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【解析版】广东省汕头市2012-2013学年高三(上)期末数学试卷(文科)


2012-2013 学年广东省汕头市高三(上)期末 数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 分)已知集合 A={1,3,5},集合 B={2,a,b},若 A∩B={1,3},则 a+b 的值是( (5 ) A.10 B.9 C.4 D

.7 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,分析可得集合 B={2,1,3},从而有 a=1、b=3 或 a=3、b=1,则有 a+b=4 成立,即可得 答案. 解答: 解:根据题意,若 A∩B={1,3}, 又由集合 A={1,3,5},则集合 B={2,1,3}, 则 a=1、b=3 或 a=3、b=1, ∴a+b=4, 故选 C. 点评: 本题考查集合的交集的意义,解题的关键是由交集的意义,得到集合 B. 2. 分)如图在复平面内,复数 z1,z2 对应的向量分别是 (5 ,则复数 z1﹣z2 的值是( )

A.﹣1+2i

B.﹣2﹣2i

C.1+2i

D.1﹣2i

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 根据两个复数的加减法的几何意义,复数 z1﹣z2 的值就是 解答:

=



对应的复数. = ﹣ 对应的复数.

解:根据两个复数的加减法的几何意义可得,复数 z1﹣z2 的值就是

即(﹣2﹣i)﹣(i)=﹣2﹣2i, 故选 B. 点评: 本题主要考查两个复数的加减法的几何意义,属于基础题.

3. 分)若点(9,a)在函数 y=log3x 的图象上,则 tan= (5

的值为(



A.0

B.

C.1

D.

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的性质和特殊角的正切函数值即可求出. 解答: 解:∵点(9,a)在函数 y=log3x 的图象上,∴a=log39=2, ∴tan= = = = .

故选 D. 点评: 熟练掌握对数函数的性质和特殊角的正切函数值是解题的关键.

4. 分) (5 (2011?上海)若向量 A. B. C.

,则下列结论正确的是( D.



考点: 平面向量数量积的运算;向量的模;平行向量与共线向量;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由给出的两个向量的坐标,求出 的坐标,然后直接进行数量积的坐标运算求解. 解答: 解:由 所以 则 . ,则 . .

故选 C. 点评: 本题考查了平面向量数量积的坐标运算,考查了利用数量积判断两个向量的垂直关系,解答的关键 是熟记数量积的坐标运算公式,是基础题. 5. 分) (5 (2012?烟台二模)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 的样本, 其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的同学有 30 人,则 n 的值为( )

A.100

B.1000

C.90

D.900

考点: 用样本的频率分布估计总体分布. 专题: 计算题.

分析: 根据频率直方图的意义,由前三个小组的频率可得样本在[50,60)元的频率,计算可得样本容量. 解答: 解:由题意可知:前三个小组的频率之和=(0.01+0.024+0.036)×10=0.7, ∴支出在[50,60)元的频率为 1﹣0.7=0.3, ∴n 的值= ;

故选 A. 点评: 本题是对频率、 频数灵活运用的综合考查, 各小组频数之和等于数据总和, 各小组频率之和等于 1. 频 率、频数的关系:频率= .

6. 分)如图正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心)P﹣ABCD 的底面边长为 6cm, (5 侧棱长为 5cm,则它的侧视图的周长等于( )

A.17cm

B.

C.16cm

D.14cm

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题. 分析: 侧视图是一个三角形,底边长是等于正四棱锥底面正方形的边长,高为正四棱锥的高的一个等腰三 角形,即可判断三角形的形状,然后求出周长即可. 解答: 解:由题意可知:侧视图是一个三角形, 底边长是等于正四棱锥底面正方形的边长,高为正四棱锥的高的一个等腰三角形, 腰长 5,斜高为 h= =4,又∵正四棱锥底面正方形的边长为:6,

侧视图的周长为:6+4+4=14 (cm) . 故选 D. 点评: 本题考查简单几何体的三视图,考查空间想象能力,计算能力,是基础题.

7. 分) (5 (2012?西城区一模)若实数 x,y 满足条件

则|x﹣3y|的最大值为(



A.6

B.5

C.4

D.3

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 先确定平面区域,再求 的最大值,进而可求|x﹣3y|的最大值. 解答: 解:不等式表示的平面区域,如图所示

先求

的最大值,即求区域内的点到直线的距离的最大值.



