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2017年春季学期苏教版高中数学必修4导学案:第五课时


第五课时? 两角和与差的余弦、正弦、正切(二) 教学目标: 熟练掌握两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式的运用, 理解公式: asinθ+bcosθ= a2+b2 a b sin(θ+ ? )(其中 cos ? = 2 2 ,sin ? = 2 2 ,θ 为任意角),灵活应用上述公式解决 a +b a +b 相关问题;培养学生的创新意识,提高学生的思维素质. 教学重点: 利用两角和与差的正、余弦公式将 asinθ+bcosθ 形式的三角函数式化为某一个角的三角 函数形式. 教学难点: 使学生理解并掌握将 asinθ+bcosθ 形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式,并 能灵活应用其解决一些问题. 教学过程: Ⅰ.复习回顾 同学们,观察这些关系式,不难看出这是我们前面所推导出的两角和与差的正余弦公式 的倒写形式.有时,直接利用这种形式可使问题简化,这节课,我们就来探讨一下它的运用. Ⅱ.讲授新课 π [例 1]求证 cosα+ 3 sinα=2sin( +α) 6 π π π 证明:右边=2sin( +α)=2(sin cosα+cos sinα) 6 6 6 1 3 =2( cosα+ sinα)=左边 2 2 由于同学们对两角和的正弦公式比较熟悉,所以要证此式容易想到从右边往左边推证, 只要将右边按照两角和的正弦公式展开,化简便可推出左边. 也可这样考虑: 1 3 左边=cosα+ 3 sinα=2( cosα+ sinα) 2 2 π π π =2(sin cosα+cos sinα)=2sin( +α)=右边 6 6 6 1 π 3 π (其中令 =sin , =cos ) 2 6 2 6 π [例 2]求证 cosα+ 3 sinα=2cos( -α) 3 分析:要证此式,可从右边按照两角差的余弦公式展开,化简整理可证此式. 若从左边推证,则要仔细分析,构造形式 1 3 π π π 即:左=cosα+ 3 sinα=2( cosα+ sinα)=2(cos cosα+sin sinα)=2cos( -α) 2 2 3 3 3 1 π 3 π (其中令 =cos , =sin ) 2 3 2 3 π π 综合上两例可看出对于左式 cosα+ 3 sinα 可化为两种形式 2sin( +α)或 2cos( -α), 6 3 右边的两种形式均为一个角的三角函数形式.那么,对于 asinα+bcosα 的式子是否都可化为一 个角的三角函数形式呢? 推导公式: a b asinα+bcosα= a2+b2 ( 2 2 sinα+ 2 2 cosα) a +b a +b a b 由于( 2 2 )2+( 2 2 )2=1,sin2θ+cos2θ=1 a +b a +b a b (1)若令 2 =sinθ,则 2 =cosθ 2 a +b a +b2 ∴asinα+bcosα= a2+b2 (sinθsinα+cosθcosα)= a2+b2 cos(θ-α) 或原式= a2+b2 cos(α-θ) a b (2)若令 2 =cos ? ,则 2 2 =sin ? 2 a +b a +b ∴asinα+bcosα= a2+b2 (sinαcos ? +cosαsin ? )= a2+b2 sin(α+ ? ) 例如:2sinθ+cosθ= 22+12 2 5 5 ( sinθ+ cosθ) 5 5 2 5 5 若令 cos ? = ,则 sin ? = 5 5 ∴2sinθ+cosθ= 5 (sinθcos ? +cosθsin ? )=

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