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重庆市江津二中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


重庆市江津二中 2014-2015 学年高一上学期期中数学试卷
一、选择题: (本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,每个小题给出的四个选项中,只有 唯一个选项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填涂在机读卡上. ) 1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为 () A.{1,2,4

} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}

2. (5 分)函数 A.[1,+∞)

的定义域为() B.(1,+∞) C.[1,3) D.[1,3)∪(3,+∞)

3. (5 分)下列各对函数中,图象完全相同的是() A. C. B. D.

4. (5 分)已知某函数的图象如图所示,则该函数的值域为()

A.(0,+∞) (0,+∞)

B.(﹣∞,﹣1]

C.[﹣1,0)∪(0,+∞) D. (﹣∞, ﹣1]∪

5. (5 分)函数 y=1+log A.(1,1)

(x﹣1)的图象一定经过点() C.(2,1)
0.9

B.(1,0)

D.(2,0)

6. (5 分)已知:a=log0.70.9,b=log1.10.7c=1.1 ,则 a,b,c 的大小关系为() A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 7. (5 分)函数 A.1 个 B. 2 个 的零点个数为() C. 3 个 D.4 个

8. (5 分)已知函数 f(x)=m+log2x 的定义域是[1,2],且 f(x)≤4,则实数 m 的取值范围 是() A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞,2] C.[2,+∞) D.(2,+∞) 9. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,对于任意 x∈R,当 x≥0 都有 f(x+2)=f (x) ,且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1) ,则 f(﹣2013)+f 的值为() A.2 B. 1 C . ﹣1 D.﹣2

2

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,满足对任意的 x1≠x2 都有

<0 成立,则 a 的取值范围是() A.(0, ]

B.(0,1)

C.[ ,1)

D.(0,3)

二、填空题: (本题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卡上. ) 11. (5 分)若幂函数 f(x)的图象过点 ,则 =.

12. (5 分)函数 y=|x﹣a|的图象关于直线 x=1 对称,则 a=. 13. (5 分)若 f(x)=loga(2﹣ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是. 14. (5 分)设 α,β 分别是关于 x 的方程 log2x+x﹣4=0 和 2 +x﹣4=0 的根,则 α+β=. 15. (5 分)已知下列四个命题; ①函数 是奇函数;
x

②函数 f(x)=log2x 满足:对于任意 x1,x2∈R,且 x1≠x2,都有 ; ③若函数 f(x)满足 f(x﹣1)=﹣f(x+1) ,f(1)=2,则 f(7)=﹣2; ④设 x1,x2 是关于 x 的方程|logax|=k(a>0,a≠1,k>0)的两根,则 x1x2=1; 其中正确的命题的序号是.

三、解答题: (本题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算 步骤. ) 16. (12 分)计算下列各式.

(1) (2) .

17. (12 分)已知集合 A={x|0<2x+a≤3},B= (1)当 a=1 时,求(?RB)∪A. (2)若 A?B,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分)已知 x∈[0,log23?log34],试求函数



的最大值与最小值.

19. (12 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.若 每辆车的月租金每增加 50 元,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 4000 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是多少? 20. (13 分)已知函数 f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3) (0<a<1) (1)求函数 f(x)的定义域; (2)求函数 f(x)的零点; (3)若函数 f(x)的最小值为﹣4,求 a 的值. 21. (14 分)已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数且 f(1)=1,若 a,b∈[﹣1,1],a+b≠0, 有 .

(1)判断函数 f(x)在[﹣1,1]上是增函数还是减函数,并用定义证明你的结论. (2)解不等式 (3)若 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈[﹣1,1]、a∈[﹣1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

重庆市江津二中 2014-2015 学年高一上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,每个小题给出的四个选项中,只有 唯一个选项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填涂在机读卡上. ) 1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为 () A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 找出全集 U 中不属于 A 的元素,求出 A 的补集,找出既属于 A 补集又属于 B 的元 素,确定出所求的集合. 解答: 解:∵全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3}, ∴CUA={0,4},又 B={2,4}, 则(CUA)∪B={0,2,4}. 故选 C 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关 键.