,可得 x=1,y=2

由图可知, (1,2)到直线 x﹣3y=0 的距离最大为

=

∴|x﹣3y|的最大值为 5 故选 B. 点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题. 8. 分)按如图所示的程序框图运行程序后,输出的结果是 15,则判断框中的整数 H=( (5 )

A.3

B.4

C.5

D.6

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 由图知,每次进入循环体后,S 的值被施加的运算是乘以 2 加上 1,故由此运算规律进行计算,经过 次运算后输出的结果是 15,从而得出判断框中的整数 H. 解答: 解:由图知运算规则是对 S=2S+1,故 第一次进入循环体后 S=2×1+1=3, 第二次进入循环体后 S=2×3+1=7, 第三次进入循环体后 S=2×7+1=15, 由于 A 的初值为 1,每进入一次循环体其值增大 1,第三次进入循环体后 A=3. 故判断框中 H 的值应为 3,这样就可保证循环体只能被运行三次. 故选 A.

点评: 本题考查循环结构,已知运算规则与最后运算结果,求运算次数的一个题.是算法中一种常见的题 型. 9. 分)给出下面结论: (5 ①命题 p:“?x0∈R,x
x

﹣3x0+2≥0”的否定为¬p:“?x∈R,x ﹣3x+2<0”

2

②函数 f(x)=2 +3x 的零点所在区间是(﹣1,0) ; ③函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位后,得到函数 图象;

④对于直线 m,n 和平面 α,若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3

D.4

考点: 特称命题;命题的否定;命题的真假判断与应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;空间中直线与 平面之间的位置关系. 专题: 计算题. 分析: ①由特称命题的否定规律可作出判断;②代值可得 f(﹣1)f(0)<0,由零点的存在性定理可得结 论; ③由图象的平移规律, 可得到函数 y=sin2 (x+ ) (2x+ =sin ) 的图象, 而非

图象;④由条件可得 n∥α,或 n?α,不一定是 n∥α. 解答: 解:①由特称命题的否定可知:命题 p:“?x ∈R,x 0 <0”,故正确; ②f(﹣1)=2 ﹣3=
﹣1

﹣3x0+2≥0”的否定为¬p:“?x∈R,x ﹣3x+2

2

,f(﹣0)=2 +3×0=1,满足 f(﹣1)f(0)<0,故函数 f(x)=2 +3x 在

0

x

区间(﹣1,0)上有零点, 又函数 f(x)单调递增,故有唯一的零点在区间(﹣1,0) ,故正确; ③函数 y=sin2x 的图象向左平移 非 个单位后,得到函数 y=sin2(x+ )=sin(2x+ )的图象,而

图象,故错误;

④对于直线 m,n 和平面 α,若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α,或 n?α,故错误. 故选 B 点评: 本题考查命题真假的判断,涉及命题的否定和零点以及函数图象的变换和空间中的线面位置关系, 属基础题. 10. 分)定义 (5 为 n 个正数 p1,p2,…pn 的“均倒数”.若已知数列{an}的前 n 项的“均倒数”

为 A.

,又

,则 B.

=( C.

) D.

考点: 类比推理. 专题: 新定义;点列、递归数列与数学归纳法.

分析: 由已知得 a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn,求出 Sn 后,利用当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,即可求得通项 an, 最后利用裂项法,即可求和. 解答: 解:由已知得 , ∴a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1,验证知当 n=1 时也成立, ∴an=4n﹣1, ∴ ∴ ∴ = . ,

故选 C. 点评: 本题考查数列的通项与求和,考查裂项法的运用,确定数列的通项是关键. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每 道试题考生都必须作答. 11. 分) (5 已知 , , 若 均为正实数) ,

类比以上等式,可推测 a,t 的值,则 a﹣t= ﹣29 . 考点: 类比推理. 专题: 规律型. 分析: 观察所给的等式



第 n 个式子左边应该是 ,写出结果即可.

,左边的式子(n+1) 解答: 解:观察下列等式
2





照此规律,第 5 个等式中:a=6,t=a ﹣1=35, 则 a﹣t=﹣29. 故答案为:﹣29. 点评: 本题考查归纳推理,考查对于所给的式子的理解,主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数 之间的关系,本题是一个易错题.

12. 分)已知: (5

,则

的值为



考 三角函数中的恒等变换应用. 点 : 专 三角函数的求值. 题 :

分 利用同角三角函数的基本关系求得 析 : 值,即可求得 解 解: 答 ∵ :

的值,再利用诱导公式求得 的值.



= ,

=

∴ + = , .

