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天津市2013届最新高三数学精选分类汇编7 立体几何 文


最新 2013 届天津高三数学文科试题精选分类汇编 7:立体几何
姓名____________班级___________学号____________分数______________ 一、选择题 1 . (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文科数学)如图,是一个几何体的正视图、侧视图、俯 视图,则该几何体的体积是 A.24 B.12 C .8 D.4 ( )



2 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学文试题)在正三棱锥 P ? ABC 中, D, E 分别是

AB, AC 的中点,有下列三个论断:
① AC ? PB ;② AC //平面 PDE ;③ AB ? 平面 PDE ,其中正确论断的个数为 ( ) A.3 个 B.2 个 C .1 个 D.0 个 3 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学文试题)设 m, n 是两条不同的直线, ?、?、? 是 三个不同的平面.给出下列四个命题: ①若 m ⊥ ? , n // ? ,则 m ? n ; ③若 m // ? , n // ? ,则 m // n ; ②若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; ④若 ? // ? , ? // ? , m ? ? ,则 m ? ? .

其中正确命题的序号是 ( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 4 . (天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查文科数学)已知正四棱柱 ABCD—A1B1ClD1 中,AA1=2AB,E 是 AA1 的中点,则异面直线 D1C 与 BE 所成角的余弦值为 ( ) A.

1 5

B.

3 10 10

C.

10 10

D.

3 5

二、填空题 5 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学文试题) 已知某几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积为___________.

1

6 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学文试题)如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60°,

线段 AB ? ? . B ? l ,

AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是_________.
7 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学文试题)若某空间几何体的三视图如下图所示, 则该几何体的体积是______.

8 . (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(文)试题)某几何体的三视图如图所 示,则该几何体的体积为.
2 2 2 1.5 3

1.5
正视图 侧视图

2
2 2 俯视图

9 . (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学文试题)若某几何的三视图(单位: cm )如下图所示,此几何 体的体积是_____________ cm 3 .
2

2

2

2 2 2

正视图 4 俯视图

侧视图

10. (天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学(文)试题(解析版))一个五面体的三视图 如下,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,部分边长如图所示,则此五面体的体积为

________. 11. (天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查文科数学)已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标 3 出的尺寸(单位 cm),可得这个几何体的体积是 cm .

12. (天津市渤海石油第一中学 2013 届高三模拟数学(文)试题(2) )如图是一个几何体的三视图,则该 几何体的体积为

13. (2013 年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一))一个几何体的三视图如右图所示(单位:cm), 则这个几何体的体积为 立方厘米.

3

三、解答题 14. (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考文科数学试题) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为正方 形,PD ? 底面 ABCD,且 AB=PD=1. (1)求证:AC ? PB; (2)求异面直线 PC 与 AB 所成的角; (3)求直线 PB 和平面 PAD 所成角的正切值.

15. (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文科数学)如图, ?PAD 为等边三角形, ABCD 为矩 形,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ? 2 , E 、 F 、 G 分别为 PA 、 BC 、 PD 中点, AD ? 2 2 .

(1)求 PB 与平面 ABCD 所成角; (2)求证: AG ? EF ;
4

(3)求多面体 P ? AGF 的体积.

16 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学文试题)如图 ,在四棱锥 P ? ABCD 中 , 底面

ABCD 是正方形,侧面 PAD 是正三角形,
且平面 PAD ⊥底面 ABCD (1)求证: AB ⊥平面 PAD (2)求直线 PC 与底面 ABCD 所成角的余弦值; (3)设 AB ? 1 ,求点 D 到平面 PBC 的距离.

17. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学文试题)如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、

BC 的中点, CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(Ⅰ)求证: AO ? 平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离.
A

D O B E C

18 . ( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 数 学 文 试 题 ) 在直三棱柱 ABC ? A 1 B 1 C 1

E 分别是棱 BC , F 为 B1C1 的中点.求 CC1 上的点(点 D 不同于点 C ),且 AD ? DE , 中, A1 B1 ? A1C1 , D ,
证:(1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

5

19. (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(文)试题)已知在四棱锥 P ? ABCD 中, AD / / BC , AD ? CD , PA ? PD ? AD ? 2 BC ? 2CD , E , F 分别是 AD, PC 的中点. (Ⅰ)求证 AD ? 平面PBE ; (Ⅱ)求证 PA / /平面BEF ; (Ⅲ)若 PB ? AD ,求二面角 F ? BE ? C 的大小.