2. (5 分)函数 A.[1,+∞)

的定义域为() B.(1,+∞) C.[1,3) D.[1,3)∪(3,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件求函数的定义域即可. 解答: 解:要使函数有意义,则 ,





解得 x≥1 且 x≠3, ∴函数的定义域为{x|x≥1 且 x≠3}, 即[1,3)∪(3,+∞) . 故选 D. 点评: 本题主要考查函数定义域的求法,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 3. (5 分)下列各对函数中,图象完全相同的是() A. C. B. D.

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题;规律型. 分析: 先判断两个函数的定义域是否是同一个集合,再判断两个函数的解析式是否可以化 为一致.

解答: 解:对于 A、∵y=x 的定义域为 R, 法则不相同,∴不是同一个函数. 对于 B、∵ 数. 对于 C、∵

的定义域为 R.两个函数的对应

的定义域[0,+∞) ,y=|x|的定义域均为 R.∴两个函数不是同一个函

的定义域为 R 且 x≠0,y=x 的定义域为 R 且 x≠0.对应法则相同,∴两个函数

0

是同一个函数. 对于 D、 的定义域是 x≠±1, 的定义域是 x≠1,定义域不相同,∴不是同一

个函数. 故选:C. 点评: 本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数,需要两个条件:①两个函数的定义 域是同一个集合;②两个函数的解析式可以化为一致.这两个条件缺一不可,必须同时满足. 4. (5 分)已知某函数的图象如图所示,则该函数的值域为()

A.(0,+∞) (0,+∞)

B.(﹣∞,﹣1]

C.[﹣1,0)∪(0,+∞) D. (﹣∞, ﹣1]∪

考点: 函数的值域;函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的图象,确定函数的值域. 解答: 解:由图象可知,当 x>0 时,y>0, 当 x≤0 时,y≤﹣1, 综上:y>0 或 y≤﹣1. 故该函数的值域为(﹣∞,﹣1]∪(0,+∞) . 故选:D. 点评: 本题主要考查函数的值域的求法,利用图象即可判断函数的值域,比较基础. 5. (5 分)函数 y=1+log A.(1,1) (x﹣1)的图象一定经过点() C.(2,1) D.(2,0)

B.(1,0)

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据函数 y=log

x 恒过定点(1,0) ,而 y=1+log

(x﹣1)的图象是由 y=log

x

的图象平移得到的,故定点(1,0)也跟着平移,从而得到函数 y=1+log 定点. 解答: 解:∵函数 y=log 而 y=1+log

(x﹣1)恒过的

x 恒过定点(1,0) , x 的图象向右平移一个单位,向上平移一个单位得

(x﹣1)的图象是由 y=log

到, ∴定点(1,0)也是向右平移 一个单位,向上平移一个单位, ∴定点(1,0)平移以后即为定点(2,1) , 故函数 y=1+log (x﹣1)恒过的定点为(2,1) . 故选 C. 点评: 本题考查了对数函数的单调性与特殊点. 对于对数函数问题, 如果底数 a 的值不确定 范围,则需要对底数 a 进行分类讨论,便于研究指数函数的图象和性质.本题重点考查了对数 函数图象恒过定点(0,1) ,涉及了图象的变换,即平移变换,注意变换过程中特殊点,定点, 渐近线等等都是跟着平移的.属于基础题. 6. (5 分)已知:a=log0.70.9,b=log1.10.7c=1.1 ,则 a,b,c 的大小关系为() A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 考点: 对数值大小的比较. 专题: 计算题. 分析: 根据对数函数的图象和性质,易知 0<log0.70.8<1,log1.10.9<0,由指数函数的图象 0.9 和性质,易知 1.1 >1,得到结论. 解答: 解:根据对数函数 y=log0.7x,y=log1.1x 的图象和性质, 可知 0<log0.70.8<1,log1.10.9<0 x 由指数函数 y=1.1 的图象和性质, 0.9 可知 c=1.1 >1 ∴b<a<c 故选 C. 点评: 本题主要考查数的大小比较,一般来讲是要转化为函数应用函数的单调性和图象分 布来解决.
0.9

