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古典概型和几何概型习题课


概率与统计习题课

例1: (2009? 深圳一模)先后随机投掷2枚正方体骰子,其 中x表示第1枚骰子出现的点数,y表示第2枚骰子出现 的点数.

?1? 求点P( x,y)在直线y ? x ? 1上的概率; ? 2 ? 求点P( x,y)满足y 2 ? 4x的概率.
切入点:列出基本事件的总数和事件A和B的基本 事件数.

/>解析:用有序实数对( x,y )表示先后抛掷2次的结果, 则所有可能的结果如下表所示:

1 1 2 3 4 5 6 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

试验的所有可能结果数为36,并且这36种结果出现的 可能性是相同的,试验属于古典概型.

?1? 记"点P( x,y)在直线y ? x ? 1上"为事件A,A包含5个 基本事件: ?, 2 ?,4,3?, 4 ?, ?, ? 2,1 ? 3, ? ? 5, ? 6,5
所以P ? A ? ? 5 . 36

? 2 ? 记"点P( x,y)满足y 2 ? 4 x "为事件B,则事件B有17个
基本事件: 当x ? 1时,y ? 1;当x ? 2时,y ? 1, 2;当x ? 3时,y ? 1, 2,3;当x ? 4时,y ? 1, 2,3;当x ? 5时,y ? 1, 2,3, 4; 当x ? 6时,y ? 1, 2,3, 4. 17 所以P ? B ? ? . 36

1.列举是处理古典概型的基本方法. 2.列举时,要注意分清“有序”还是“无序”, 按一定次序进行列举,防止重复和遗漏.采用列表、 “树图”等直观手段是防止重复与遗漏的有效方法. 3.具体事件的给出常常和其他数学知识相联系, 要注意联系相关知识找到相应事件的基本事件数.

变式1: (2010? 广州一模)已知直线l1:x ? 2y ? 1 ? 0,直线 l2:ax ? by ? 1 ? 0,其中a,b ? ?1, 2,3, 4,5,6?.

?1? 求直线l1 ? l2 ? ?的概率; ? 2 ? 求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率.
1 a 解析: ? 直线l1的斜率k1 ? ,直线l2的斜率k2 ? .设事 ?1 2 b 件A为“直线l1 ? l2 ? ?”. ? ?? ? 2, 2 ?, ? 2,6 ?, ,6,5?,6,6 ?,共36种. ?

a,b ? ?1, 2, 3, 4,5,6?的总事件为?1,1?, 2 ?, , ?, ?, ?1, ? ?1,6 ? 2,1

若l1 ? l2 ? ?,则l1 / / l2,即k1 ? k2,即b ? 2a. 所以P ? A ? ? 3 1 ? . 36 12

满足条件的实数对(a,b)有 ?1, 2 ?,2, 4 ?, 6 ?,共3种情形. ? ? 3,

1 . 12 ? 2 ? 设事件B为"直线l1与l2的交点位于第一象限". 答: “直线l1 ? l2 ? ?”的概率为 由于直线l1与l2有交点,则b ? 2a. b?2 ? ? x ? b ? 2a ?ax ? by ? 1 ? 0 ? 联立方程组 ? ,解得 ? . ?x ? 2 y ?1 ? 0 ? y ? a ?1 ? b ? 2a ?

因为直线l1与l2的交点位于第一象限, b?2 ? ? x ? b ? 2a ? 0 x?0 ? ? 则? ,即 ? ,解得b ? 2a. ?y ? 0 ? y ? a ?1 ? 0 ? b ? 2a ? a,b ? ?1, 2,3, 4,5, 6?的总事件为 ?1,1?, 2 ?, , 6 ?,2,1?, ?1, ? ?1, ? ?? ?? ? 2, 2 ?, ,2, 6 ?, ,6,5?,6, 6 ?,共36种. ? 满足条件的实数对(a,b)有 ?1,3?, 4 ?, ?, 6 ?,2,5 ?, ?1, ?1,5 ?1, ? ? 2, 6 ?,共6种, 6 1 所以P ? B ? ? ? . 36 6 1 答:"直线l1与l2的交点位于第一象限"的概率为 . 6

1 3 例2:已知函数f ? x ? ? x ? ? a ? 1? x 2 ? b 2 x,其中a, 3 b为实常数.

