1 ) 2

10.设函数 f ( x) ? ?log ( ? x ), ( x ? 0) ,若 f (a) ? f (?a) ,则实数 a 的取值范围是 1

? log2 x, ( x ? 0) ? ? ?
2

A. (?1,0) ? (0,1) C. (??,?1) ? (0,1)

B. (??,1) ? (1,??) D. (?1,0) ? (1,??)

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11.满足条件{1,3}∪M={1,3,5}的一个可能的集合 M 是 (写出一个即可) 12.已知函数 y ? f ( x) 的图像与 g ( x) ? ln x 的图像关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ? ▲ 。 ▲
?





13.函数 y ? loga ( x ? 1) ? 2, (a ? 0, a ? 1) 的图象恒过一定点,这个定点是
?



14.溶液的酸碱度是通过PH刻画的。PH的计算公式为 PH ? ? lg[ H ] , [ H ] 表示溶 液中氢离子的浓度,单位是 mol/L。若溶液的氢离子的浓度为 5 值为( lg 2 ? 0.3 ) ▲ 。
?10

mol/L,则该溶液的PH

15.计算

a2 ? 4 b a b

?



(a ? 0, b ? 0, 结果用分数指数幂表示) 。

16.函数 y ? ( )

1 2

x 2 ?1

,其中 x ?[?2,1] 的值域为





17.若一系列函数的解析式和值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例 如函数 y ? x2 , x ?[1, 2] 与函数 y ? x2 , x ?[?2, ?1] 就是“同族函数”.下列有四个函数:①
x y ? 2 ;② y ? log2 x2 ;③ y ? x 2 ;④ y ?
1

1 ;可用来构造同族函数的有_ x



三、解答题(本大题共 4 小题,满分 42 分.解答应写出文字说明.演算步骤) 18. (本题满分 10 分) 已知全集 U ? R , A = {x ? 2 ? x ? 5} ,集合 B 是函数 y ?

1 x?2

? lg(3 ? x) 的定义域,

(1)求集合 B ; (2)求 A ? CU B 。

19. (本题满分 10 分) 某公司对营销人员有如下规定: ①年销售额 x 在 8 万元以下,没有奖金,②年销售额 x (万元) , x ? [8,71] ,奖金 y ,

y ? log2 ( x ? 7) ,③年销售额超过 71 万元,按年销售额 x 的 10%发奖金。
(1)写出奖金 y 关于 x 的函数解析式; (2)某营销人员争取年奖金 4 ? y ? 10 (万元) ,年销售额 x 在什么范围内?

20. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

1 . x

(1)用函数单调性的定义证明:函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上为增函数; (2)当 x ? (0,1] 时, t ? f (2 x ) ? 2 x ? 1 恒成立,求实数 t 的取值范围。

21. (本题满分 12 分)设 a 为实数, y ? a 1 ? t ? 1 ? t ? 1 ? t 。
2

(Ⅰ)设 x = 1 ? t ? 1 ? t ,把 y 表示为 x 的函数 y ? f ( x) ,并求函数 f ( x) 定义域; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最大值 g(a)。

一、选择题:每小题 3 分,共 30 分。
题 号 答 案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 C 6 D 7 C 8 B 9 A 10 D

二、填空题:每小题 4 分,共 28 分。
11.集合 {1,3,5} 中含有元素 5 的任何一个子集 12. f ( x) ? e x
3

13. (0,2)

14.7

15. a 2

16. [ , 2]

1 8

17.①②

19. (本题满分 10 分) 解: (1)由题知,

? 0 ? ? y ? ?log2 ( x ? 7) ? 1 ? 10 x ?

0? x?8 8 ? x ? 71 ………………………………5 分 x ? 71

(2)由 log2 ( x ? 7) ? 4 ,得 x ? 23 …………………………………………7 分 由

1 x ? 10得x ? 100 …………………………………………………………………9 分 10

故 23 ? x ? 100 …………………………………………………………10 分 20. (本题满分 10 分) (1) (2)∵ t (2 ?
x

1 t (2 x ? 1)(2 x ? 1) x ) ? 2 ? 1 ? ? 2x ?1 x x 2 2

? x ? (0,1],?1 ? 2 x ? 2 ………………8 分
∴t ?

2x 2x 1 g ( x ) ? ? 1? x 恒成立,设 ,显然 g ( x) 在 (0.1] 上为增函数, x x 2 ?1 2 ?1 2 ?1
2 3

g ( x) 的最大值为 g (1) ?
2 3

故 t 的取值范围是 [ ,?? ) ………………………………………………10 分 21. (Ⅰ) x ? 1 ? t ? 1 ? t 要使有 x 意义,必须 1+t≥0 且 1-t≥0,即-1≤t≤1,………………2 分

2 2 ∴ x ? 2 ? 2 1 ? t ? [ 2,4]

x ≥0
1 2 x ?1 2



x 的取值范围是 [ 2, 2]. 由①得 1 ? t 2 ?
∴ f ( x) ? a ( x ? 1) ? x ?
2

1 2 ax ? x ? a, x ? [ 2 ,2] ……5 分 2 1 1 2 (Ⅱ)直线 x ? ? 是抛物线 f ( x ) ? ax ? x ? a 的对称轴,分以下几种情况讨论。 a 2
(1)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x), x ? [ 2 ,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由x ??

1 2

1 ? 0 知 y ? f ( x), 在 [ 2, 2]. 上单调递增,∴g(a)= f (2) ? a ? 2 ……7 分 a

(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? x , x ? [ 2 ,2] ∴g(a)=2.……9 分 (3)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x), x ? [ 2 ,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, 若x ??

1 2 则 g (a) ? f ( 2 ) ? 2 , ? (0, 2 ] ,即 a ? ? a 2 1 1 1 2 1 ? a ? ? 则 g (a) ? f (? ) ? ?a ? ? ( 2 ,2] ,即 ? a a 2a 2 2 1 1 ? (2,??) ,即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? f (2) ? a ? 2 a 2

若x ?? 若x ??

? a ? 2, ? 1 2 1 ? , ? ? a ? ? , …………12 分 综上有 g ( a ) ? ? ? a ? 2a 2 2 ? ? 2 ? 2, a?? 2

a??

1 2


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