7. (5 分)函数 A.1 个 B. 2 个

的零点个数为() C. 3 个 D.4 个

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 将函数 个数问题,求出方程的根,即可得到答案. 解答: 解:∵函数 ∴ ∴x﹣1=0 或 ln(﹣x)=0, ∴x=1 或 x=﹣1, ∵ ,解得 x<0,

的零点个数问题转化为方程 f(x)=0 的根的

的零点个数,即为 f(x)=0 的根的个数, =0,即(x﹣1)ln(﹣x)=0,

∵函数 f(x)的定义域为{x|x<0}, ∴x=﹣1,即方程 f(x)=0 只有一个根, ∴函数 的零点个数 1 个.

故选:A. 点评: 本题考查了根的存在性及根的个数的判断.要注意函数的零点与方程根的关系,函 数的零点等价于对应方程的根, 等价于函数的图象与 x 轴交点的横坐标, 解题时要注意根据题 意合理的选择转化.属于中档题. 8. (5 分)已知函数 f(x)=m+log2x 的定义域是[1,2],且 f(x)≤4,则实数 m 的取值范围 是() A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞,2] C.[2,+∞) D.(2,+∞) 考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据指数函数的单调性求出函数在[1,2]上的值域,然后根据 f(x)≤4 建立关于 m 的不等式,解之即可. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=m+log2x 在[1,2]单调递增, ∴函数 f(x)的值域为[m,2+m], ∵f(x)≤4, ∴2+m≤4,解得 m≤2, ∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,2]. 故选:B. 点评: 本题主要考查了指数函数的单调性,以及指数函数的值域,同时考查了分析问题的 能力,属于中档题. 9. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,对于任意 x∈R,当 x≥0 都有 f(x+2)=f (x) ,且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1) ,则 f(﹣2013)+f 的值为() A.2 B. 1 C . ﹣1 D.﹣2 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: 由于函数 f(x)是偶函数,可得 f(﹣2013)=f.又?x∈R 都有 f(x+2)=f(x) .可 得 f(﹣2013)+f=f+f=f(2×1012+1)+f(2×1013)=f(1)+f(0) . 利用当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1) ,可得 f(1)+f(0)=log22+log21.即可得出. 解答: 解:∵函数 f(x)是偶函数, ∴f(﹣2013)=f. 又?x∈R 都有 f(x+2)=f(x) . ∴f(﹣2013)+f=f+f=f(2×1012+1)+f(2×1013)=f(1)+f(0) . ∵当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1) , ∴f(1)+f(0)=log22+log21=1. ∴f(﹣2013)+f=1. 故选:B. 点评: 本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数值的计算,属于中档题.

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,满足对任意的 x1≠x2 都有

<0 成立,则 a 的取值范围是() A.(0, ]

B.(0,1)

C.[ ,1)

D.(0,3)

考点: 函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题.

分析: 由题意可知,f(x)=

为减函数,从而可得



由此可求得 a 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)对任意的 x1≠x2 都有 成立,

∴f(x)=

为 R 上的减函数,



解得 0<a≤ .

故选 A.

点评: 本题考查函数单调性的性质,判断出 f(x)= 的减函数是关键,得到 4a≤1 是难点,属于中档题. 二、填空题: (本题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卡上. ) 11. (5 分)若幂函数 f(x)的图象过点 ,则 = .