?1? 求函数f ? x ? 为奇函数的充要条件; ? 2 ? 若任取a ? ?0, 4?,b ? ?0,3?,求函数f ? x ? 在R上是
增函数的概率.

切入点:求出函数f ? x ? 在R上是增函数的条件, 建立坐标系aOb,利用几何概型知识处理.

解析: ? 若f ? x ? 为奇函数, ?1 则对任意x ? R,f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0恒成立, 1 3 1 3 2 2 即 x ? ? a ? 1? x ? b x ? x ? ? a ? 1? x 2 ? b 2 x ? 0, 3 3 即2 ? a ? 1? x 2 ? 0恒成立,所以a ? 1. 1 3 当a ? 1时,f ? x ? ? x ? b 2 x, 3 1 3 则 f ? ? x ? ? ? x ? b 2 x ? ? f ? x ?, 3 所以f ? x ? 为奇函数. 故f ? x ? 为奇函数的充要条件是 " a ? 1".

? 2 ? f ? ? x ? ? x 2 ? 2 ? a ? 1? x ? b 2 . 若f ? x ? 在R上是增函数, 则对任意x ? R,f ? ? x ? ? 0恒成立. 2 所以? ? 4 ? a ? 1? ? 4b 2 ? 0,即 a ? 1 ? b . 设 " f ? x ? 在R上是增函数 "为事件A,则事件A对应的区
域为{(a,b) | a ? 1 ? b }. 全部试验结果构成的区域 w ? {(a,b) | 0 ? a ? 4,0 ? b ? 3},如图.

所以P ? A ? ?

S阴影 S?

1 1 3 ? 4 ? ? 1? 1 ? ? 3 ? 3 7 2 2 ? ? . 3? 4 12

7 故函数f ? x ? 在R上是增函数的概率为 . 12

1.几何概型常常和二元一次不等式所表示的平面 区域交汇综合. 2.本题求解的关键在于确定事件A构成的平面区 域.

变式2:已知函数f ? x ? ? x 2 ? bx ? c,其中0 ? b ? 4, ? f ? 2? ? 12 0 ? c ? 4.记满足条件 ? 的事件为A,求事件 ? f ??1? ? 3 A发生的概率.
? f ? 2? ? 12 ?2b ? c ? 8 解析:由 ? ,可得 ? . ? f ??1? ? 3 ?b ? c ? ?2 如图所示建立平面直角坐标系. 设区域? ? {(b,c)}| 0 ? b ? 4, 0 ? c ? 4 | ,

? 2b ? c ? 8 ?b ? c ? ?2 ? 则事件A构成的区域为E ? {(b,c ) | ? } . ?0 ? b ? 4 ?0 ? c ? 4 ? 由图可知,区域?的面积S ? ? 16. 事件A构成的区域的面积 1 1 S E ? 16 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 4 ? 10. 2 2 由几何概型的计算公式得P ? A ? ? 5 故事件A发生的概率为 . 8 SE 10 5 ? ? S ? 16 8

例3: (2009? 珠海一模)已知函数f ? x ? ? ax 2 ? 2bx ? a (a, b ? R ).

?1? 若a是从集合?0,1, 2,3?中任取的一个元素,b是从 集合 ?0,1, 2,3?中任取的一个元素,求方程f ? x ? ? 0
恰有两个不等实根的概率;

? 2 ? 若a是从区间? 0, 2?中任取的一个数,b是从区间 ? 0,3?中任取的一个数,求方程f ? x ? ? 0没有实根的
概率.

