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线性规划正教案


线性规划教案 一:求最值问题 类型一:

?2 x ? y ? 2 ? 1.设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2x ? 3y 的最大值为 ? x ? y ?1 ?



2.若变量 x, y 满足约束条件 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9, 则 z ? x

? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9,

?0 ? x ? 1 ? 3.设 z ? 2 y ? 2x ? 4 ,式中变量 x, y 满足条件 ?0 ? y ? 2 ,求 z 的最小值和最大值. ?2 y ? x ? 1 ?

? x ? 2 y ? 5 ? 0, ? 4.若实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7 ? 0, 则 3x+4y 的最小值是 ? x ? 0, y ? 0, ?
A.13 B.15 C.20 D.28 5.设变量 x, y 满足 x ? y ? 1, 则 x ? 2 y 的最大值和最小值分别为 (A) -1 1, (B) -2 2, (C) -2 1, (D) -1[来源:Z|xx|k.Com] 2,

6.已知向量 a ? ?x ? z,3?,b ? ?2, y ? z ? ,且 a⊥b.若 x, y 满足不等式 x ? y ? 1 ,则 z 的取 值范围为 A.

?? 2,2?

B. ?? 2,3?

C. ?? 3,2?

D. ?? 3,3?

?0 ? x ? 2 ? 7.已知平面直角坐标系 xOy 上的区 域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定.若 M(x,y)为 D 上动 ? ? x ? 2y
点,点 A 的坐标为( 2 ,1).则 z ? OM ? OA 的最大值为( A. 4 2 B. 3 2 C.4 D.3

???? ??? ? ?



?x ? y ? 2 ? 8.已知 O 是坐标原点,点 A(?1, 1) ,若点 M ( x , y ) 为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点, ?y ? 2 ?
则 OA ? OM 的取值范围是 A. [?1, 0] B. [0 , 1] C. [0 , 2] D. [?1, 2]

??? ???? ? ?

1

类型二:求 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 的最值,表示限制区域内的点到点 ( a , b ) 的距离的平方

? x ? 1, ? 1.已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x2 ? y2 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

.

2.已知圆 O: ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1, P ( x , y ) 为圆 O 上的动点,求 d ? x 2 ? y 2 的最大、最 1 (x 小值.

类型三:求

y ?b 的最值,表示限制区域内的点与点 ( a , b ) 连线的斜率 x?a

?x ? 1 y ?1 ? 1.实数 x、y 满足不等式组 ? y ? 0 ,则 的取值范围是_____________. x ?x ? y ? 0 ?
?x ? 2 y ? 5 ? 0 y 2.已知 x,y 满足 ? x ? 1, y ? 0 ,则 的最大值为_______,最小值为____________. ? x ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?

y 的最大值是 x y?2 4.设点 P ( x , y ) 是圆 x2 ? y 2 ? 1 是任一点,求 u ? 的取值范围. x ?1
3.如果实数 x、y 满足等式 ? x ? 2? ? y2 ? 3 ,那么
2

二:确定限制区域问题: ?( x ? y ? 5)( x ? y) ? 0 1.不等式 ? 表示的平面区域是一个 0? x?3 ? A.三角形 B.直角三角形 C.梯形 D.矩形 2.如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是 A. ?
y ? ?2 ? ?3x ? 2 y ? 6 ? 0 ? x?0 ?









B. ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0
? ? ? x?0
y ? ?2 x?0

?

y ? ?2

C. ?

y ? ?2 ? 3x ? 2 y ? 6 ? 0 ? ? x?0 ?

D. ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0
? ? ?

?

2

? ? ? 3. 直线 2 ? ?0 0 x y 1 ? 与不等式组 ? ? ? ?
A.0 个; B.1 个;

x ? 0 y ? 0 x ? y ? ?2 4x ? 3y ? 20
D.无数个 表示的平面区域的公共点有

C.2 个;

三:求面积问题:

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 1.不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?
A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大





?x ? y ? 2 ? 0 2.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域的面积是( ? ?y ? 0 ?
(A) 4 2 (B)4 (C) 2 2 (D)2



?x ? y ?1 ? 0 ? 3.(2009 福建卷)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( ? 为常数)所表示 ?ax ? y ? 1 ? 0 ?
的平面区域内的面积等于 2,则 a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 D.
?x ? 0 4 4.(2009 安徽卷理)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面 ? 3 ?3x ? y ? 4 ? 积相等的两部分,则 k 的值是