为R上

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 设出幂函数的解析式,然后把点的坐标代入求出幂指数即可. 解答: 解:设幂函数为 y=x ,因为图象过点 则 ,∴,α=﹣2.
﹣2

α



所以 f(x)=x . = 故答案为: . 点评: 本题考查了幂函数的概念,是会考常见题型,是基础题. 12. (5 分)函数 y=|x﹣a|的图象关于直线 x=1 对称,则 a=1. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数图象关于直线 x=1 对称,得到 f(1﹣x)=f(1+x) ,建立方程即可求解 a 的 值. 解答: 解:设 y=f(x)=|x﹣a|, 若函数 y=|x﹣a|的图象关于直线 x=1 对称, 则 f(1﹣x)=f(1+x) , 即|1﹣x﹣a|=|1+x﹣a|, 则 1﹣x﹣a=1+x﹣a 或 1﹣x﹣a=﹣(1+x﹣a)=﹣1﹣x+a, 即 x﹣a=0(不是常数,舍去)或 1﹣a=﹣1+a, ∴解得 a=1, 故答案为:1. 点评: 本题主要考查函数图象对称的应用,利用函数的性质是解决本题的关键. 13. (5 分)若 f(x)=loga(2﹣ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是 1<a<2. 考点: 复合函数的单调性. =2 =
﹣1

分析: 本题必须保证:①使 loga(2﹣ax)有意义,即 a>0 且 a≠1,2﹣ax>0.②使 loga (2﹣ax)在[0,1]上是 x 的减函数.由于所给函数可分解为 y=logau,u=2﹣ax,其中 u=2﹣ax 在 a>0 时为减函数,所以必须 a>1;③[0,1]必须是 y=loga(2﹣ax)定义域的子集. 解答: 解:因为 f(x)在[0,1]上是 x 的减函数,所以 f(0)>f(1) , 即 loga2>loga(2﹣a) . ∴ ?1<a<2

故答案为:1<a<2. 点评: 本题综合了多个知识点,需要概念清楚,推理正确. (1)复合函数的单调性; ( 2) 真数大于零. 14. (5 分)设 α,β 分别是关于 x 的方程 log2x+x﹣4=0 和 2 +x﹣4=0 的根,则 α+β=4. 考点: 指数函数与对数函数的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别作出函数 y=log2x,y=2 ,y=4﹣x 的图象相交于点 P,Q.利用 log2α=4﹣α,2 =4 x ﹣β.而 y=log2x(x>0)与 y=2 互为反函数,直线 y=4﹣x 与直线 y=x 互相垂直, 点 P 与 Q 关于直线 y=x 对称.即可得出. x 解答: 解:分别作出函数 y=log2x,y=2 ,y=4﹣x 的图象,相交于点 P,Q. β ∵log2α=4﹣α,2 =4﹣β. x 而 y=log2x(x>0)与 y=2 互为反函数,直线 y=4﹣x 与直线 y=x 互相垂直, ∴点 P 与 Q 关于直线 y=x 对称. β ∴α=2 =4﹣β. ∴α+β=4. 故答案为:4.
x β x

点评: 本题考查了同底的指数函数与对数函数互为反函数的性质、相互垂直的直线之间的 关系,属于难题. 15. (5 分)已知下列四个命题; ①函数 是奇函数;

②函数 f(x)=log2x 满足:对于任意 x1,x2∈R,且 x1≠x2,都有 ; ③若函数 f(x)满足 f(x﹣1)=﹣f(x+1) ,f(1)=2,则 f(7)=﹣2; ④设 x1,x2 是关于 x 的方程|logax|=k(a>0,a≠1,k>0)的两根,则 x1x2=1; 其中正确的命题的序号是①②③④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: ①利用 g(﹣x)+g(x)=0 可判断其奇偶性; ②作出 f(x)=log2x 的图象,数形结合即可判断②的正误; ③易知 f(x)是以 4 为周期的函数,结合题意可求得 f(7)=﹣2; ④x1,x2 是关于 x 的方程|logax|=k(a>0,a≠1,k>0)的两根?logax1=﹣logax2,进一步整理 可得 x1x2=1,从而可知④的正误. 解答: 解:①,∵g(﹣x)+g(x) =(1+ )+(1+ )