=1﹣



=1﹣

故答案为

点 本题主要考查三角恒等变换的应用,角的变换是解题的关键,属于中档题. 评 : 13. 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x﹣4)=﹣f(x) (5 ,且 x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1) , 甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论:甲:f(3)=1;乙:函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数;丙:函 数 f(x)关于直线 x=4 对称;丁:若 m∈(0,1) ,则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣8,8]上所有根之和 为﹣8,其中正确的是 甲、乙、丁 、 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 取 x=1,得 f(3)=﹣f(1)=1; 根据已知可得(4,0)点是函数图象的一个对称中心; 由 f(x﹣4)=f(﹣x)得 f(x﹣2)=f(﹣x﹣2) ,即 f(x)关于直线 x=﹣2 对称,结合奇函数在对 称区间上单调性相同,可得 f(x)在[﹣2,2]上为增函数,利用函数 f(x)关于直线 x=﹣2 对称, 可得函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数; 若 m∈(0,1) ,则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣8,8]上有 4 个根,其中两根的和为﹣6×2=﹣12, 另两根的和为 2×2=4,故可得结论. 解答: 解:取 x=1,得 f(1﹣4)=﹣f(1)=﹣log2(1+1)=﹣1,所以 f(3)=﹣f(1)=1,故甲的结论正 确; ∵f(x﹣4)=﹣f(x) ,则 f(x+4)=﹣f(x) ,即 f(x﹣4)=f(x+4) 又由 f(x)为奇函数 f(x﹣4)=﹣f(4﹣x) ,即 f(x+4)=﹣f(4﹣x) ,即函数的图象关于(4,0) 点对称,故丙的结论错误. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x﹣4)=﹣f(x) ,则 f(x﹣4)=f(﹣x) , ∴f(x﹣2)=f(﹣x﹣2) , ∴函数 f(x)关于直线 x=﹣2 对称, 又∵奇函数 f(x) ,x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1)为增函数, ∴x∈[﹣2,2]时,函数为单调增函数, ∵函数 f(x)关于直线 x=﹣2 对称, ∴函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数,故乙正确; 若 m∈(0,1) ,则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣8,8]上有 4 个根,其中两根的和为﹣6×2=﹣12, 另两根的和为 2×2=4,所以所有根之和为﹣8.故丁正确

故答案为:甲,乙,丁 点评: 本题考查函数的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14. 分) (5 (2007?深圳一模)如图,AB 是半圆 O 的直径,C 在半圆上,CD⊥AB 于 D,且 AD=3DB,设 ∠COD=θ,则 = .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 由已知中 AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,CD⊥AB 于点 D,且 AD=3DB,我们可以设出圆的 半径为 R,进而根据射影定理求出 CD 的长,解三角形 COD 即可求出 θ 角,进而得到答案. 解答: 解:设半径为 R, 则 AD= R,BD= , 由射影定理得: CD =AD?BD 则 CD= 从而 θ= 故 tan
2 2

R, , = ,

故答案为: . 点评: 本题考查的知识点是直角三角形的射影定理,其中根据射影定理求出 CD 的长,解三角形 COD 即可 求出 θ 角,是解答本题的关键 15. (坐标系与参数方程)已知直线 l:ρcosθ﹣ρsinθ=4,圆 C:ρ=4cosθ,则直线 l 与圆 C 的位置关系是 相 交 . (相交或相切或相离?) 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 直线与圆. 分析: 利用利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,将直线的极坐标方程化成普通方程,最后计算圆心到直线的距离与半 径进行比较即可判定位置关系. 解答: 解:圆 C 的直角坐标方程是 x2+y2=4x,即(x﹣2)2+y2=4.圆心 C(2,0) ,半径 r=2 直线 l 的直角坐标方程为 x﹣y﹣4=0.所以圆心 C 到直线 l 的距离 .

故答案为:相交. 点评: 本小题主要考查圆的参数方程及直线与圆的位置关系的判断,以及转化与化归的思想方法,属于基 础题.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分) (2013?眉山二模)某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级,现从一批该零件巾随 机抽取 20 个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下 1 2 3 4 5 等级 0.05 m 0.15 0.35 n 频率 (1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件等级恰好相同 的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;收集数据的方法. 专题: 图表型. 分析: (1)通过频率分布表得推出 m+n=0.45.利用等级系数为 5 的恰有 2 件,求出 n,然后求出 m. (2)根据条件列出满足条件所有的基本事件总数,“从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两 件,等级系数相等”的事件数,求解即可. 解答: 解: (1)由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1, 即 m+n=0.45.…(2 分) 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个, 得 .…(4 分)