切入点: ? 转化为古典概型; ? 转化为几何概型. ?1 ?2

解析:(1)a取自集合?0,1, 2,3?中的任意一个元素,b取 自集合?0,1, 2,3?中的任意一个元素,则a,b的取值情况 是:

? 0,0 ?? 0,1?,0, 2 ?,0,3?, ??1,1?, 2 ?, ?,2,0 ?? 2,1?, ? ? ?1,0 ?1, ?1,3 ? ? 2, 2 ?,2,3?,3,0 ?? 3,1?,3, 2 ?,3,3?. ? ? ? ?
其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,即 基本事件总数为16. 设"方程f ? x ? ? 0恰有两个不相等的实根"为事件A,当a ? 0,b ? 0时,方程f ? x ? ? 0恰有两个不相等的实根的充要

?a ? 0 条件是 ? ? b ? a,且a ? 0.此时a,b的取值情况有 ?? ? 0 ?1, 2 ?, ?,2,3?,即事件A包含的基本事件数为3. ?1,3 ? 所以方程f ? x ? ? 0恰有两个不相等的实数根的概率为 3 P ? A? ? . 16 ? 2 ?因为a是从区间?0, 2?中任取的一个数,b是从区间

? 0,3?中任取的一个数,则试验的全部结果构成区域
{(a,b) | 0 ? a ? 2, ? b ? 3},这是一个矩形区域,其 0 面积S? ? 2 ? 3 ? 6.

设"方程f ? x ? ? 0没有实根"为事件B,则事件B所构成 的区域为{(a,b) | 0 ? a ? 2,0 ? b ? 3,a ? b},其面积 1 S M ? ? 2 ? 2 ? 2. 2 由几何概型的概率计算公式可得方程f ? x ? ? 0没有实 SM 1 数根的概率为P ? B ? ? ? . S? 3

1.重视化归思想的运用.从集合 ?0,1, 2,3?中取数a, b相当于一个4面的“骰子”抛两次.一般来说,取数、 摸球、投信、掷硬币等问题,均可化归为抛骰子问 题. 2.事件的给出常常和其他知识相联系,要注意相 关知识的运用.本题中f ? x ? ? 0恰有两个不等实根 ?a ? 0 ?? .列举时,容易忽视a ? 0这一条件. ?? ? 0

变式3:已知向量a ? (1, 2),b ? ( x,y ). ?

?1? 若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体
骰子(六个面的点数分别为1, 2,3, 4,5,6)先后抛 掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满 足a ? ? ?1的概率; b

? 2 ? 若x,y ? ?1,6?,求满足a?b ? 0的概率.

解析: ? 设( x,y )表示一个基本事件,则抛掷两次骰 ?1 子的所有基本事件有 ?1,1?, 2 ?, ?, 4 ?, ?, 6 ?, ?1, ?1,3 ?1, ?1,5 ?1, ?? ? 2,1?,2, 2 ?, ,6,5 ?,6, 6 ?,共36个. ? ? 用A表示事件“a ? b ? ?1”,即x ? 2y ? ?1. 则A包含的基本事件有 ?1,1?,3, 2 ?,5,3?,共3个. ? ? 3 1 所以P ? A ? ? ? . 36 12 1 答:事件“a ? b ? ?1”的概率为 . 12

? 2 ? 用B表示事件“a ? b ? 0”,即x ? 2y ? 0.
试验的全部结果所构成的区域为{( x,y ) |1 ? x ? 6,1 ? y ? 6},构成事件B的区域为{( x,y ) |1 ? x ? 6,1 ? y ? 6, x ? 2y ? 0},如图所示. 1 ? 4? 2 所以所求的概率为P ? B ? ? 2 5? 5 4 ? . 25 4 答:事件“a ? ? 0”的概率为 . b 25

1.对简单的概率问题要能迅速判断出是哪种类型 的概率问题,再套用公式解决. 2.对古典概型,要会用枚举法,借助表格、树形 图等写出所有的基本事件和所求事件包含的基本事件. 求古典概型的一般方法和步骤如下:

?1? 判断试验是否为等可能性事件,并用字母表示
所求事件.

? 2 ? 计算基本事件的个数n及事件A中包含的基本事
件的个数m. m ? 3? 计算事件A的概率P ? A? ? . n

3.对几何概型,要根据题意判断是直线型、面 积型、体积型还是角度型.判断的关键是看它是否是 等可能的,也就是点是否是均匀分布的.求解的关键 是构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何 度量来求随机事件的概率. 4.要注意古典概型、几何概型与其他知识的联 系,根据问题特点,联想相关知识,找到所求事件满 足的条件.