20. (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学文试题)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角 梯 形 , AD // BC , ?ADC ? 90 , 平 面 PAD ? 底 面 ABCD , E 为 AD 的 中 点 , M 是 棱 PC 的 中

1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2 (Ⅰ)求证: PE ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值; (Ⅲ)求直线 BM 与 CD 所成角的余弦值.
点, PA ? PD ? 2 , BC ? P

M D E A B
6

C

21 . (天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学(文)试题 ( 解析版) )在如图的多面体 中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD // EF // BC ,

BC ? 2 AD ? 4 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点.
(Ⅰ)求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BCFE 所成角的正切值; (Ⅲ)求证: BD ? EG .
B E
F

A

D

G

C

22. (天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查文科数学) 如图, 在直三棱柱 ABC—A1BlC1 中, AC=BC= 2 , ∠ACB=90 .AA1=2,D 为 AB 的中点. (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC1//平面 B1CD: (III)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值
o

23. (天津市渤海石油第一中学 2013 届高三模拟数学(文)试题(2) )如图,在底面为直角梯形的四棱锥
P ? ABCD 中, AD ∥ BC,?ABC ? 90° , PA ? 平面 ABCD . PA ? 3 ,AD ? 2,AB ? 2 3,BC ? 6 .

(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求二面角 P ? BD ? A 的大小 P

A E B

D C

24. (2013 年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一))如图,四边形 ABCD 是矩形,AD=2,DC=1,AB ⊥平面 BCE,BE⊥EC,EC=1.点 F 为线段 BE 的中点. ( I )求证:CE⊥平面 ABE;
7

(Ⅱ)求证:DE∥平面 A CF;

(Ⅲ)求 AC 和平面 ABE 所成角的正弦值。

8

最新 2013 届天津高三数学文科试题精选分类汇编 7:立体几何参考答案 一、选择题 1. 【答案】B 【解析】 由三视图可知,该几何体是有两个相同的直三棱柱构成,三棱柱的高为 4,三棱柱的底面三角形 为直角三角形 , 两直角边分别为 2,

3 1 3 3 , 所以三角形的底面积为 ? 2 ? ? , 所以三棱柱的体积为 2 2 2 2

3 ? 4 ? 6 ,所以该几何体的体积为 2 ? 6 ? 12 ,选 B. 2

2.

【答案】C

解 : 过 P 做 PO ? ABC 于 O , 则 PO ? AC , 又正三角形中 BE ? AC , 所以 AC ? PBE , AC ? PB 所以①正确,②错误.因为 AB 与 AC 相交,所以③不正确,所以正确的论断有 1 个,选 C. 3. 【答案】D 解:根据线面垂直的性质可知①正确.②中两个平面 ?,? 不一定平行,所以错误.③平行于同一个平面 的直线可能会相交或异面,所以错误.④正确. 4. B 二、填空题 5. 【答案】 3?

解: 一个

由三视图我们可知原几何体是一个圆柱体的一部分 ,并且有正视图知是

1 的圆柱体,底面圆的半径为 1,圆柱体的高为 6,则知所求几何体体积为原体积的一半为 3? . 2

6.

【答案】

3 4

解:过 A 做 AO ? ? , AC ? BC 连结 OB, OC ,则 ?ACO 为二面角的平面角,即 ?ACO ? 60 , AB 与 平 面 ? 所 成 的 角 为 ?ABO , 因 为 ?ABC = 3 0 , 设 AC ? 1 , 则 AB ? 2,AO ?

3 ,所以 2
9

3 AO 3 sin ?ABO ? ? 2 ? . AB 2 4
7. 【答案】2 解 : 由 三 视 图 可 知 该 几 何 体 是 底 面 为 直 接 梯 形 的 四 棱 锥 . 四 棱 锥 的 高 是 2, 底 面 梯 形 的 面 积 为

(1 ? 2) ? 2 1 ? 3 ,所以四棱锥的体积为 ? 3 ? 2 ? 2 . 2 3
8. 108 ? 3? ; 9. 48 10. 【答案】 2 由三视图可知,该几何体时底面是直角梯形侧棱垂直底面的一个四棱锥 .四棱锥的高为 2,底面梯形的 上底是 1, 下底为 2, 梯形的高是 2, 所以梯形的面积为

1 (1 ? 2) ? 2 ? 3 , 所以该几何体的体积为 2

1 ? 3? 2 ? 2 . 3
11. 12 12.

7? 3

13. 32 三、解答题

14. 15.解:(1)取 AD 中点 M ,连 PM 、 FM ∵平面 PAD ? 平面 ABCD ,交线为 AD ∵正 ?PAD ∵ PM ? AD ? PM ? 平面 ABCD ? ?PBM 即为所求.