=2+

+

=

+

+2

=﹣2+

+

+2

=0, ∴g(﹣x)=﹣g(x) ,即①正确; ②,作出 f(x)=log2x 的图象,

由图知,曲线上点 P(其横坐标为 (

)的纵坐标大于线段 P1P2 的中点 A 的纵坐标,即 f

)> [f(x1)+f(x2)],②正确;

③,∵f(x﹣1)=﹣f(x+1) ,令 t=x﹣1, 则 f(t+2)=﹣f(t) ,即 f(t+4)=f(t) , ∴f(x+4)=f(x) , ∴f(x)是以 4 为周期的函数,又 f(1)=2,f(x﹣1)=﹣f(x+1) , ∴f(7)=f(3)=﹣f(2﹣1)=﹣f(1)=﹣2,即③正确; ④,∵x1,x2 是关于 x 的方程|logax|=k(a>0,a≠1,k>0)的两根, ∴logax1=﹣logax2= ∴x1= ,

,即 x1x2=1,故④正确;

综上所述,正确的命题的序号是①②③④, 故答案为:①②③④. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查函数的奇偶性、单调性、周期性及函数 图象的应用,考查分析与应用能力,属于难题. 三、解答题: (本题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算 步骤. ) 16. (12 分)计算下列各式. (1) (2) .

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用指数幂的运算法则进行求解. (2)利用对数的运算法则进行求解. 解答: 解: (1)原式= =2+4×27=2+108=110.

(2)原式=2lg5+2lg2+2lg5lg2+(lg5) +(lg2) =2(lg5+lg2)+(lg5+lg2) =2+1=3. 点评: 本题主要考查指数幂和对数的基本运算,要求熟练掌握指数幂和对数的运算法则, 比较 基础.

2

2

2

17. (12 分)已知集合 A={x|0<2x+a≤3},B= (1)当 a=1 时,求(?RB)∪A. (2)若 A?B,求实数 a 的取值范围.



考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: (1)将 a=1 代入集合 A 求出解集确定粗 A,找出 B 的补集与 A 的并集即可; (2)根据 A 为 B 的子集,由 A 与 B 求出 a 的范围即可. 解答: 解: (1)当 a=1 时,集合 A 中的不等式为 0<2x+1≤3, 解得:﹣ <x≤1,即 A=(﹣ ,1], ∵B={y|﹣ <y<2}=(﹣ ,2) ,全集为 R, ∴?RB=(﹣∞,﹣ ]∪[2,+∞) , 则(?RB)∪A=(﹣∞,1]∪[2,+∞) ; (2)由 A 中的不等式解得:﹣ <x≤ 由 A?B,若 A=?时,﹣ ≥ ,即 A=(﹣ , ],

,得到 0≥3 不成立,得到 A≠?,





解得:﹣1<a≤1, 则 a 的取值范围是(﹣1,1]. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 18. (12 分)已知 x∈[0,log23?log34],试求函数

的最大值与最小值.

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 x∈[0,2],令 t=2 ,则 y=(t﹣2) + .由 t 为减函数,可得 再利用二次函数的性质求得 y 的最值. 解答: 解:∵已知 x∈[0,log23?log34],即 x∈[0,2], ∵ 当 0≤x≤2 时,∵t 为减函数,∴
2 x 2



,令 t=2 ,则 y=(t﹣2) + . ,即 .

x

2

再由 y=t ﹣t+2 的图象可知:当 t= 时,函数 y 取得最小值为 , 当 t=1 时,函数 y 取得最大值为 2. 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,指数函数的单调性,体现了转化的书 写思想,属于中档题.