(A)

7 3

(B)

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4
B y y=kx+ 3 D C O A x

[解析]:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC

?x ? 3y ? 4 4 由? 得 A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0, ) 3 ?3 x ? y ? 4

4

1 4 4 ∴ S △ABC= (4 ? ) ?1 ? ,设 y ? kx 与 3 x ? y ? 4 的 2 3 3 1 2 1 5 交点为 D,则由 S?BCD ? S ?ABC ? 知 xD ? ,∴ yD ? 2 2 2 3 5 1 4 7 ∴ ? k ? ? , k ? 选 A。 2 2 3 3

3

四:求参数的范围

? y?x ? 1.设 m ? 1, 在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z ? x ? 5 y 的最大值为 4,则 m 的值 ?x ? y ? 1 ?
为 .

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 2.(2010 浙江理数)若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则 ? x ? my ? 1 ? 0, ?
实数 m ? (A) ?2 (B) ? 1 (C)1 (D)2 C

? y?x ? 3. (2011 年高考湖南卷理科 7)设 m ? 1, 在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z ? x ? my 的 ?x ? y ? 1 ?
最大值小于 2,则 m 的取值范围为 A. 1,1 ? 2

?

?

B. 1 ?

?

2 ,??

?

C. ?1,3?

D. ?3,?? ? 答案:A

?x ? y ? 5 ? 4 . 已 知 x 、y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 3 ?

,使 z = x + a y ( a > 0 ) 取 得 最 小 值

的最优解有无数个,则 a 的值为 ( ) A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1 5.已 知 |2x- y+ m|< 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 ( 0,0) 和 ( - 1,1) 则 m 的 , 取值范围是 ( ) A、 -3,6) B、 0,6) C、 0,3) D、 -3,3) ( ( ( ( 6.已知变量 x , y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? y ? 4 。若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅 ? ?2 ? x ? y ? 2

x

在点 (3,1) 处取得最大值,则 a 的取值范围为

7.【2012 高考真题福建理 9】 若函数 y=2 图像上存在点(x,y)满足约束条件

? x ? y ?3? 0 ? ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为 ? x?m ? 1 3 A. B.1 C. 2 2

D.2 【答案】B.

4

? x ? y ? 11 ? 0 ? 8. 2010 北京理数) ( 设不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?
的图像上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是 (A)(1,3] (B )[2,3]

表示的平面区域为 D, 若指数函数 y= a

x

(C ) (1,2]

(D )[ 3, ?? ] 答案:A

五.求可行域中整点个数 例 1 、满 足 | x | + | y | ≤ 2 的 点( x ,y )中 整 点( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 )有( A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个



?x ? y ? 2 ?x ? y ? 2 ? 解 : |x|+ |y|≤ 2 等 价 于 ? ?? x ? y ? 2 ?? x ? y ? 2 ?

( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0)
O x y

六:与均值不等式综合

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 2.(2009 山东卷理)设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , ? x ? 0, y ? 0 ?
若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为 12,

2 3 ? 的最小值为( a b 25 8 A. B. 6 3
则 六:实际问题:

). C.

11 3

D. 4

?5 x ? 11y ? ?22, ? 1.某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 9, 则 ?2 x ? 11. ?
z ? 10x ?10 y 的最大值是

(A)80

(B) 85

(C) 90

(D)95

实际应用题:方法:一:分别设影响最值的两个变量分别为 x,y;设最值变量为 z;二: 根据已知中的每一个限制条件,建立关于 x,y 的不等式;三:根据限制条件,解最值. 例: 2. 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人, 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量 有 A 地至 少 72 吨的货 物,派用的每辆车需满载且只运送一 为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需 配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得 最大利润为 (A)4650 元 (B)4700 元 (C)4900 元 (D)5000 元

5

3.某养鸡场有 1 万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料 0.5kg, 其中动物饲料不能少于谷物饲料的

1 .动物饲料每千克 0.9 元,谷物饲料每千克 0.28 元,饲料 5

公司每周仅保证供应谷物饲料 50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低.

4.下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 的含量及成本: 甲 维 生 素 A( 单 位 / 千 克) 维 生 素 B( 单 位 / 千 克) 成本(元/千克) 营养师想购这三种食物共 10 千克,使之所含维生素 A 不少于 4400 单位,维生素 B 不少于 4800 单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少? 400 800 7 600 200 6 400 400 5 乙 丙

6


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