所以 m=0.45﹣0.1=0.35.…(5 分) (2) :由(1)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1,x2,x3;等级为 5 的零件有 2 个, 记作 y1,y2.从 x1,x2,x3,y1,y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为: 1,x2)(x1,x3) (x , , (x1,y1)(x1,y2)(x2,x3)(x2,y1)(x2,y2)(x3,y1)(x3,y2)(y1,y2) , , , , , , , 共计 10 种.…(9 分) 记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相等”. 则 A 包含的基本事件为(x1,x2)(x1,x3)(x2,x3)(y1,y2)共 4 个.…(11 分) , , , 故所求概率为 .…(13 分)

点评: 本题考查概率、统计等基本知识,考查数据处理能力、运算能力、应用意识.

17. (12 分)已知:函数

的最小正周期为 3π.

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)在△ ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin B=cosB+cos(A﹣C) ,求 sinA 的值. 考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析 式. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式,化简得 f(x)= ,再由函 数的最小正周期为 3π 结合三角函数的周期公式,算出 即可得到函数 f(x)的解析式; ,因此将

(2)根据(1)的表达式,解关于 C 的方程 f(C)=1,结合 C 为三角形的内角算出 C=
2 2

等式 2sin B=cosB+cos(A﹣C)化成关于 A 的方程,整理得 sin A+sinA﹣1=0,解之即得 sinA 的值. 解答: 解: (1)根据题意,得

= ∵函数 f(x)的周期为 3π,即 ∴ ,…(5 分) ,

=

… (3 分)

因此,函数 f(x)的解析式是 (2)∵ ∴ ∵C∈(0,π) ,可得 ∴ ,可得 .…(8 分) ,有 2sin B=cosB+cos(A﹣C)
2 2

…(6 分)

, ,

∵在 Rt△ ABC 中,
2

∴2cos A﹣sinA﹣sinA=0,即 sin A+sinA﹣1=0,解之得 ∵0<sinA<1,∴ .…(12 分)

…(11 分)

点评: 本题给出函数 y=Asin (ωx+φ) 的周期, +k 求函数的表达式并依此求三角形 ABC 的角 A 的正弦值. 着 重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和同角三角函数的基本关系等知识点,属于中档题. 18. (14 分)已知正项等差数列{an}中,a1=1,且 a3,a7+2,3a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设{an}的前 n 项和为 的最大值. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 a3,a7+2,3a9 成等比数列,求出数列的公差,然后求数列{an}的通项公式; (2)求出数列{an}的前 n 项和为 求解 f(n)最大值,并求出 f(n)的最大值. 解答: 解: (1)设公差为 d,则 a3=1+2d,a7=1+6d,a9=1+8d…(2 分) 2 ∵a3,a7+2,3a9 成等比数列,∴(3+6d) =3(1+2d) (1+8d)…(3 分) 2 ∴2d ﹣d﹣1=0, ∵d>0,∴d=1, ∴an=1+(n﹣1)?1=n.…(6 分) (2)∵ ,∴ .…(8 分) ,化简表达式,利用基本不等式去, ,试问当 n 为何值时,f(n)最大,并求出 f(n)



=

=

…(12 分)

当且仅当

,即 n=6 时,f(n)取得最大值

.…(14 分)

点评: 本题考查等差数列与等比数列的综合应用,注意数列的通项公式与前 n 项和的应用,考查数列的函 数特征,考查计算能力. 19. (14 分)在如图所示的几何体中,平面 ACE⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ACB=90°, EF∥BC, ,AE=EC=1. (1)求证:AE⊥平面 BCEF; (2)求三棱锥 D﹣ACF 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由平面 AC2=AE2+CE2 平面,知 AE⊥EC,由此能够证明 BC⊥AE. (2)设 AC 的中点为 G,连接 EG,由 AE=CE,知 EG⊥AC,由 BC⊥平面 AEC,知 EG⊥BC,由 此推导出点 F 到平面 ABCD 的距离就等于点 E 到平面 ABCD 的距离,由此能求出三棱锥 D﹣ACF 的体积. 2 2 2 解答: 解: (1)∵平面 AC =AE +CE 平面, ∴AE⊥EC,且平面 ACE∩平面,AE⊥ECBF,BC⊥AC, BC?平面 BCEF,∴BC⊥平面 AEC.…(2 分) ∴BC⊥AE,…(3 分) 2 2 2 又 ,AE=EC=1,∴AC =AE +CE ∴AE⊥EC…(4 分) 且 BC∩EC=C,∴AE⊥平面 ECBF.…(6 分) (2)设 AC 的中点为 G,连接 EG,∵AE=CE,∴EG⊥AC 由(1)知 BC⊥平面 AEC,∴BC⊥EG,即 EG⊥BC, 又 AC∩BC=C,∴EG⊥平面 ABCD…(8 分) EF∥BC,EF?平面 ABCD, 所以点 F 到平面 ABCD 的距离就等于点 E 到平面 ABCD 的距离 即点 F 到平面 ABCD 的距离为 EG 的长…(10 分) ∴ ∵ ∴ 即三棱锥 D﹣ACF 的体积为 , .…(12 分) ,