1.(2010? 佛山二模)我国西南今春大旱,某基金会计划 给予援助,家矿泉水企业参与了竞标.其中A企业来 6 自浙江省,B、C两家企业来自福建省,D、E、F 三家 企业来自广东省.此项援助计划从两家企业购水, 假设每家企业中标的概率相同.则在中标的企业中, 至少有一家来自广东省的概率是 ? 4 A. 5 1 C. 2 3 B. 5 1 D. 5

A

?

2.(2010? 广州一模)在棱长为2的正方体ABCD ? A1B1C1D1 中,点O为底面ABCD的中心.在正方体ABCD ? A1B1C1 D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为

? ?

A. 12 C. 6

?

B.? 1 D.? 1

?
12

?

?

6

解析:到点O的距离大于1的点P是以点O为球心、 1为 半径的半球外部的点.利用几何概型知识可得答案 为选项B.

3.在广东省高考数学文科卷中,考生从14、 两道题中 15 任选一题作答.有甲、乙、丙、丁四个考生,他们选 14、 题的可能性是相等的,那么四人中甲、乙两个考 15 生都选14题作答的概率是 ( ) .

1 答案: . 4

4.将长为1的木棒任意地拆成三段,则三段能构成三 角形的概率为().

解析:设三段的长分别为x、y、? x ? y. 1 1 由构成三角形的条件结合几何概型知识可得答案为 . 4

  10? 5.(20 江门一模)已知函数f ? x ? ? ax ? b,x ? ? ?1,1?, a、b ? R,是常数. ? ?1? 若a是从 ? 2, 1,0,1, 2五个数中任取的一个数,b 是从0,1, 2三个数中任取的一个数,求函数y ? f ? x ? 为奇函数的概率.

? 2 ? 若a是从区间? ?2, 2?中任取的一个数,b是从区间 ? 0, 2?中任取的一个数,求函数y ? f ? x ? 有零点的概率.

解析: ?函数f ? x ? ? ax ? b,x ? ? ?1,1? 为奇函数,当且 ?1 仅当?x ? ? ?1,1?,f ? ? x ? ? ? f ? x ?,即b ? 0. 基本事件共15个: 2,0 ?,?2,1?,?2, 2 ?,?1,0 ?,?1,1?, ?? ? ? ? ?

? ?1, 2 ?,0,0 ?,0,1?,0, 2 ?, ?, ?, 2 ?,2,0 ?,2,1?,2, 2 ?, ? ? ? ?1,0 ?1,1 ?1, ? ? ?
其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值. 事件A即"函数f ? x ? ? ax ? b,x ? ? ?1,1? 为奇函数 "包含 的基本事件有5个: 2,0 ?,?1,0 ?, , 0 ?, ?,2,0 ?, ?? ? ? 0 ?1,0 ? 5 1 故事件A发生的概率为P ? A ? ? ? . 15 3

? 2 ? 试验的全部结果所构成的区域?为{(a,b) | ?2 ? a ? 2,
0 ? b ? 2}, 则区域?的面积为4 ? 2 ? 8. 设事件B为"函数f ? x ? ? ax ? b( x ? ?1,1)有零点,且 a ? ? ?2, 2?,b ? ? 0, 2?".

构成事件B的区域为 {(a,b) | a ? b ? 0} ? {(a,b) | ?2 ? a ? 2,0 ? b ? 2, a ? 0且 ? a ? b ?? b ? a ? ? 0},即{(a,b) | a ? b ? 0} ? {(a,b) | ?2 ? a ? 2,0 ? b ? 2,a ? 0且 ? 1 ? 如图阴影部分. 1 则阴影部分的面积为 ? 4 ? 2 ? 4. 2 S阴影 4 1 故事件B发生的概率为P ? B ? ? ? ? . S? 8 2 b ? 1}, a

本节完,谢谢!


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