PM ?

3 ?2 2 ? 6 2

MB ? 6

? ?PBM ? 45 ? (2)∵正 ?PAD ∵ G 是 PD 中点 ? GA ? PD ? EM // PD ? AG ? ME ∵平面 PAD ? 平面 ABCD ,交线为 AD ? MF ? AD ? MF ? 平面 PAD ? AG ? 平面 PAD ? MF ? AG ? EM ? MF ? M ? AG ? 平面 EMF ? AG ? EF

10

(3) VP ? AGF ? VF ? AGP ?

1 1 1 2 3 MF ? S ?AGP ? ? 2 ? 2? 6 ? 3 3 2 3

AG ? 6 AC ? 2 3
? AG ? AC

GC ? 6

AC // EF
底面 ABCD, 底面 ABCD∩平面

16. (1)∵底面 ABCD 是正方形 ,∴AB⊥AD, ∵平面 PAD⊥底面 ABCD,AB PAD=AD,∴AB⊥平面 PAD. (2)取 AD 的中点 F,连结 AF,CF ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PF⊥AD, ∴PF⊥平面 BCD ∴CF 是 PC 在平面 ABCD 上的射影, ∴∠PCF 是直线 PC 与底面 ABCD 所成的角

cos ?PCF ?

10 4

(3)设点 D 到平面 PBC 的距离为 h,

?VD ? PBC ? VP ? BCD' ? S ?PBC ? h ? S ?BCD ? PF
在△PBC 中,易知 PB=PC= 2

? S ?PBC ?

7 4 1 3 , PF ? , 2 2

又 S ?BCD ?

1 3 ? 21 ?h ? 2 2 ? 7 7 4
即点 D 到平面 PBC 的距离为 17. (I)证明:连结 OC

21 7

BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,
M O B D C A

11

E

? AO2 ? CO2 ? AC 2 ,

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.
BD OC ? O,
? AO ? 平面 BCD
(II)解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC

? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角
在 ?OME 中,

EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2
1 AC ? 1, 2

OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线,? OM ?

? cos ?OEM ?

2 , 4

(III)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .

VE ? ACD ? VA?CDE , 1 1 ? h.S?ACD ? . AO.S?CDE . 3 3
在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2,

1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? . 2 2 2
AO.S ?CDE ? S ?ACD 1? 3 2 ? 21 . 7 7 2

而 AO ? 1, S?CDE ?

1 3 2 3 ? ?2 ? , 2 4 2

?h ?

? 点 E 到平面 ACD 的距离为

21 . 7

18.解:∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC , 又∵ AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD ,

CC1,DE ? 平面 BCC , CC 又∵ AD ? DE , 1 B 1 1

DE ? E ,∴ AD ? 平面 BCC1 B1 , 又∵ AD ? 平面

ADE,∴平面 ADE ? (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1 F ? B1C1 ,
又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1 F ,

B1C1 ? 平面 BCC1 B1 , CC1 又∵ CC1,

B1C1 ? C1 ,∴ A1F ? 平面 A1 B1C1 ,

由(1)知, AD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ A1 F ∥ AD ,
12

又∵ AD ? 平面 ADE, A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE . 19. (Ⅰ) 证明:由已知得 ED / / BC,ED ? BC , 故 BCDE 是平行四边形,所以 BE / / CD,BE ? CD , 因为 AD ? CD ,所以 BE ? AD , 由 PA=PD 及 E 是 AD 的中点,得 PE ? AD , 又因为 BE

PE ? E ,所以 AD ? 平面PBE

(Ⅱ) 证明:连接 AC 交 EB 于 G ,再连接 FG , 由 E 是 AD 的中点及 BE / / CD ,知 G 是 BF 的中点, 又 F 是 PC 的中点,故 FG / / PA , 又因为 FG ? 平面BEF , PA ? 平面BEF , 所以 PA//平面BEF (Ⅲ)解:设 PA=PD=AD=2BC=2CD ? 2 a , 则 PF ? 3a ,又 PB ? AD ? 2a , EB ? CD ? a ,
2 2 2 故 PB ? PE ? BE 即 PE ? BE ,

又因为 BE ? AD , AD

PE ? E ,

所以 BE ? 平面PAD ,得 BE ? PA ,故 BE ? FG , 取 CD 中点 H ,连接 FH , GH ,可知 GH / / AD ,因此 GH ? BE , 综上可知 ?FGH 为二面角 F-BE-C 的平面角 可知 FG =