点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能 力的培养. 20. (14 分)某种上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元) 、日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的对应 关系分别如下:[有序数对(t,P)落在图中的折线上,日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如 表所示.] 4 10 16 22 第t天 36 30 24 18 Q(万股) (1)根据图甲的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求这 30 天中第几天日交易额最 大,最大值为多少? (注:各函数关系式都要写出定义域. )

考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设出分段函数,利用图象,建立方程组,即可求得 P 满足的函数关系式; (2)设出 Q 的一次函数关系式,将(4,36)(10,30)代入,即可求得结论; , (3)先确定 y 关于 t 的函数关系式,分段求最值,即可求得函数的最大值. 解答: 解: (1)设 ,

依题意及由图象甲可得:



解得:



…(4 分)

故所求 P 满足的函数关系式
*

…(5 分)

(2)依题意设 Q(t)=k3t+b3,0<t≤30,t∈N , 把前两组数据代入得: ,解得:
*



故 Q 的一次函数关系式是 Q(t)=﹣t+40,0<t≤30,t∈N …(8 分) (3)依题意:当 0<t≤20,t∈N 时, 当 20<t≤30,t∈N 时,
* *

故 y 关于 t 的函数关系式:
*

,…(12 分)

若 0<t≤20,t∈N ,则 t=15 时,ymax=125(万元) 若 20<t≤30,t∈N ,则
*

(万元)

∴第 15 天日交易额最大为 125 万元. …(14 分) 点评: 本题考查函数模型的构建,考查函数解析式的运用,考查函数的最值,确定函数的解析式是关键. 21. (14 分)设函数 f(x)=(x﹣a)e +(a﹣1)x+a,a∈R. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (2) (i)设 g(x)是 f(x)的导函数,证明:当 a>2 时,在(0,+∞)上恰有一个 x0 使得 g(x0)=0; (ii)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x∈[0,2],恒有 f(x)≤0 成立.注:e 为自然对数的底数. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导函数,利用导数的正负,可得 f(x)的单调区间; (2) (i)确定函数 g(x)在(0,a﹣2)上递减;在(a﹣2,+∞)上递增,即可证得结论; (ⅱ)先确定 a>2,设 f(x)在[0,2]上最大值为 M,则 M=max{f(0) ,f(2)},由此可求实数 a 的取值范围. x x 解答: (1)解:当 a=1 时,f(x)=(x﹣1)e +1,f'(x)=xe ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 当 f'(x)<0 时,x<0;当 f'(x)>0 时,x>0 所以函数 f(x)的减区间是(﹣∞,0) ;增区间是(0,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (2)证明: (ⅰ)g(x)=f'(x)=e (x﹣a+1)+(a﹣1) ,g'(x)=e (x﹣a+2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) 当 g'(x)<0 时,x<a﹣2;当 g'(x)>0 时,x>a﹣2 因为 a>2,所以函数 g(x)在(0,a﹣2)上递减;在(a﹣2,+∞)上递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) a 又因为 g(0)=0,g(a)=e +a﹣1>0, 所以在(0,+∞)上恰有一个 x0 使得 g(x0)=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) (ⅱ)解:若 a≤2,可得在 x∈[0,2]时,g(x)≥0,从而 f(x)在[0,2]内单调递增,而 f(0)=0, ∴f(x)≥f(0)=0,不符题意.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) ∴a>2 由(ⅰ)知 f(x)在(0,x0)递减, 0,+∞)递增, (x 设 f(x)在[0,2]上最大值为 M,则 M=max{f(0) ,f(2)}, 若对任意的 x∈[0,2],恒有 f(x)≤0 成立,则 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分) 由 f(2)≤0 得(2﹣a)e +2a﹣2+a≤0,∴
2 x x x

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣



又 f(0)=0,∴

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(15 分) 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查恒成立问题,确定函数的最 值是关键.


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