19. (12 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.若 每辆车的月租金每增加 50 元,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 4000 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是多少? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意,每辆车的月租金每增加 50 元,未租出的车将会增加一辆,则租出的 车有 100﹣ 辆;

(2)设当每辆车的月租金定为 x(x≥3000)元时,租赁公司的月收益为 y 元,得出函数表达 式,由配方法求最大值. 解答: 解: (1)当每辆车的月租金定为 4000 元时, 能租出的车有:100﹣ =80 辆;

(2)设当每辆车的月租金定为 x(x≥3000)元时,租赁公司的月收益为 y 元,则 y=x(100﹣
2

)﹣150×(100﹣

)﹣50×

=﹣

(x﹣4050) +



则当月租金为 4050 元时,租赁公司的月收益最大, 最大月收益是 =307050 元.

点评: 本题考查了实际问题转化为数学问题的能力,属于中档题. 20. (13 分)已知函数 f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3) (0<a<1) (1)求函数 f(x)的定义域; (2)求函数 f(x)的零点; (3)若函数 f(x)的最小值为﹣4,求 a 的值. 考点: 对数函数的值域与最值;对数函数的定义域;函数的零点. 专题: 综合题;配方法. 分析: (1)根据对数的真数大于零,列出不等式组并求出解集,函数的定义域用集合或区 间表示出来; 2 (2)利用对数的运算性质对解析式进行化简,再由 f(x)=0,即﹣x ﹣2x+3=1,求此方程的 根并验证是否在函数的定义域内; (3)把函数解析式化简后,利用配方求真数在定义域内的范围,再根据对数函数在定义域内 递减,求出函数的最小值 loga4,得 loga4=﹣4 利用对数的定义求出 a 的值. 解答: 解: (1)要使函数有意义:则有 ,解之得:﹣3<x<1,

则函数的定义域为: (﹣3,1) (2)函数可化为 f(x)=loga(1﹣x) (x+3)=loga(﹣x ﹣2x+3) 2 由 f(x)=0,得﹣x ﹣2x+3=1, 即 x +2x﹣2=0, ∵ (3)函数可化为:
2 2

,∴函数 f(x)的零点是
2 2

f(x)=loga(1﹣x) (x+3)=loga(﹣x ﹣2x+3)=loga[﹣(x+1) +4] 2 ∵﹣3<x<1,∴0<﹣(x+1) +4≤4, 2 ∵0<a<1,∴loga[﹣(x+1) +4]≥loga4, ﹣4 即 f(x)min=loga4,由 loga4=﹣4,得 a =4, ∴ 点评: 本题是关于对数函数的综合题,考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数 型的复合函数求最值,注意应在函数的定义域内求解. 21. (14 分)已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数且 f(1)=1,若 a,b∈[﹣1,1],a+b≠0, 有 .

(1)判断函数 f(x)在[﹣1,1]上是增函数还是减函数,并用定义证明你的结论. (2)解不等式 (3)若 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈[﹣1,1]、a∈[﹣1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数单调性的定义进行判断和证明. (2)根据函数的单调性将不等式 (3)将不等式恒成立转化求函数的最值,即可得到结论. 解答: 解: (1)函数 f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数. 下用定义证明: 设﹣1≤x1<x2≤1, 则: 进行转化即可得不等式的解集.
2

, 可知 f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在[﹣1,1]上是增函数. (2)由 f(x)在[﹣1,1]上是增函数知:

不等式

等价为:

解得 故不等式的解集[

, ].

(3)∵f(x)在[﹣1,1]上是增函数, ∴f(x)≤f(1)=1, 即 f(x)max=1 2 依题意有 m ﹣2am+1≥1,对 a∈[﹣1,1]恒成立, 2 即 m ﹣2am≥0 恒成立. 2 令 g(a)=﹣2ma+m ,它的图象是一条线段, 则 ,

即 ∴m∈(﹣∞,﹣2]∪{0}∪[2,+∞) . 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,将不等式转化为函数问题是解决本题的 关键.综合性较强,运算量较大.


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