1 1 1 PA ? a, FH ? PD ? a, GH ? AD ? a , 2 2 2

故 ?FGH =60 ,所以二面角 F-BE-C 等于 60 20. (1)∵ PA ? PD , E 为 AD 的中点,? PE ? AD 又∵平面 PAD ? 平面 ABCD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , PE ? 平面 PAD ? PE ? 平面 ABCD (2)连接 EC ,取 EC 中点 H ,连接 MH , HB ∵ M 是 PC 的中点, H 是 EC 的中点,? MH ∥ PE 由(1)知 PE ? 平面 ABCD ,? MH ? 平面 ABCD ? HB 是 BM 在平面 ABCD 内的射影 ? ?MBH 即为 BM 与平面 ABCD 所成角

H

1 AD , E 为 AD 的中点, ?ADC ? 90 0 2 1 ? 四边形 BCDE 为矩形,? EC ? 2, HB ? EC ? 1 , 2
∵ AD ∥ BC , BC ? 又∵ MH ?

1 3 MH 3 PE ? , ? ?MHB 中, tan ?MBH ? ? 2 2 HB 2
13

? 直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值为
(3) 由(2)知 CD ∥ BE

3 2

? 直线 BM 与 CD 所成角即为直线 BM 与 BE 所成角

连接 ME , Rt?MHE 中, ME ?

7 , 2

Rt?MHB 中, BM ?

7 , 2

又 BE ? CD ?

3

BM 2 ? BE 2 ? ME 2 ? ? ?MEB 中, cos ?MBE ? 2 BM ? BE

7 7 ?3? 4 4 ? 21 7 7 2? ? 3 2

? 直线 BM 与 CD 所成角的余弦值为

21 7

21.在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD // EF , EF // BC , BC ? 2 AD ? 4 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点. A (Ⅰ)求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BCFE 所成的角的正切值. (Ⅲ)求证: BD ? EG . 【D】17.解:(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG (Ⅱ)证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , 又 AE ? EB, EB
A

D

E

F

B

G

C

D

E

H

F

B

G

C

EF ? E , EB, EF ? 平面 BCFE ,

∴ AE ? 平面 BCFE 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,连接 BH ,则 DH ? 平面 BCFE ,

? BH 是 BD 在平面 BCFE 内的射影, 故 ?DBH 直线 BD 与平面 BCFE 所成的角
∵ AD / / EF , DH / / AE ,∴四边形 AEHD 平行四边形,∴ DH ? AE ? 2 , 在 Rt ?BEH 中, BH ?

BE 2 ? EH 2 ? 2 2 ,
DH 2 ? BH 2
14

在 Rt ?DBH 中, tan ?DBH ?

所以,直线 BD 与平面 BCFE 所成的角的正切值是

2 2

(Ⅲ) 解法 1 ∵ DH ? 平面 BCFE , EG ? 平面 BCFE , ∴ DH ? EG

EH / / BG, EH ? BG, EH ? BE ,
∴四边形 BGHE 为正方形,∴ BH ? EG , 又 BH

DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD ,

∴ EG ⊥平面 BHD ∵ BD ? 平面 BHD , ∴ BD ? EG 解法 2 ∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , BE ? 平面 AEB ,∴ EF ? AE , EF ? BE , 又 AE ? EB ,∴ EB, EF , EA 两两垂直. 以点 E 为坐标原点, EB, EF , EA 分别为
A

z

D

x, y, z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得 B (2,0,0), C (2,4,0), D (0,2,2), G (2,2,0).
∴ EG ? (2,2,0) , BD ? (?2,2,2) . ∴ BD ? EG ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 .∴ BD ? EG 22.

E

F

y

x

B

G

C

15

23.解: (Ⅰ)

PA ⊥ 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD . ? BD ⊥ PA . ……………………………………………………………………2 分

? tan ABD ?

BC AD 3 ? 3, , tan BAC ? ? AB AB 3
A

P

?∠ABD ? 30 , ∠BAC ? 60 。 ?∠AEB ? 90 ,即 BD ⊥ AC .

D E

AC ? A ,? BD ⊥ 平面 PAC . (Ⅱ)连接 PE . BD ⊥ 平面 PAC ,? BD ⊥ PE , BD ⊥ AE . ?∠ AEP 为二面角 P ? BD ? A 的平面角. ……………………………………8 分

? PA

C B ………………………………………6 分

在 Rt△ AEB 中, AE ? AB sin ABD ? 3 .

…………………………………10 分

? tan AEP ?

AP ? 3 ,?∠AEP ? 60 . AE
…………………………………………12 分

? 二面角 P ? BD ? A 的大小为 60 .

24.
16

17


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